融入數學文化： 初中數學“實數”的HPM教學研究

游學文

[摘要] 學習數學的課程內容不能局限于公式、規律等表征，更應當深入理解數學知識發展與形成的過程，理解蘊含其中的數學思想方法。以HPM的視角進行初中數學“實數”教學設計，具體過程：構建巧妙關聯發展區，導入研究問題;隱性引入數學史，進行學科實踐;設問引導后歸納，完成概念辨析;隨堂練習再反饋，展示文化理解，從而培育學生數學核心素養。

[關鍵詞] 初中數學;HPM;核心素養;數學文化;實數

HPM是數學史與數學教育的縮寫，其給予了數學文化本體的生成過程，且有助于學生數學文化的深度理解。追溯HPM的誕生歷史，其標志性事件應當是1972年第二屆國際數學教育大會成立數學史與數學教學關系國際研究小組[1]。HPM能夠將二者合一，并成為一個專有名詞的關鍵在于數學史中蘊藏著大量的思維方式、研究方法與情境文化。通過把握數學發展的脈絡，貫通數學的發展歷史，往往可以加深學生對數學概念、方法、思想及應用的理解，從而強化數學文化的傳承，提升數學的人文價值。目前，數學教育界對HPM的研究，有很大一部分集中于數學教科書中數學史的融入、呈現與育人價值。如部分學者近期對20世紀初美國數學教科書中的數學史內容進行了分析[2]。就蘇科版初中數學教科書來看，其在章節后面都會呈現相應的數學史閱讀材料，且主要與我國的數學發展歷史有關。為了進一步挖掘數學史育人價值，研究者嘗試進行融入數學文化的HPM教學研究。

一、HPM價值：教學融入數學文化的載體

（一）HPM提供數學文化本體的生成過程

文化的形成自始至終伴隨著人們的生產與實踐過程，借由生產生活的各種實踐活動形成便于使用的文化符號與規則，進而讓后輩繼承并約束他們后來的實踐[3]。無獨有偶，數學文化的生成過程同樣如此，在人們需要解決部分現實問題中產生了數學符號、規則與關系，并在共同體的認可與使用下進行了一系列的共通性表達。而數學史從數學的由來及其流變的角度提供了數學文化生成過程，一方面歷史的由來告訴了此類數學知識從哪些現實問題衍生而來，另一方面數學史為文化的生成提供了從問題到符號，再到精神內核的演變過程。實則，任何的數學符號或規則的創生都應當具備簡約的特性，以便于人們交流、使用與表達，且這些符號或規則也均為了讓人們更好地進行生產生活而存在。可見，HPM不僅給予了數學文化的符號與背后來源的解釋，還提供了文化的價值意義與精神追求。因而，在實際教學過程中，透過數學史的條分縷析及協同思考，不難發現其背后文化本體的價值力量，是一種將數學文化表層符號與內容功能集成的育人載體。

（二）HPM有助于學生深度理解數學文化

借助HPM教學將數學文化元素融入數學教育中，可以進一步傳承與弘揚數學文化。因而，在邏輯上我們必須要厘清兩個基本問題：為什么要研究數學史知識？數學史知識具備何種價值？通過分析上述兩個問題，數學文化的味道自然而然就出來了。首先，數學發展史中蘊含著數學學科的發展脈絡，彰顯了數學發展與社會科技進步的內在關系，具有數學思想方法與邏輯思維等方面的豐富意蘊。其次，數學史知識具備何種價值，回答這個問題就必須要思考數學史知識有什么時代價值、對社會經濟發展有什么貢獻。將數學史知識融入教學中，必然不可能僅通過古老的歷史讓學生產生興趣，更多的是要借由數學史凸顯其背后的思想方法。數學思想方法是數學文化的精髓，通過揭示這類思想方法，可以讓學生接觸到數學家的理性科學精神，從而彰顯深奧的數學文化精神。由此可見，HPM有助于學生對數學文化的深度理解，便于其經由表象歷史分析到深層歷史品悟，逐步達成對數學文化價值的認同與理解。

二、HPM實踐：蘇科版“實數”HPM教學設計

（一）基于HPM理念的教學設計原則

構建初中HPM教學方案不僅要根據具體的教學內容選擇相應的數學史，而且還要結合學生的學情與初中數學考核目標等因素。概言之HPM教學設計需要遵循以下原則：

第一，可靠性原則。這是最基本的原則，強調實事求是、求真務實。在構建HPM教學方案時必須要確保數學史內容的真實可靠，不能為了完成教學任務而虛構修改原始史料。要讓學生能夠以客觀的角度了解數學史，并且在了解數學史的過程中逐漸形成自我分辨與辯證懷疑的能力，養成良好的數學素養。

第二，趣聞性與隱蔽性原則。增強HPM教學趣味性是吸引學生學習注意力的關鍵，因此，教師在具體的教學設計時要采取多元化手段提升課堂的趣味性[4]。數學史融入數學教學分為顯性與隱性，教科書編排使用的是顯性融入，例如蘇科版初中數學“閱讀”模塊就是顯性融入方式。隱性融入則是從重構角度出發，根據初中數學教學內容而對數學史進行重新設計，以此將數學知識歷史形成過程生動地展現給學生，加深學生對相關數學知識的認知能力。相對而言，隱性融入的效果比顯性融入要好，因此在具體的教學中教師要遵循隱性融入的原則。

第三，探索性原則。通過分析，初中數學教科書中都會有不同形式的數學發展史閱讀素材，然而在實踐過程中教師對于已經編排好的數學史料大多數是以“附加”的方式融入教學中，存在機械學習的情況，并未實現育人的功能[5]。因此，在具體的設計中教師要結合學生的學情，適當豐富史料，采取循序漸進的方式有效融入數學課堂教學，通過教師的細致引導、層層設疑，逐步滲透數學文化并發揮其育人價值。

（二）HPM理念下初中數學“實數”教學過程

由于“實數”是八年級上冊學習的內容，雖然初二學生相對于初一學生在抽象思維上得到鍛煉與提升，但基于傳統學習方式的影響，學生在學習上仍然表現出較大的依賴性，不容易接受抽象的知識點。并且，“實數”內容雖然相比“冪的運算”“勾股定理”較為直觀，但是無理數和實數的概念比較抽象，學生在學習的時候普遍感到有理解難度，容易產生認知混亂。其實，有理數系的擴充是人類對數的認知的一次飛躍，是生產和生活發展的需要。無理數、有理數的出現和理論體系建立對學生的認知發展起著關鍵性的作用，教師要讓學生明白數學發展并不是隨意的，而是以現實需求為基礎的。教科書中有關“實數”教學內容的設置，主要是通過學生將一些整數和分數化成小數的過程，說明任何一個有理數都可以轉化為無限循環的小數和有限小數形式[6]。在教學中學生存在如下困惑：無理數的產生原因是什么？無理數是如何出現的？無理數與有理數有何區別？其現實作用是什么？基于學生所存在的各種疑惑問題，設計“實數”HPM教學過程。A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

1.巧妙關聯發展區，導入研究問題

上課前教師要帶領學生復習有理數的分類，為學習無理數及實數的分類做好準備。例如，在上課時教師要向學生提問是否記得有理數是如何分類的，并讓學生列舉一些有理數，重新回顧有理數可以分為整數和分數。當學生列出有理數后，組織學生將其轉化為小數的形式，然后讓學生探討，在將有理數轉化為小數后出現了什么規律。以此，讓學生意識到有理數轉化為小數形式后，其劃分成無限循環小數和有限小數。通過對學生自己動手操作過程的總結，得出小數除了無限循環小數和有限小數之外，還包括無限不循環小數，從而引導出本節課新知“無理數”。

如上的教學過程勾連了學生的最近發展區，讓學生從已學過的知識出發認識到之前有理數的分類無法涵蓋現實中全部的數。經由這樣的研究過程，讓學生明確數學中數系的擴充是因應數學家的實際需要。此教學過程不僅復習了之前的學習內容，還在一定程度上便于在下文教學中引入數學史，讓學生帶著現實需要去探尋數學發展史的源頭，進而深入思考數學文化中概括與表達的基本功能。

2.隱性引入數學史，進行學科實踐

“無理數”發展歷程比較久遠，關于“無理數”的研究探析一直是學術界的熱門話題。為了讓學生明白無理數的發展歷程，教師在正式講解新知識時要利用微視頻播放有關“無理數”的發展歷史。基于數學史背景創設問題情境，從而激發學生的學習興趣進行刨根問底式的研究[7]。最早的無理數起源與研究勾股定理有關，我們知道邊長為1的正方形，其對角線為，但人們卻不知道如何表達出來。畢達哥拉斯學派希帕索斯發現，邊長為1的正方形的對角線與邊長是不可公度的，發現它不是有理數[8]。隨后，學術界對其研究主要從公式計算和幾何圖形證明兩個方面進行驗證。

教師通過播放無理數的發現起源故事，讓學生了解無理數的發展歷史，以此掌握知識的來龍去脈。但學生在觀看數學史源頭后，仍會感覺到學習無理數時十分枯燥、難懂。因此，教師要結合學生學情，鼓勵學生實踐操作，以加強學生對無理數的認知能力。例如，教師可以向學生提出“無理數在現實中是否存在”的問題，然后讓學生對兩個面積為1的小正方形進行裁剪，目標就是要將其拼成一個面積為2的大正方形，并且計算大正方形的邊長。學生通過自己手動操作了解到小正方形的對角線的長度，以此具體感受到無理數就在我們身邊;通過動手操作不僅可以讓學生更加清晰地了解無理數的來源，而且還能進一步增強數學教學與實踐的聯系性。例如，在本次教學中讓學生以幾何圖形的方式驗證的大小，這樣可以讓學生明白拼圖是研究和解決幾何問題的重要方法，增強數學教學的具身實踐性。

3.設問引導后歸納，完成概念辨析

無理數分為很多種形式，為了讓學生掌握無理數的形式，教師要采取提問的方式。例如“學生已經知道無限不循環小數是無理數，那么π是無理數嗎？”組織學生進行討論。通過合作交流，讓學生了解到無理數的形式主要包括圓周率π、開方開不盡的數與有一定規律但是不循環的小數。由于學生對圓周率π還不太理解，因此教師可以將其發展歷程進行簡單的介紹：人們很早就知道圓的周長為2πr，面積為πr2，其中r是圓的半徑，π為圓周率。但是，計算π是非常困難的，人們希望用一個公認的大致數來近似得到π。因為尼羅河的泛濫，為了調整泛濫后的土地，古埃及人掌握了土地面積測量與計算的技術，他們對于計算圓面積的π給出了很好的近似值。這一教學過程讓學生從生產實踐的角度延展數學發展史，進一步使學生明確了無理數整理與研究的現實意義。

實數主要可以分為有理數和無理數，但是在具體的學習中學生往往會因為固定分類的方式而限制自身思維的發展。可見，在實際教學中教師需要重點講解實數的分類問題，進而讓學生完成對概念的辨析。為了讓學生完全掌握實數的分類問題，教師要讓學生嘗試自己對實數進行分類。在分類的過程中，教師不要過多干預，而是讓學生按照自己的認知進行分類。有學生將其分為有理數與無理數，而有學生將其分為正實數、零和負實數[9]。這樣獨立思考再展示的過程，能夠讓學生在充分了解實數分類思想的基礎上，增強他們的獨立學習、獨立思考能力，并且全面對所學知識進行概念辨析及系統的匯總與應用。當然，為了增強學生對實數的認知能力，教師應當設置概念圖繪制的任務，幫助學生理解概念本身。

4.隨堂練習再反饋，展示文化理解

隨堂練習的及時評價反饋是讓學生明確自身對數學概念理解與掌握程度的重要方式，也是提升初中數學教學質量的重要舉措。而在“實數”的HPM課堂教學后，教師可以讓學生在課后進一步查閱資料，根據相關無理數研究的數學史資料，完成數學敘事的小故事。小故事的撰寫，建議學生從無理數實例、研究需求、現實意義及應用等多個方面進行論述。此外，在整理資料讓學生進行數學寫作的過程中，可以參考部分學者提出的“證據—推理—主張”的框架，讓學生進一步使用學習[10]。透過小故事的寫作，一方面檢測學生對實數整體內容的學習掌握情況，另一方面，也展示出學生對數學文化的理解深度，便于教師在以后的教學中及時調整。

對HPM教學課堂的評價需要采用內容表征、認知需求、學習過程、學生課堂表現與評價標準等維度構建的“四位一體”評價量規。其中，內容表征是數學史料的準確、連貫與合理性程度，認知需求是數學史應用對學生理解和掌握數學概念的支持程度，學習過程是數學史學習活動對全體學生獲得學習機會的支持程度，學生課堂表現是數學史學習活動中學生任務完成、想法提出及促進交流討論上的貢獻程度，評價標準是數學史學習活動中教師揭示學生思維、利用學生想法或處理學生錯誤的程度[11]。在具體的“實數”HPM教學中，教師可設置如下表所示的學生評價體系。

在構建HPM教學模式時，教師要具有一定的數學史素養，并根據學生學情、教材內容而合理應用數學史。然而，很多時候數學教師在教學中卻不知道如何使用數學史，因此要加強數學教師的教學觀念轉變工作。具體而言，一方面，需要加強專業素養培養，讓教師理解初中數學知識較為抽象，融入數學史能夠切實融入數學文化，深化數學學科的育人功能。另一方面，要強化HPM教學模式的課例研究等職后教師培訓工作，采取切實有效的舉措提升數學教師應用數學史的教學能力。在研讀文獻學習HPM教學方法的同時，還可以開展研學活動，鼓勵教師到經驗成熟的學校開展交流，學習其先進的教學方法，以此推動HPM教學的實踐落地。

[參考文獻]

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