HPM視角下教科書的 數學史內容分析與教學建議

胡磊

[摘要] 以HPM的視角分析數學教科書的數學史內容，發現其育人價值：明晰學科發展，鍛煉理性思考;感受數學美感，涵養審美情趣;體驗數學精神，促進德性養成。以西師版小學數學教科書為例，總結出教科書的數學史內容具有注重圖文并茂、覆蓋面較廣博和遵循認知規律進階編排等特點。為深化教科書中數學史的育人功能，可以適時補充數學史，響應學生興趣探究;整理經典數學史，設置專業學習活動;漸進組織數學史，設計學科實踐活動。

[關鍵詞] 小學數學;西師版教科書;HPM;數學史;核心素養

數學史與數學教育（簡稱HPM）是數學教育中重要的研究領域，其強調將數學史的演進歷程融入數學教育中，從而讓學生更好地理解學科知識的由來，以及背后重要的思想方法。HPM作為數學史與數學教育的融合，它的誕生說明了數學史內容存在獨特的育人價值。數學史是研究數學產生、發展與規律的一門科學，簡單地說就是追溯數學概念、方法和思想的形成過程[1]。新頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確提出，教科書設計要介紹數學文化、數學發展前沿等，要反映數學在自然與社會中的應用 [2]。可見，數學教科書中應當充分體現并編排數學發展史的相關內容，做到內容適宜、分布合理與融入巧妙。為此，研究者結合HPM視角深入剖析了教科書中數學史內容的育人價值，并總結歸納了西師版小學數學教科書數學史內容的基本特征，以此為實踐教學提供實踐參考。

一、小學數學教科書中數學史的育人價值

（一）明晰學科發展，鍛煉理性思考

西師版小學數學教科書數學史所包含的內容比較廣泛，例如楊輝、華羅庚、高斯等數學家及其成果介紹，田忌賽馬等數學史趣聞故事，阿拉伯數字的由來等重要數學歷史事件及相關數學背景材料。根據研究者自主統計，在西師版小學數學教科書中共涉及34處數學史料。這些數學史材料的涵蓋面較廣，可以讓學生補充了解數學學科下統計概率、數與代數、圖形幾何等各二級學科領域的發展歷程。然而，數學史知識內容的提供并非僅為了讓學生理解學科發展史，更是為了讓學生經由古代先輩們解決問題的數學方法學習，鍛煉自身的理性思考，從而運用數學知識解決現實問題。因為數學學科發展中數系的擴充與趣味故事往往潛藏著數學知識的現實應用，而各類公式、定理的證明方式則包含著數學知識探究的各類思維方式。如果僅在教學中采用趣味性的游戲教學提升學生的興趣，自然是淺表化、片面化。透過數學發展史，理解數學知識由來的基本方法與思路，看到數學知識與現實生活的關聯并嘗試進行實踐，這才是數學史融入數學教育的關鍵價值所在。

（二）感受數學美感，涵養審美情趣

數學知識發展的內在驅動可能是各種數學思維應用，但其發展仍舊存在一個驅動誘因，即采用簡約的符號進行表達與美的傳遞。如西師版小學數學教科書中的楊輝三角等展示了數學對稱的形式美感，以及數學家華羅庚研究精神蘊含的實踐美學，都可以作為讓學生感受數學美感、提升審美情趣的重要素材。誠然，自“德智體美勞”五育并舉的教育改革以來，如何在學科教學中滲透美育、深化育人功能成為實踐落地的關鍵所在[3]。美育具有重要的功能，其不僅可以引導學生認識美、審辨美，并且還有助于學生創造美，生成健全的人格品質。數學作為一種自然科學家交流的符號與工具，其強調簡約的形式表達[4]。這一方面導致了數學教科書中的數字符號和概念命題等具有極強的抽象性，另一方面也造就了教科書在選擇相應的數學史內容時，不可避免地會涉及形式簡約的美學要素，以及為追求簡約與表達而強調的數學家奮斗與實踐美。例如，在學習五年級下冊“古老的方程”中，學生會發現人類對于方程的研究由來已久，為了找到等量關系構建平衡的方程式，這不僅體現了平衡、和諧的方程形式之美，也可由此通過數學史探究激發學生發現美，在欣賞數學知識美的同時增進創造美的能力。

（三）體驗數學精神，促進德性養成

如上文所述，教學中充分利用教科書中的數學史內容進行滲透轉化，能夠提升學生創造美的基本能力。這在一定程度上就促進了學生透過數學發展的歷史長河，感受先輩們進行數學研究的精神，從而熏陶自身德性的養成。尤其是教科書中大量數學家的故事，能夠讓學生從中深度了解并模仿，進而影響自身必備品格的涵養[5]。詳細說來，通過數學史的學習能夠體現出如下兩個方面的德性涵養目標。一方面，數學史中大量的事跡有助于引導學生養成正確的數學精神。小學生自我判斷能力比較差，但是他們的模仿能力比較突出。而數學史含有大量的優秀數學案例，尤其是數學史中有關數學家的介紹，可以讓學生形成崇拜數學家的感情，以此引導學生在日常學習中按照榜樣的思維開展學習。例如，在西師版五年級下冊的“陳景潤與哥德巴赫猜想”教學中，可以讓學生通過對哥德巴赫猜想難度的描繪與陳景潤的簡單介紹，了解到其人格魅力，從而激發學生學習數學、探索數學的精神。另一方面，數學史的學習能夠讓學生看到數學家通過對數學方法應用，解決現實生活問題、為人們生活謀福祉的基本過程，從而在一定程度上理解數學學習的價值取向。由此，在幫助學生進行價值判斷的同時，涵養他們科研奉獻、積極運用學科知識為自己及他人服務的良好品質。

二、小學數學教科書中數學史的內容特征

西師版小學數學教科書中數學史的內容主要通過數學史事件、數學概念、數學公式歷史及歷史命題展現，通過對西師版小學數學教科書的統計，數學史的整體分布較為均衡，僅低年級涉及數學史的內容略少。由于學生年齡、思維發展特征及接受能力的差異性，使得西師版小學數學教科書中的數學史在內容上呈現出知識難度的梯度性，即在各個知識點的呈現中，穿插數學文化內容。具體特征如下：

（一）注重圖文并茂，深化數學知識

數學史在小學數學教科書中應用的最大價值就是激發學生學習數學的積極性，拓展學生數學知識面，增強學生的數學應用能力。數學是一門強調探索的學科，小學生具有很強的探索能力，因而如何將數學知識內化為體系是數學教學的核心要求。縱觀西師版小學數學教科書數學史的展現形式，其更多突出了與生活實際的結合性，讓學生將生活中的情境與數學知識相結合，以此提高對數學知識的把控力。西師版小學數學教科書中數學史的內容與小學數學教學的重心相符，能夠激發學生實踐應用的動力。經調查在西師版中一共有34處數學史料，通過對比新舊教科書版本可以看出新教科書中增加了部分數學史教學內容，就數學史的內容而言其與社會生活的聯系更加緊密;根據統計，教科書中作為補充數學史資料與背景知識的內容為17處，占據了50%的比例。可見，數學史更多作為學生學習的延伸性資料在教科書中予以呈現，借由補充追問學科發展來深化數學知識。而相較于人教版小學數學教科書中大多以補充性板塊“你知道嗎”進行呈現，西師版教科書則占據著大量版面，并單獨列出。此外，數學史內容多以圖文為載體，這樣更加符合小學生的學習特點。在小學數學教科書數學史板塊中，關于數學原理的介紹更多的是通過圖文并茂的方式展現的，這樣符合小學生的學習特點，通過圖片的輔助可以加深學生對數學歷史的理解程度，激發學習熱情。A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

（二）多板塊呈現，覆蓋面較廣博

西師版小學數學教科書主要以數學家趣事、數學原理、數學公式歷史等呈現數學史內容，豐富的板塊可以為學生提供廣泛的學習素材，激發學生學習的積極性。具體而言，一是數學史的內容類型較多。有學者調查分析發現，西師版數學教科書中數學家趣事介紹的比例為24.2%，經典數學問題或歷史事件的比例達9.1%，數學成果的比例為18.2%，相關數學知識背景資料達48.5%;其中涉及數與代數的比例為70.5%，圖形與幾何的比例為26.5%，統計與概率的比例為3%[6]。因此，所涉及的板塊比較多，基本涵蓋小學階段數學的所有知識點，能夠突出數學實際應用能力培養的要求。二是數學史所涉及的國家更多地突出中國古代的數學知識。經統計西師版小學數學教科書的數學史料更多以中國為主，含有德國、英國、法國及古希臘。可見，數學史分布國度比較廣泛，這與當前小學數學教學的核心目標有關，通過多元化的數學史料可以進一步豐富小學生的視野，尤其能將多元化的文化學習元素展現給學生，讓學生在數學學習中既理解多元文化中數學知識的穩定性，也能涵育他們的家國情懷。三是數學史的展現方向比較豐富，提高了覆蓋面。西師版小學數學教科書中，關于數學史的介入在小學高年級較多，且貼近生活實際，豐富生動，符合小學階段教學任務，能夠讓學生體會到數學知識的重要性，增強應用數學知識的意識。

（三）遵循認知規律，編排螺旋上升

小學生認知能力、接受知識水平的差異性要求小學數學教科書的內容必須遵循學生的差異性原則，采取螺旋式上升的結構模式[7]。通過觀察分析西師版數學教科書數學史的內容設置情況，可以清晰地看出數學史內容設置上體現了以下特點：一是數學史內容設置以學生的認知規律為導向，突出學生的學習興趣。小學生具有天生的好動性，隨著年齡的增長及接受文化的增多，他們對數學探索的欲望也會不斷增加。因此，在西師版小學數學教科書中數學史的設置，在第一學段主要以游戲和簡要的背景知識介紹為主，符合小學一二年級學生的特點：他們對枯燥的知識不感興趣，因此通過游戲設置可以讓他們在游戲中獲得知識。第二學段則是根據高年級學生具有一定的認知能力和判斷能力，以推理和數學閱讀為主要方式進行教學，這樣能夠滿足學生的數學探索欲望，培養他們的發散性思維。二是在數學史融入上突出了隱性與顯性相結合的方式。具體而言就是在小學低年級主要通過顯性的引入方式，讓學生對數學史有一個清晰的了解。而隱形的引入則是通過對不太明顯的人名、地名的知識引入，讓學生形成一定的探索欲望，調動學生的課堂學習積極性。

三、小學數學教科書中數學史的教學建議

數學史內容作為激發學生學習熱情，擴展他們知識廣度與深度的重要元素，在教學中進行巧妙轉化與教學滲透顯得尤為重要。就研究者自身的體悟而言，西師版數學史教學過程中易受教學課時、學生參與積極性，以及教師自身知識結構等諸多方面因素的影響，進而難以完成教科書知識調適或創生的教學轉化。基于此，結合新課標核心素養的育人理念，建議從如下方面入手優化數學史教學。

（一）適時補充數學史，響應學生興趣探究

只有理解人類如何獲得事實或概念的知識，我們才能對孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷[8]。數學是一門追求探索的科學，數學知識是自由的，數學文化應該是根植于學生內心的。雖然西師版小學教科書數學史內容是根據教學知識進度安排的，但從內容契合度上而言，其存在內容之間過渡、銜接的不順暢。以五年級上冊教科書“小數點惹的禍”為例，課堂中對于數學嚴謹性的認識會更上一層，但從活躍的氛圍到嚴謹的一般教學過程著實單調了些。這時候，教師可以嘗試講述阿爾·花拉子模的故事，告訴學生他的生平事跡，及其解決的相關問題。最后，從烏茲別克斯坦印發的該數學家郵票作結尾，讓學生體會到數學研究對于國家與社會具有重要意義，在鍛煉他們嚴謹表達數學符號的同時，埋下了學生對數學專業知識探索的種子。

（二）整理經典數學史，設置專業學習活動

基于核心素養理念的課程改革逐步推進，尤其是“雙減”政策實施后，小學數學教學的功利性色彩越來越淡化。但是，針對數學教學中所存在的教師對數學史理解與應用能力不足的問題，學校需要加強教師研學培訓，提升教師的數學史素養：一是要加強教育培訓，讓教師樹立正確的數學文化理念。數學理念是開展數學教學工作的基礎，在數學教學中教師樹立怎樣的數學觀念就會有怎樣的教學活動。數學史已然列入西師版數學中，因而在教學中不應當出現教師不重視該環節的現象，而應當充分認識到數學史的育人價值。因此，學校要立足于實際，加強對教師數學文化理念的引導，讓教師充分認識到數學史的重要性，并且利用數學史章節調動學生的積極性。二是整理經典數學史，設置專業學習活動，用于提升教師的數學史教學技能。數學史屬于西師版教科書重要的內容，其應該滲透到具體的數學知識體系中，這樣既能滿足學生學習需求，又能拓展小學數學教學的內涵。由于數學史所涵蓋的內容比較豐富，如涉及人文、歷史等，因而要求教師加強整理記錄與新技術學習。例如，教師在上課前要做好備課工作，通過網絡等平臺收集數學知識資料，及時掌握數學史的拓展知識點與應用信息技術展示數學史的新方法。

（三）漸進組織數學史，設計學科實踐活動

數學史教學的重要目標就是增強學生實踐應用能力，教師可以通過豐富多彩的社會實踐活動增強學生對數學史的應用：一方面，以組織學生積極參加社會實踐活動的方式，學習、把握教科書中有關數學史的知識體系。例如，在學習圓周率時，組織學生開展系列的圓周率實踐調查活動，讓學生到圖書館、科技館等觀察圓的規律。另一方面，學校還可以組織各種演講比賽，通過演講比賽讓學生得到對信息再加工的技能，并圍繞數學史知識，要求學生談談自己的感悟。學生可以從祖沖之的圓周率計算比外國早一千年而獲得民族自豪感，可以從陳景潤等人研究數學奧秘的辛苦中獲得探索的勇氣。另外，教師還要巧妙設置考核，實現對學生的綜合評價。具體的考核方式：一是教師通過試題的方式進行考核。如教師可以將數學史中的相關知識點以試題的方式納入平時的訓練中，這樣既能檢驗學生的掌握情況，也告知學生此種題目非常重要。在學生學習完四年級的格子乘法之后，教師則可以按照要求讓學生用畫格子的方式求出兩數相乘的結果，調動學生學習數學史的知識。二是通過比賽的方式讓學生參與到數學史的學習過程中。如在一年級“七巧板”中，教師組織比賽讓學生參與進來，通過比賽的方式調動學生的學習積極性，培養他們的創造性思維。

[參考文獻]

[1]徐章韜，汪曉勤.HPM教育價值剖析及應用取向的深度挖掘[J].數學教育學報，2016，25（06）：10-14.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]馬維林.家國情懷視域下高中歷史教學審美化建構[J].中國教育學刊，2022（03）：14-20.

[4]陳兵.適應：數學符號意識培育的應然路徑[J].中小學班主任，2021（18）：43-44，49.

[5]祖丹，孔凡哲.數學必備品格的組成要素分析：基于數學家的視角[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2020，21（02）：59-65.

[6]沈佳.小學數學教材中數學史內容的比較研究[D].杭州：杭州師范大學，2018.

[7]劉令，徐文彬.我國小學數學教科書中數學史料的分析與建議[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2008，9（02）：43-47.

[8]波利亞.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8