基于認知負荷理論和GeoGebra的教學設計*

摘" 要" 認知負荷是學生在學習活動中克服認知障礙的總和。研究GeoGebra在數學教學中的作用，以“圓的面積”教學為例，探討基于GeoGebra的教學對于減輕學生無效認知負荷、降低認知負荷的作用。

關鍵詞" 認知負荷；GeoGebra；數學；數學素養；教學設計

中圖分類號：G623.5" "文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2022）10-0026-03

0" 引言

數學是義務教育階段的基礎學科，數學學科具有高度的抽象性。學生克服認知障礙，通過學習對信息進行理解加工的過程消耗的所有認知資源被稱為認知負荷。在國家不斷深化基礎教育改革，大力推行“雙減”政策大背景下，如何降低各種認知障礙帶來的無效負荷，提高學生學習效率，成為重要研究課題[1]。

認知負荷理論的提出者約翰·斯維勒指出，在學習過程中，教學內容的復雜性、教學過程的組織方式以及學生的知識儲備直接影響學生認知負荷的高低[2]。根據這個理論，教師為提高課堂教學效率，一方面要精心準備教學內容，剔除無關因素對課堂的干擾；另一方面要采用恰當的教學工具和方式，以學生最容易接受的方式呈現教學內容[3]。

《中國教育現代化2035》指出，數學教育要充分利用現代信息技術手段，創新課程呈現方式。Geo-Gebra是一款免費的數學軟件，具有豐富的函數庫，可以動態地、準確地呈現各種數學概念和方法。適度借助GeoGebra等數學軟件開展數學課堂教學，是提升基礎教育教學質量的有效途徑[4]。為減輕數學課堂的認知負荷，有效提高數學課堂教學效率，以“圓的面積”教學為例，說明GeoGebra輔助課堂教學的實現方法。

1" “圓的面積”教學設計

1.1" 教學內容分析

“圓的面積”選自北師大版小學數學六年級上冊第一單元第一課時。在這節課之前，學生已經學習了平行四邊形的面積公式，主要教學內容是通過學生動手實踐以及轉化、歸納、總結的思維活動，自主探究出圓的面積公式。數學公式對于學生而言具有一定的抽象性，容易從知識復雜度層面增加學生的認知負荷；面積的割補需要大量圖形演示，容易從知識傳授的層面增加學生的認知負荷。基于這些特點，教師應該基于新課程理念，借助現代信息技術手段，直觀呈現出圓的面積公式中的所有數學對象，展示圖形割補、變換的過程；并在數學課堂中創設自主研究、自主創新、合作交流的條件，盡可能讓學生參與教學內容的討論交流、練習操作環節。利用GeoGebra軟件有利于突破教學難點，降低學生的認知負荷。利用GeoGebra的旋轉、平移功能，直觀地呈現圖形的割補。通過動態控制變量，可以展示割補過程的細節。學生通過GeoGebra軟件的操作，可以親身體驗數學探究的過程，體會轉化和極限的數學思想。

1.2" 教學過程分析

1.2.1" 復習平行四邊形面積公式

通過Geo-Gebra的演示，使學生體會割補的思想，將平行四邊形的面積轉化為矩形的面積。這個過程培養學生轉化的數學思想。學生通過復習建立新舊知識的聯系。GeoGebra的演示降低了學生復習過程的認知負荷。在復習后，教師提出圓的面積計算問題，學生嘗試利用轉化的思想解決這個問題。

1.2.2" 教師和學生一起探索圓的面積的分割方法

較好的分割方案應該是將圓組合成其他規則圖形。學生首先以小組合作形式討論，對準備好的圓形進行分割。教師則走進各個小組，觀察學生的討論。教師將其中一種圓的分割方法通過GeoGebra進行演示（圖1）。GeoGebra可以對圓進行精確分割，而手繪或者剪裁真實圓形容易引起誤差。GeoGebra的演示過程幫助學生建立圓的分割感性認知，提高課堂教學效率，減少煩瑣的分割過程引起的認知負荷。

如圖2所示，教師通過GeoGebra演示圓的割補過程。圖2的割補過程將圓近似拼接成平行四邊形。在這個過程中讓學生體會極限的思想。大部分學生無法準確切割圓，也無法將這些扇形拼接成一個近似平行四邊形的圖形，大量的注意力和時間被消耗在拼接操作中，降低了課堂教學效率。基于GeoGebra的演示，形象地展示割補的過程，學生很容易發現拼接過程中面積始終沒有發生變化，所以圓的面積近似等于平行四邊形的面積：

學生還可以改變扇形的個數，更多的扇形經過與圖2類似的割補過程，可以拼接成一個更趨近平行四邊形的圖形。學生結合GeoGebra的操作，實現自主學習，并在這個過程中增強對新知識的認知。

2" GeoGebra在降低認知負荷中的作用

“雙減”政策出臺后，如何幫助學生利用有限的課堂教學時間學會“用數學的眼光、視角發現問題，用數學的語言、模型描述問題，用數學的思想、方法解決問題”，已經成為所有數學教育工作者共同面臨的課題。在學習過程中有效調動學生的多元智能，降低學生學習認知負荷，是實現這一目標的有效途徑[5]。GeoGebra是一款優秀的免費開源軟件，是教師開展數學探究活動的有效工具，豐富的動畫演示功能可以幫助教師在課堂上實現數學探究的全過程，讓學生掌握數學的基本知識、基本方法和基本思想。GeoGebra在幫助學生形成良好數學素養、降低學生無效學習負荷方面主要有以下優勢。

2.1" 化抽象為具體，在概念教學中培養學生數學抽象和直觀想象的能力

根據皮亞杰的認知理論，學生的認知發展存在有限性和階段性特點。基于GeoGebra課件開展教學，可以將抽象的數學概念以直觀的形式呈現給學生，通過與抽象數學概念關聯具體圖形的演示，幫助學生從中獲得抽象的數學知識概念。

2.2" 化靜為動，在動態問題教學中培養學生的邏輯推理和直觀想象素養

GeoGebra集代數、幾何和其他學科常用的演示工具于一體，具有豐富的函數庫，而且內置有簡單易學的GeoGebra和JavaScript語言，可以實現數學課堂需要的動態演示。教師在熟練掌握GeoGebra后，可以現場利用該軟件解析靈活多變、綜合性強的數學問題，形成動靜結合的課件，完成數學探究。根據GeoGebra的動態演示，教師可以克服傳統的板書靜態、抽象的缺點，減少學生的無效認知負荷。學生也容易在“變”與“不變”的過程中養成良好的邏輯推理能力和空間想象能力。如在“圓的面積”一節，教師通過編寫GeoGebra程序實現許多扇形拼接成平行四邊形的過程，學生容易在運動變化過程中體會割補法的思想，從而準確地得到圓的面積公式。GeoGebra不但降低了教師展示的難度，而且更加符合學生的認知規律，有效降低學生的認知負荷。

2.3" 與數學結合，簡化實際問題，培養學生數學建模素養

數學建模是一種需要長期數學訓練才能養成的數學素養。基礎教育階段的學生數學知識有限，不善于從實際生活中提取相關的數學概念進行數學建模。為克服這個問題，教師應該對生活問題進行合情合理地簡化，引導學生抓住問題中的數學概念和方法，激發他們利用數學工具進行深入思考。適度簡化的問題符合學生的認知水平，容易調動學生探索和解決問題的主動性。GeoGebra聲、形、色俱全，能夠在課堂教學中為學生帶來較好的聽覺和視覺體驗。如在“圓的面積”一節中，教師可以編寫代碼，對圓形進行任意精度的劃分，讓學生迅速了解以直代曲的微積分思想。

GeoGebra可以幫助學生克服對復雜計算和抽象推理的畏難情緒，以直觀方式展示問題，減少死記硬背，有效降低無效認知負荷，開拓解題思路，同時逐漸幫助學生理解數學思想，培養數學核心素養。

3" 結束語

GeoGebra等現代信息技術可以豐富數學課堂教學手段，合理呈現數學對象和教學內容，從而降低學生在學習過程中的無效認知負荷，培養學生的數學核心素養。以“圓的面積”為例，詳細說明在數學課堂使用GeoGebra的方法。在平常的教學中，教師應該熟練掌握GeoGebra，結合教學內容合理采用現代信息技術，降低學生無效認知負荷。

參考文獻

[1] 張祺.信息技術與小學數學融合的教學應用研究[D].遼寧：渤海大學，2017.

[2] 陳慧萍.信息技術與小學數學課程整合的應用研究[D].浙江：浙江師范大學，2018.

[3] 英起志.數學情境教學的認知負荷優化[J].高教學刊，2016（20）：107-108.

[4] 岑偉.認知負荷理論下信息技術與高中數學的整合基點[J].黑龍江教育（理論與實踐），2014（11）：79-80.

[5] 林曉慧.淺談計算機技術在數學建模中的運用[J].科技風，2018（8）：46，48.

*基金項目：大學生創新創業項目“基于認知負荷理論和GeoGebra的中學數學課堂實踐研究”（202110399016）；泉州市教育科學“十四五”規劃2021年課題“基于認知負荷理論和GeoGebra的小學數學課堂實踐研究”（QG1451-100）；大學生創新創業項目“基于Matlab的中學數學的信息融合教學”（S202010399062）。

作者：黃偉菁，泉州師范學院，泉州市鯉城區實驗小學，二級教師，研究方向為數學教育；毛禧雯、孫偉婧，泉州師范學院，研究方向為數學教育；楊昔陽，通信作者，泉州師范學院，教授，研究方向為人工智能與數學教育（362000）。