促進整體建構的數學“結構化復習”策略

陳力

【摘 要】數學“結構化復習”是數學教學中實現減負增效的一個重要領域，是指復習時把數學板塊作為一個整體進行結構化處理，帶領學生通過結構化反思進行系統整理，展開整體建構復習，溝通知識間的內在聯系，將知識串編成一個整體結構網。它以結構化“整理”取代碎片化“重復”，追求有效復習的深度發生。

【關鍵詞】整體建構 結構化復習 實施策略

減負增效是當前“雙減”背景下的一個研究熱點，數學“結構化教學”是減負增效的突破口之一，因為數學是一門有關“結構”與“關系”的學科，借助“結構”的力量能促進牢固記憶、深刻理解和有效遷移，通過“整體建構”來實現輕負高質的目標。“整體建構”是指在整體、系統、關聯等思想統領下展開的建構性認知活動，數學“結構化教學”的深度實施能促進“整體建構”認知目標的有效達成，進而從“結構化”和“整體建構”的視角追求最優的教與學，達到“以少勝多”的目的。

如何引領學生通過結構化反思來進行結構化復習與整理？教師可以從這兩個方面著手：一是對整體建構過程進行回顧與反思，對新知探究過程中使用過的策略方法進行總結提煉，獲得思想方法方面的結構體系，并將思想方法遷移到后續同類學習中;二是對某個知識板塊進行整體性反思，重點開展本質溝通和縱橫關聯等建構性整理活動，通過綜合性梳理進行結構化理解，弄清內在結構中的邏輯關系，最終形成整體貫通的數學知識板塊結構系統。數學“結構化復習”的流程圖如下：

下面以“統計圖的復習（北師大版）”為例談談具體的實施過程。

一、看書回顧，喚醒記憶

復習時從整體到部分，先讓學生看書上目錄，回憶一下學過哪些知識，然后對記憶已模糊的內容通過看書重點回顧，為后面整理奠定基礎。

師：昨天老師布置大家回家看書回顧統計圖這部分內容，現在來匯報一下你們回憶的情況。

生1：我先看了目錄，發現從四年級到六年級分別有“數據的表示和分析1”“數據的表示和分析2”“數據處理”這3個單元。

師：那這3個單元中分別學了哪些統計圖呢？

生2：我們先后學了條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖、復式條形統計圖、復式折線統計圖。

生3：還學過“統計圖的選擇”。

師：這些知識中你覺得已經記憶有些模糊了的，去看看書回顧一下。

【解析：本環節是學生“結構化復習”的開篇，教師教會學生“從整體到部分”的回顧方法，找出統計圖的各種類型，即“統計圖”這個整體結構中的子元素，并對這些元素進行查漏補缺式的喚醒，提高回憶的針對性，減少盲目重復。】

二、自主整理，初步反思

教師提出用結構圖呈現的要求，讓學生用自己的方式先獨立進行整理，通過初步的結構化反思，獲得初步的自我整體架構圖并與同伴交流，培養學生的自主整理能力。

師：下面請大家對各種統計圖的知識點以及其相互之間的聯系展開反思整理活動，然后用自己喜歡的方式在紙上畫一幅整體知識結構圖。（學生獨立活動）

師：剛才同學們都進行了積極的自主整理，現在請你們把自己的整理成果和同桌分享一下，看看能不能從對方那里得到新的啟發。

（學生交流活動）

師：這些作品都是同學們自我反思和整理的結晶，不管是否完善都值得肯定。

【解析：本環節的目的是為學生發展整體建構學習力提供實踐機會，讓學生對已經喚醒的舊知進行結構化反思，通過反思尋找各種統計圖之間的關聯，并用整體結構圖的方式進行結構化整理。當然，此環節的反思與整理都還是初步的，學生因能力差異，所獲結果可能不完善甚至有錯誤，這些都不重要，重要的是學生經歷了自主反思與整理的歷練過程，這是培養結構化反思學習力的必要手段，同時為后續的進一步提煉完善積累了初步經驗。】

三、以練帶理，織網成構

在學生獨立整理的基礎上，教師通過典型題目讓學生以練帶理，在復習舊知的同時，師生合作通過結構化整理歸納出某一板塊的知識網格圖。

師：下面，我們邊做題邊對這部分知識進行梳理。

出示題目：下面是近四屆奧運會中國和美國獎牌信息表，請你從表中選取需要的信息并在格子圖上畫一幅單式統計圖和一幅復式統計圖。（學生獨自完成）

師：接下來大家一起交流一下各自畫的統計圖，說說選了哪些信息，畫了什么統計圖，想要表達什么意圖。（在實物投影上展示學生作品）

生1：我選了中國近四屆奧運會金牌數，畫了條形統計圖，通過條形統計圖可以很直觀地看出哪一屆得的金牌最多，哪一屆最少。

師：還有哪些同學也畫了條形統計圖的？

（學生分別畫了美國四屆奧運會金牌數條形統計圖、中國四屆奧運會獎牌總數條形統計圖、中國四屆奧運會銀牌數條形統計圖、中國第32屆奧運會各種獎牌數條形統計圖……）

師：同學們畫了這么多條形統計圖，它們有什么共同的特點呢？

生2：都能直觀地比較出數量的多少。

師：除了比多少還能比其他嗎？

生3：我用了折線統計圖，從中能直觀地看出中國四屆奧運會金牌數的變化情況。

（其他學生作品中還有比較銀牌、銅牌以及獎牌總數等折線統計圖）

師：折線統計圖的優勢在哪里呢？

生4：它不僅能通過“點”的高低比較數量多少，更能通過“線”的走向直觀地看出數量的增減變化趨勢。

師：第29屆北京奧運會上中國共奪得100枚獎牌，如果要想清楚地看出這100枚獎牌的結構組成情況，什么統計圖能解決這個問題？

生5：畫扇形統計圖，用一個圓代表100枚獎牌，其中金牌占了51%的面積，銀牌占了21%的面積，銅牌占了28%的面積，一目了然。（課件出示扇形統計圖）

生6：扇形統計圖也能通過扇形的面積大小比出數量的多少，但更主要的是能直觀地看出各部分（扇形）與總數（圓）之間的占比關系。07BFE903-436E-4519-B298-0AF3CCC30984

師：剛才交流的這些統計圖都是中國和美國各自內部數據的比較，如果除了內部比還要將中國、美國雙方比，應該畫什么統計圖？

生7：可以畫復式條形統計圖，我畫的是中美四屆奧運會金牌數統計圖，從中能直觀地看出有1屆中國隊金牌多一些，其他3屆都是美國隊多一些。

生8：我畫的是中國、美國四屆奧運會獎牌總數變化情況復式折線統計圖，中國的變化趨勢是“降、降、升”，而美國的變化趨勢是“降、升、降”。

師：無論是復式條形統計圖還是復式折線統計圖，它的“復式”體現在哪里？

生9：復式統計圖不僅可以和自己的數據比較，還可以和對方的數據比較，也就是“雙重比較”。

師：和對方比較的時候，既可以比較個體數據，又可以比較整體數據，也就是“多重比較”。

根據師生逐步梳理，形成知識結構圖（見圖1）：

【解析：本環節通過邊練邊理帶領學生進行結構化整理，教學中選用了“中國、美國近四屆奧運會獎牌數”這一材料整體呈現在學生面前，該材料蘊含的信息很豐富，既有“橫向數據”又有“縱向數據”，既可“內部比較”又可“雙方比較”，是一種典型的整體性結構化材料，有利于學生進行結構化復習。學生在這種開放性的材料中通過串聯衍生，很自然地梳理出了五種統計圖，并對每種統計圖的特點和優勢進行了鞏固和深化，最終織成了一張基于整體建構的知識網格圖，從而以結構化“整理”取代碎片化“重復”。】

四、溝通知識，反思方法

形成結構圖后，讓學生看著整體圖進一步展開結構化反思，對知識進行內聯溝通，對方法進行提煉遷移，能提高學生的反思性學習力。

師：請同學們看著剛整理出的這張結構圖，進一步反思以下問題：①有了統計表為什么還要有統計圖？②這些統計圖之間有怎樣的聯系與區別？③在學習統計知識的過程中用到過哪些策略和方法？

生1：其實，統計表也可以進行各種數據的比較，但統計表有時候很難一眼就看出比較的結果。

師：統計表有單式統計表也有復式統計表（課件中將中國、美國兩張統計表復合成一張），“多重比較”的功能也可以實現，但無論哪種統計表都沒有統計圖那么“直觀”和“快捷”。

生2：各種統計圖共同的地方是用直觀圖來表示數據信息，圖中都有名稱、橫軸、縱軸、數據圖形等。

生3：不同的地方是條形統計圖是用條形圖來比較數量的多少，折線統計圖是用折線著重描繪數據的變化趨勢，扇形統計圖是用扇形和圓表示出各部分數據在總體中的占比情況，而復式統計圖可以進行“多重比較”，需要用“圖例”來區分。

師：為了弄清它們的聯系和區別，我們以統計“走了多少路”為例來剖析（出示數據1：陳老師全家7個人走1天，各自走了多少步;數據2：陳老師1個人周一到周日走了7天，每天走了多少步）。針對這兩組數據，你會分別選擇哪種統計圖來表示？

生4：“7個人走1天”用條形統計圖來表示，因為它可以比較誰走的步數多;而“1個人走7天”用折線統計圖來表示，因為它除了能知道哪天走得多外，更需要知道一周里走的步數的變化趨勢。

師：如果要比較“7個人走兩個1天”的步數多少或描繪“1個人走兩個7天（兩周）”步數的變化趨勢，可以用什么統計圖？

生5：用復式條形統計圖和復式折線統計圖，因為需要多重比較了。

生6：用扇形統計圖既可以統計“7個人走1天”中的每個人步數與7人總步數的占比情況，也可以統計“1個人走7天”中的每天步數與7天總步數的占比情況，因為這兩種情況都能表達部分與整體的占比關系，只是各自的部分與整體分別代表不同的內容。

師：你反思得真深刻啊！最后回顧一下整個統計學習過程，用到過哪些方法？

生7：我梳理過了，學習統計時用到的方法有收集數據的方法、整理數據的方法、表示數據的方法、分析數據的方法等。

（教師在知識結構圖上補充板書——四種方法，見圖2）

師：是的，這些都是在經歷統計全過程中用到的方法，這節課我們著重復習了用統計圖直觀表示數據的方法，課后請同學們結合課本再總結一下其他幾種統計方法。

【解析：本環節教師在前面學生進行了初步的自我反思和深入的結構化整理后，帶領學生展開進一步的結構化反思。主要從兩方面入手：知識方面，讓學生對五種統計圖進行內聯溝通，找出共同點，鞏固統計圖的整體結構特征，對不同點進行深入的結構化辨析，教師借助“走了多少路”這個實例讓學生展開對比反思，通過同一情境的不同條件組合，厘清了這五種統計圖的本質內涵以及相互關聯性，形成了一個完整的板塊知識結構系統;思想方法方面，讓學生總結了統計知識學習中用到的基本策略和方法，并把它遷移運用到后續學習中去。總之，通過深度的結構化反思有效地促進了學生整體建構學習力的提升。】

五、綜合題組，完善升華

整理之后，教師給學生提供綜合性的題組練習進行強化，提高學生整體應用知識解決問題的能力，對整體建構學習進行最后的完善和升華。

出示綜合性題組：某公司在統計上一年A品牌羽絨服各季度的銷售情況時用到了下面的這些統計圖（見圖3、圖4、圖5），你能從中獲取哪些信息？是從哪幅圖中獲得的？

生1：我從條形統計圖中發現第四季度銷售量最大，第二季度銷售量最小。

生2：從扇形統計圖的面積大小也可以一眼看出確實如此，而且還知道第四季度占了40%，第二季度才占10%。

生3：從圖3我們可以算出上一年全年一共銷售了250萬件羽絨服。

生4：從折線統計圖中可以看出上一年的銷量是這樣變化的：第一季度到第二季度下降，然后一直上升，其中第二季度到第三季度上升幅度最大。

師：為什么會出現這種情況呢？

生5：我知道了，這個公司賣的是羽絨服，第二季度夏天要到了，所以銷量就下降了，從第三季度開始秋天到了，大家要為過冬開始做準備，所以購買量大幅上升，到冬季時升到最高。07BFE903-436E-4519-B298-0AF3CCC30984

師：是不是就A品牌有這種銷售規律？我們又統計了該公司賣的另一個牌子（B品牌）羽絨服的銷售情況，從圖6中你又能發現什么呢？

生6：從這個復式條形統計圖中可以看出，A和B兩個品牌的季節銷售規律是基本一致的，兩種品牌的銷售量差別不大。

師：統計數據可以為我們做決策提供依據，如果你是老板，你會怎樣根據統計情況來進貨呢？如果你是顧客，根據此圖又會怎么想呢？

生7：如果我是老板，我要在第三、第四季度多進貨，在第二季度少進點貨，而且B品牌的貨比A品牌的要多進些，因為從圖中可以看出B品牌的貨比A品牌整體上要好賣一些。

生8：如果我是顧客，我會選擇第二季度去買，因為淡季時商家往往會降價處理。

師：大家都分析得很有道理。從圖7這張沒有標圖例的統計圖中你能猜出是統計什么的嗎？

生9：我想可能是賣夏裝的，因為它在第二季度攀升到最高，第四季度降到最低，符合夏裝的銷售規律。

生10：也有可能還是賣羽絨服的，說不定這家公司在澳大利亞有分公司，澳大利亞的季節和中國相反，銷售趨勢也就相反了。

師：看來統計圖中蘊含的信息非常豐富，我們要全面讀懂圖意，仔細分析數據，充分借助統計圖這一工具為我們的學習和生活服務。

【解析：結構化教學強調采用“結構化題組”對知識技能進行鞏固深化，復習課的綜合應用環節適宜安排“綜合性結構題組”。前面幾個環節學生經過結構化整理和結構化反思，對統計圖知識板塊已形成一個整體結構體系，接著就是通過對統計圖的選擇和統計圖中的數據分析對各類統計圖的內涵特征進行綜合應用。教學中通過“羽絨服銷售量”這個情境將五種統計圖串聯起來設計了一用到底的題組，讓學生選擇統計圖進行讀圖和數據分析，勾連不同統計圖中的數據，厘清各自不同的使用價值，并利用數據幫助解決學習和生活中的問題。通過逐層推進將題組用足、用透、用活，培養學生的整體讀圖能力和數據分析觀念，學生的整體建構學習得到完善和升華。】

上述結合具體課例談了“結構化復習”環節的實施策略，這只是一種基本流程，在實際教學中根據具體情況會有一些變式流程和變通策略。教師只要心中具有結構化思想和意識，就會在復習教學中想方設法設計結構化的復習材料，引領學生展開基于整體建構的結構化整理與反思活動。

注：本文系浙江省重點課題“指向整體建構的數學‘結構化教學探索”的研究成果之一（立項號：Z2021030）。07BFE903-436E-4519-B298-0AF3CCC30984