二次函數的平移、翻折與旋轉

陳文倩

【摘要】 二次函數是初中數學中一種重要的代數函數， 而二次函數問題在中考中同樣也是熱點問題. 本文主要對二次函數的平移、翻折與旋轉問題進行分析.

【關鍵詞】 初中數學;二次函數;平移、翻折與旋轉

1 二次函數平移、翻折與旋轉問題的題型分類

1.1 二次函數的左右、上下平移問題

在函數的平移變換中， 我們有口訣“左加右減、上加下減”， “左加右減” 僅對x進行加減， “上加下減” 是對函數整體進行加減.且二次函數在平移變換中， 并不會改變二次項系數a， 左右與上下平移的順序也不會改變最后的結果.

例1 （1）二次函數y=2x2經過向（左/右）平移單位， 向（上/下）平移單位可得到二次函數y=2（x+1）2-1.

解 本小題為基礎題， 運用口訣即可輕松得出答案： 向左平移1單位，向下平移 1 單位.

（2）將二次函數y=2x2+1向右平移2個單位， 再向下平移1個單位得到的二次函數函數表達式是.

解 同（1）的方法， 我們可以快速得出答案

y=2（x-2）2.

（3）將二次函數y=12x2-x-12向左平移3個單位， 再向上平移2個單位得到的二次函數函數表達式是.

解 本小題有兩種解題思路.

①直接對二次函數y=12x2-x-12進行平移變換，將所有的x加3，得到y=12（x+3）2-（x+3）-12，再將函數整體加2整理得到

y=12x2+2x+3;

②將二次函數y=12x2-x-12寫成頂點式：y=12（x-1）2-1，再將x加3，整體加2得到

y=12（x+2）2+1.

（4）將二次函數向右平移1個單位，再向上平移2個單位后得到二次函數y=-2x2+4x.

解 本小題考察了學生的逆向思維能力.將題目轉化成“二次函數y=-2x2+4x向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的二次函數表達式是.”則用（3）的兩種解題思路都可得出二次函數表達式y=-2x2.

例2 已知二次函數y=x2-2x-2.

（1）若二次函數沿x軸方向平移后經過點（4，1），求平移后所得二次函數的函數表達式，并說明怎樣平移.

解 沿x軸方向平移說明二次函數左右平移.先將二次函數化成頂點式：y=（x-1）2-3，設平移后的二次函數表達式為y=（x+h-1）2-3，再將（4，1）帶入得出h1=-1，h2=-5.則二次函數表達式為y=（x-2）2-3或y=（x-6）2-3，將原二次函數向右平移1個單位或者向右平移5個單位得到新二次函數.

（2）若二次函數沿y軸方向平移后經過點（3，0），求平移后所得二次函數的函數表達式，并說明怎樣平移.

解 沿y軸方向平移說明二次函數上下平移.設平移后的二次函數表達式為y=（x-1）2-3+k，將（3，0）帶入得出k=-1.則二次函數表達式為y=（x-1）2-4，將原二次函數向下平移1個單位得到新二次函數.

（3）如何將二次函數沿對稱軸上下平移后所得到的新的二次函數與坐標軸只有兩個交點？

解 沿對稱軸上下平移即為沿y軸方向平移.方法同（2），設新的二次函數表達式為y=（x-1）2-3+k.因為新的二次函數與坐標軸只有兩個交點，則有兩種情況：

①令y=0，（x-1）2-3+k=0，

整理得x2-2x-2+k=0，

由b2-4ac=22-4（-2+k）=0，得k=3;

②將（0，0）帶入新的二次函數y=（x-1）2-3+k，得k=2.

綜上，將二次函數沿對稱軸向上平移3個單位或2個單位即可.

例2直接用一般式也可以求解.方法參考例1（3）①.

2 二次函數的翻折與旋轉問題

二次函數y=a（x+h）2+k經過翻折與旋轉不會改變開口大小，則此問題可以歸結于兩點：1.a的正負;2.頂點坐標的變換.最后通過頂點式得出變換后的二次函數表達式.

或者可以運用整體思想.二次函數y=a（x+h）2+k的翻折與旋轉可以看做是二次函數上的任意一點（x，y）進行變換，將變換后的（x′，y′）帶入二次函數，即可得到變換后的二次函數表達式.

例3 已知二次函數y=-2（x+1）2-3.

（1）將二次函數關于x軸對稱，得到的新二次函數函數表達式為.

解 y=-2（x+1）2-3關于x軸對稱，其開口方向改變，則a=2，其頂點坐標（-1，-3）關于x軸對稱后的坐標為（-1，3），所以新二次函數函數表達式為

y=2（x+1）2+3.

或者運用整體思想.在二次函數上的任意一點（x，y）關于x軸對稱后的坐標為（x，-y），將（x，-y）帶入y=-2（x+1）2-3，整理得

y=2（x+1）2+3.

（2）將二次函數關于y軸對稱，得到的新二次函數函數表達式為.

解 y=-2（x+1）2-3關于y軸對稱，其開口方向不改變，即a不變，其頂點坐（-1，-3）關于y軸對稱，變換為（1，-3），所以新二次函數函數表達式為

y=-2（x-1）2-3.

或者運用整體思想.在二次函數上的任意一點（x，y）關于y軸對稱后的坐標為（-x，y），

將（-x，y）帶入y=-2（x+1）2-3，整理得y=-2（x-1）2-3.

（3）將二次函數關于原點對稱，得到的新二次函數表達式為.

解 y=-2（x+1）2-3關于原點對稱，其開口方向改變，則a=2，其頂點坐標（-1，-3）關于原點對稱，變換為（1，3），所以新二次函數函數表達式為

y=2（x-1）2+3.

或者運用整體思想.在二次函數上的任意一點（x，y）關于原點對稱，變換為（-x，-y），將（-x，-y）帶入y=-2（x+1）2-3，整理得

y=2（x-1）2+3.

（4）將二次函數y=-2（x+1）2-3繞頂點旋轉180°，得到的新二次函數表達式為.

解 y=-2（x+1）2-3繞頂點旋轉180°，其開口方向改變，則a=2，但頂點未改變，所以直接可以得出新二次函數表達式為

y=2（x+1）2-3.

例3中關于x軸，y軸對稱，其實就是關于y=0，x=0對稱，關于原點對稱就是關于（0，0）對稱.由此我們也可以延伸到求二次函數y=a（x+h）2+k關于x=m，y=n，（m，n）對稱后的新二次函數函數表達式.

總結

函數是最能體現數形結合的知識點，而二次函數更是中考題中的重難點，再結合上圖形的變換，因此學生接觸到此類問題時，更會顯得手足無措.在二次函數解題中，數形結合思想、分類討論思想、類比思想等數學思想方法可以充分體現出來，從而提升學生的數學素養，使學生體會到數學的研究精神.本文借助二次函數頂點的變換或是二次函數上任意一點的變換，直擊問題關鍵，從而做到簡單有效地解決問題.