淺談反證法在數學教學中的作用

余彩蝶 趙武超

摘要：數學中有很多證明方法，高中學習中常用有分析法、綜合法，反證法等.而反證法就是其中的一種.在數學教學中，反證法的應用可以利用邏輯思維規律準確性和思辨性培養學生邏輯嚴謹性，可以培養學生窮則思變的創新意識.本文主要通過反證法的概念和邏輯思維方面闡述，論證了反證法在數學教學中的作用和特點.

關鍵詞：反證法;數學教學;證明方法

在數學教學中，有許多推理模式與證明方法，如合情推理、演繹推理，證明按照論證的格式可化分為間接證明法和直接證明法，間接證明可分為反證法和同一法，反證法又可化分為歸謬法和窮舉法。在數學的間接證明方法中，反證法是經常應用的一種方法，在證明中常常給人一種意想不到的結果，簡明扼要，柳暗花明.當對于一個數學題時，按照正常思路解決時，具體的步驟比較麻煩，這個時候往往就可以通過反面進行論證.

一、反證法的概念：

反證法作為一種論證方式，是數學上的一種常用方法。反證法是先對命題進行假設，在原來的命題題目的條件下，根據題目的要求，假設命題結論不成立。然后對于推理出的結果，進行分析是否存在矛盾。存在矛盾則能得出結論的假設不成立，最終可以證明原命題.

二、反證法的思維過程：

“否定→推理→否定”，是對反證法的簡單概括。對于結論先開始否定，接著經過精確的推理得出邏輯矛盾，最終形成一個新的否定。像法國數學家阿達瑪（Hadamard）對反證法的實質做過概括那樣：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”.

否定結論→推導出矛盾→結論成立，是其中的三個主要步驟.

在審視好條件與結論后實施的三步走的策略：

第一步，反設：做出與求證結論相反的假設;

第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾;

第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立.

只有用“反設”進行推理，從而證明問題時，才能稱為反證法。在反證法的證題過程中。只要駁倒一種情況就能證明命題的方法，屬于反證法的一種，叫作“歸謬法”.如果存在多種情況，需要一一駁倒，最終才能證明結論的方法，屬于反證法的另一種，稱為“窮舉法”.

反證法是一種常用的證明方法.在證明解決中很多數學題問題的過程中，它給我們的解題指明了一個方向，讓一些解題思路遇阻或遇到比較麻煩的問題時，另辟蹊徑，尋求一個簡單的解決方法.排中律和矛盾律屬于反證法的邏輯依據.在數學教學中，反證法的使用，有助于培養學生思維嚴密性。并且能夠培養學生的反向思維，發散思維.

三、反證法的邏輯原理證明用符號如下

五、反證法在教學中的作用

（一）培養學生邏輯思維的嚴密性

在學生平時解題過程中，往往對于題目的信息了解得不夠全面。經常有以偏概全，顧此失彼，解題思路不清晰的問題時常出現。可能前面剛記住的數據下一秒就記錯了，就像做證明題，對于題目的條件關系弄不清楚，不能將條件有條理的記錄出來。對于題中的知識點不清楚，記得錯亂。這主要表現出學生思維不縝密，老師可以用反證法來培養提高學生思維縝密性。從反證中體會反證法的意義，從反證法中體會反證的作用，因此，教師在講解反證法時，全面地把問題解釋透徹完整，加深學生的對問題的理解，從而達到培養學生思維縝密性的作用。

1.深刻理解數學中基本概念。培養學生思維縝密性或嚴密性先從概念入手，任何一個系統都有他自己的原始概念與基本概念，然后以其進行對事物概念的延伸與發展。同樣數學的學習與教學系統中的各種概念也是從基本概念開始，用定義形式揭露本質其特征。反證法的使用前提就是要對數學概念的深刻理解，在對概念深刻理解之后，才能在證明問題的過程用反證法來解決問題。下面通過一個實例來說明。

3.加強數學交流。老師可以在教學過程中，針對講的數學知識點，給出一些問題，啟迪學生思考，使師生在平等的基礎上交流數學思想，學生與學生之間也進行相應的交流。找出問題的切入點，提高學生的理解力與對數學的悟性。

（二）培養學生反向思維

反向思維是一種創造的手段和創新的方式，主要是讓思維在相反的方向發散，從問題的反方向進行推理證明。而反證法也正是具有從反面證明問題的含義，反證法的使用恰恰能培養學生的反向思維能力。有很多發明都是人們提出問題后，從反方面進行推導創造出來的。例如從歐幾里得幾何第五公式的證明，而得出非歐幾何的誕生就是反向思維的很好案例。

（三）培養學生發散思維

發散思維，也可以說是進行廣泛想象，通俗來說，對于一件事情從多個方面去思考。反證法的使用便是一個發散思維的過程。學生不通過發散思維，便不能抓住問題的要點，又如何解決問題。發散思維在創造性思維中占據了核心位置，是通過問題的不同方面去思考，把明確的信息和掌握的知識進行不同組合，產生新靈感的過程。為了能夠發散性地思考，需要脫離固化的思維模式，也就是可以多多嘗試變例，進行對問題新的角度實踐的過程.

1.多與人交流，啟迪思維。看待同一個問題，不同的人注意的點不同，那么他們思考的方式就會產生不相似的效果，就會有不同觀點和解決問題的方法.反證法就需要多與人交流，當交流的人增多時，對待問題的觀點的種類也會增多，可能不是所有觀點是正向的，但總會存在值得聽取的觀點.在大家的交流切磋當中，他人思路就會啟迪自己的想法，提升個人思維能力.

2.多多提問。在存在問題時就要經常的提問，可以向老師們提問，向同學們提問，并且可以在任何有問題的時候都去提問.反證法的使用，就是提出問題并解決問題的一個過程。發散思維是在解決問題的過程中，不斷提出問題解決問題，對于繁雜的問題，可以對它進行分解，單一的問題就更容易被解決了.

（四）培養學生正難則反思維

從正面思考問題，有時思維會受到阻力或陷入死胡同，人們就想到反過來思考如何呢？簡稱：正難則反.正難則反是數學解題一種策略.與反證法有同樣的解題思路，反證法最開始的使用就是因為在問題的正面思考很難解決時，才會有從問題反方面思考的舉動.

有很多題目從正確常規的思路就能夠解決，但也有很多題，常規的思路不能夠解題，這個時候我們可以考慮從反面來思考，可能這個問題就會變得簡單，從而得到解決.

六、結語

綜上所述，反證法是一種重要證明方法. 在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“無限”形式出現的命題;或者否定結論更明顯.

在數學教學中，反證法可以培養學生逆向思維，正難則反打破常規思維，使學生在思考問題時，有置之絕地而后生，柳暗花明又一村之感，從而培養思維縝密性和學生思維的發散性，體會它的功能和特點，從中悟出數學證明的基本方法，感受邏輯證明在數學與日常中的作用，養成言之有理、論證有據的習慣.