數學教學中模型思想的應用探討

唐凌霞

摘要：模型思想是學生數學核心素養的重要組成部分。數學模型是運用數理邏輯方法和數學語言建構的科學或工程模型。學生學習數學的過程就是模型建構的過程。文章從數學模型思想的研究與發展入手，分析模型思想應用于數學課堂教學的意義，并從深挖教材、提煉數學模型，巧設問題、培養建模意識，總結反思、內化模型思想，練習遷移、促進模型應用，分級教學、構建模型思維，以生為本、完善建模過程等方面對數學教學中模型思想的應用策略進行探究。

關鍵詞：數學模型；問題解決；小學數學；模型思想

中圖分類號：G623.5文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2022）16-0126-04

模型思想，即數學中建立模型的思想。數學模型是參照某種事物系統的特征或數量依存關系，采用數學語言，概括地或近似地表述出的一種數學結構，這種數學結構是借助于數學符號刻畫出來的某種系統的純關系結構。數學新課標要求數學教師在設計課程思路的時候要體現模型思想，并特別指出“在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的能力”。數學模型思想方法是教學中最常見、應用最廣泛的數學思想方法之一，其廣泛涉及“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等多個內容，體現了數學學科的應用本質，對數學學科的發展具有重要的促進作用，是實現數學學科應用功能的基本形式和重要手段。教學實踐表明，教師在數學教學中應用模型思想，有助于學生形成數學思維，樹立數學意識，提升數學核心素養。

一、數學模型思想的研究與發展

數學模型起源于社會實踐活動，古人從實際生活中分析數量關系，并創建數學模型。從數學的發展史看，那些最初的數學問題皆起源于經驗，如古巴比倫人在天文觀察、土地丈量和貿易中形成的位置觀念和六十進位數系，我國的《九章算術》等。自1970年開始，美、英等國便積極關注數學模型思想。1977年，美國召開第一屆數學建模國際會議（ICMM），數學模型思想隨之得到輝煌發展。國內有關數學模型思想的研究略晚于國外，20世紀80年代初“數學建模”進入我國大學，成為一門新課。1992年，我國舉辦首屆大學生數學建模競賽。數學建模課程的開設和大學生數學模型競賽的舉辦在某種程度上推動了基礎數學領域的數學模型思想的應用。《數學通報》雜志相繼刊發多篇文章，開啟中學領域的數學模型思想的研究之路。楊守廉在《數學建模與中學數學教學》（1993）中，結合美國中學數學教學滲透數學建模思想的若干問題實例，對數學建模在“問題解決”中的應用及規律進行總結。張思明的《灌溉問題———中學數學建模問題一例》（1993）也是譯編自國外的數學模型教學，文章以“灌溉問題”為例，論述數學建模及求解的具體步驟。2000年，數學模型思想及方法逐漸由中學數學課堂向小學數學課堂發展滲透。魏彬在《數學模型方法與小學數學教學》（2000）中，結合數學模型定義從“需求關聯、抽象簡化、建立模型、問題求解、模型檢驗等方面概述數學建模的步驟”，并在此基礎上總結數學模型方法指導下的數學教學特點，以對教學有所裨益。何福炬、孟允獻在《談小學“數學建模”》（2004）中，提出數學建模的素材選取要充分考慮實踐性、活動性、主體性、合作性等，在開展“數學建模”教學時應“結合學生的實際水平、分層次逐步推進”。2005年至2020年的研究成果多是在“問題解決”與“數學模型”范圍內展開的，其中比較具有創新價值的是，2017年陳燕的《小學數學建模：概念解讀、現狀分析與未來展望———基于課題研究與數學核心素養培養的分析與思考》，其研究內容緊密結合當前的“學科核心素養”這一熱點，并針對數學建模教學的一些誤區進行剖析，“從課標、教材、教學等方面分析數學建模發展之路”。

二、模型思想應用于數學課堂教學的意義

1.理解數學本質

數學學科具有一定的抽象性，是邏輯嚴密的學科，小學階段的學生正處在以形象思維為主的階段，將模型思想應用于數學課堂，能增強學生對數量關系與空間形式的理解，促使學生對數學概念、符號、法則掌握得更加精準，對數學公式、定理、規律運用得更加靈活。首先，教師將模型思想應用于數學課堂教學，能夠幫助學生將問題中的已知條件與未知條件找出來，并將問題與模型對應起來，以實現對問題的正確解答。其次，教師將模型思想應用于數學課堂教學，通過數學情境或活動幫助學生感知數學問題，促使學生主動梳理與思考數學公式和定理，進而理清知識脈絡，透徹理解相關概念，實現對數學知識的重構。最后，教師將模型思想應用于數學課堂教學，能夠促使學生在情境中感知數學，在活動中體驗數學，在探究中理解數學，以符合學生認知特點和思維規律的方式，促進學生理解和把握數學知識，并運用數學的方法與思維來解決問題。

2.解決實際問題

模型思想是數學的基本思想之一，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。將模型思想應用于數學教學，可以提高學生用數學知識解決實際問題的能力。首先，數學問題來源于生活，教師在數學教學中滲透模型思想，不但可以通過數理邏輯重構實際問題，還可以通過對實際問題的“數學化”來創設問題情境，促使學生在經歷、體驗、探索數學模型建構的過程中，提升認識數學和探究數學的興趣，進而自主體悟出解決實際問題的方法。其次，教師在數學教學中滲透模型思想，可以使學生的實際生活與數學學習的關系更密切，以此促使學生更加關注實際生活，并能夠將生活問題數學化，從而有效提高自身解決實際問題的能力。最后，生活中的實際問題復雜多變，而數學模型則有規律可循。教師在數學教學中滲透模型思想，幫助學生學會運用數學模型解決實際問題，做到“以不變應萬變”，這不但能夠將生活問題簡化，還能夠快速解決生活問題。以部編人教版數學五年級上冊“簡易方程”的教學為例，首先，教師可以引導學生認真觀察方程式與數學算式，促使學生仔細辨析二者的異同，以此幫助學生理解方程的概念。其次，當學生理解方程的概念后，教師便可以為學生呈現實際問題：“某學校要組織學生參加研學旅行，要分三天分批安排師生參加。全校共有師生2062人，第一天安排615人，第二天安排702人，第三天安排多少人才能圓滿完成這次研學之旅？”最后，對于上述問題，學生可以用數學算式解決，也可以用方程解決。在學生解決問題的過程中，教師可以引導學生認真思考：“方程是不是等式？生活中能否用到一元一次方程？”以此增強學生對方程模型的理解。經過教師這樣的教學引導，學生就可以在不斷探索數學模型的過程中，逐漸將數學建模思想內化于心。

3.發展學生思維

數學被稱為思維的體操，思維是數學的生命線。教師在數學教學中滲透模型思想，能夠發展學生的抽象、概括、轉化、推理等思維能力，提升學生的數學核心素養。一方面，教師在數學教學中滲透模型思想，不但能夠促使學生在運用公式、定理等抽象化的數學模型解決數學問題時，自主對信息進行提取、加工與建構，有效提高學生概括與抽象、類比與歸納、猜想與推理等方面的能力，還能夠促使學生在“問題情境—建立模型—求解驗證”的模型探索中，增強分析問題、解決問題的能力。另一方面，教師在數學教學中滲透模型思想，以情境創設導入問題，并通過典型直觀的教學情境將問題呈現出來，能使學生在教學情境的引導下，從感性思維中跳出來，學會運用假設、推理、驗證等方式分析問題、解決問題，進而逐漸學會提出模型假設，建立模型，并根據已有的數學概念、公式等對模型進行求解、檢驗及進一步應用，從而使自身的思維逐漸由直觀形象向抽象概括發展，解決問題的能力也會隨之不斷提高。

三、數學教學中模型思想的應用策略

1.深挖教材，提煉數學模型

數學模型是以科學的數理邏輯方法將符號、概念、圖形等數學語言加以提煉的科學模型。數學建模是將空間特征或數量關系以數理邏輯的方式進行整合與建構，進而成為一種抽象化、概括化、模型化的數學結構，它是將生活中的實際問題抽象并簡化，使其化為數學問題，并運用模型來求解的過程。統編版數學教材在編排上較注重學生的生活經驗，注重學習情境的創設，但對數學模型思想的呈現不夠直觀與系統，這對于小學階段的學生而言具有一定的學習難度，這就要求數學教師在全面解讀課標，充分挖掘教材中的數學概念及公式的基礎上，從教材中提煉出運算模型、方程模型、概率模型、公式模型等，并將其融入到數形教學中，以實現對數學模型思想與方法的靈活運用。例如，在教學部編人教版數學五年級上冊“梯形的面積”時，首先，教師可以帶領學生通過親自動手操作給原有梯形補上一個等底等高的梯形，使二者合起來正好構成一個以梯形的上底與下底之和為底邊、與梯形等高的平行四邊形，這樣梯形的面積就轉化為平行四邊形面積的1/2。其次，教師可引導學生結合所學的平行四邊形的面積公式S=ah，正確推導出梯形的面積公式S=1/2（a+b）h。由此看來，梯形面積的推導過程是將一個未知的數學問題（梯形面積）轉化為已知的數學模型（平行四邊形面積公式）的過程，也是運用模型推導新的模型的過程。最后，在學生掌握梯形面積公式的推導方法之后，教師可以帶領學生進一步深度挖掘教材，并引導學生以同樣的數學模型對三角形面積公式進行推導，以此加深學生對相關知識的理解。學生在推導公式的過程中，會自覺對教材知識進行重構，對數學問題進行抽象與概括，從而形成從問題到模型，再從模型到問題的轉化與飛躍。

2.巧設問題，培養建模意識

數學模型思想與問題解決密切相關、彼此滲透。數學建模本身就是對生活中的實際問題進行數學化處理并求解的過程，即教師帶領學生從數學角度抽象、簡化、理解問題，并將這一問題納入數學語言與數理關系中，從而達成正確求解的目標。由此可見，對實際問題數學化處理并建立問題與模型的聯系，是滲透建模思想的關鍵。因此，在實際教學中，數學教師要在充分考慮學生認知特點及思維規律的基礎上，幫助學生實現從模型認識到模型感知，再從模型理解到模型應用，以此促進學生數學問題的分析和解決能力的提高。例如，在教學部編人教版數學四年級下冊“用方程解決問題”時，教師可以先根據實際生活創設生活情境：“小明到動物園去參觀，他對猴子很感興趣卻又不清楚動物園里究竟有幾只猴子，于是，小明向導游尋求幫助，導游給他提示：動物園里新到了一批香蕉，飼養員每天早上給每只猴子4根香蕉，下午給每只猴子5根香蕉。經過計算，這批香蕉給猴子們吃5天的話還余5根，吃6天的話還少4根。請你結合條件思考并判斷：動物園里共有幾只猴子？”然后引導學生根據題意，弄清已知條件與未知條件，建立等量關系，并根據等量關系提出假設，列出方程式，最后求解并檢驗。教師引導學生審題、解題的過程，就是向學生滲透建模意識，幫助學生將生活問題轉化為數學問題的過程，能切實提高學生解決問題的能力。

3.總結反思，內化模型思想

模型思想是幫助學生構建數學學習與實際生活聯系的基本途徑，它有助于學生對數學基本知識、核心概念與重要公式的理解與把握。從廣義的角度來看，學生在數學學習中所接觸到的數學概念、公式定理、數學命題，甚至常見的數學圖表，大多蘊含著基本的數學模型，教師可以讓學生自主推導或總結反思，在理解的基礎上牢記并運用這些概念、公式或定理，以深入內化數學模型思想，全面提高數學建模素養。小學階段的學生已具備一定的數學推理、類型總結、學習反思，以及自主建構與總結反思的能力，為了使學生真正理解數學模型思想的內涵和價值，教師可以讓學生對知識或習題進行總結歸類，以反思促理解，從而內化數學模型思想。

4.練習遷移，促進模型應用

數學習題練習及錯題分類歸納和剖析都是高效的數學學習方法。從數學模型角度來看，這一方法有其特有的科學性，因為學生在進行數學習題練習或錯題分類歸納的過程中，會自主尋找解題的“規律”或“共性”，這恰恰也是對數學模型思想及方法應用的重要途徑。在數學課堂教學中，學生在教師的指導下進行有針對性的數學習題練習或錯題剖析，有助于提高學生對數學模型的應用能力。在實際教學中，教師應緊緊圍繞數學模型問題，精選具有典型性的數學習題進行練習，這既有助于激發學生的數學學習興趣，又有助于促進學生對數學模型的應用，幫助學生化實際問題為數學模型，有效培養學生數學模型的遷移轉化能力。

5.分級教學，構建模型思維

學生的思維發展具有階段性特點，而數學教材也是基于學生這一思維特點編寫的，因此教師在數學教學中滲透模型思想時，一定要遵循學生的思維發展規律，以此使模型思想真正促進學生的數學學習。在實際教學中，教師要在低年級數學教學中滲透初級模型思想，使學生逐漸認識數學符號，并學會靈活運用數學規則，形成初級思維模式。教師要在高年級數學教學中滲透高級模型思想，促使學生嘗試運用猜想、假設、推理等方法理解數學模型的結構、表征和變式，形成高級思維模式。這樣的數學模型思想滲透教學方式符合學生思維的梯級發展規律，有利于學生模型思維的構建，也有利于學生解決問題能力的提高。

6.以生為本，完善建模過程

在數學教學滲透模型思想過程中，教師要充分發揮自身的教學引導作用，從多個角度考慮學生的實際情況，例如學習到的抽屜原理，既要讓學生可以應用該原理解決相關的實際生活問題，又不能讓學生過分套用公式，這就要求教師要充分將理論知識聯系實際生活，從學生角度出發，幫助學生辯證地看待生活問題。雖然抽屜原理在生活中的應用較為廣泛，但是要想將生活實際與理論完美結合起來，還有很長一段路要走。因此，在實際教學中，教師要幫助學生完善思維模式，促使學生了解思想形成過程，引導學生建立相應的數學模型，并幫助學生應用數學模型解決相關問題。

四、結語

模型思想是一種基本的數學思想。無論是從新課改發展動態來看，還是從數學學習本身來看，數學教師都應著力培養學生的數學模型思想，以此將實際生活與數學知識有效聯系起來，促進增強學生對數學概念、公式及定理的理解與運用，促使學生能夠從模型的角度對生活中的實際問題進行抽象、簡化、假設與論證，將生活問題轉化為數學問題，并有效求解。在實際教學中，數學教師要引導學生貫通生活與數學，并能夠將模型思想靈活運用于數學學習之中，將實際問題轉化為數學模型，以此培養學生的邏輯思維能力，增強學生數理分析能力，提高學生實際問題的分析能力和解決能力，提升學生的數學核心素養。

參考文獻：

[1]張景新.模型思想在小學數學概念教學中的路徑———以人教版六年級上冊《比的意義》一課教學為例[J].福建教育學院學報，2021（12）.

[2]彭國慶.蘇教版和人教版小學數學教科書中兩、三位數乘兩位數的比較[J].內蒙古師范大學學報：教育科學版，2020（05）.

[3]劉艷杰.基于數學模型思想的小學數學問題解決教學設計研究[D].南京師范大學，2020.

[4]毛文波.感悟模型思想結構模型思維———以《小數的意義》教學為例[J].淮陰師范學院學報：自然科學版，2018（04）.

[5]彭亮，徐文彬.例析模型思想在小學數學教學中的運用[J].南京曉莊學院學報，2018（04）.

[6]彭榕峰.數學思想在現代小學數學教學中的滲透[J].延邊教育學院學報，2017（06）.

[7]曾玉華，鄭果.模型思想在小學數學教學中的方法論價值[J].湖南第一師范學院學報，2017（05）.

[8]王紅平.小學課堂中建構數學模型思想的策略研究[J].山西師大學報：社會科學版，2013（S2）.

Discuss on the Application of Model Thought in Mathematics Teaching

Tang Lingxia

（Mengba Town Central Primary School， Zhenyuan County， Qingyang City， Gansu Province， Zhenyuan 744506， China）

Abstract： Model thinking is an important part of students mathematics core competence. Mathematical model is a scientific or engineering model constructed by using mathematical logic methods and mathematical language. The process of students learning mathematics is the process of model construction. Starting with the research and development of mathematical model thought， this paper analyzes the significance of the application of model thought in mathematics classroom teaching， and probes into the application strategy of model thought in mathematics teaching from the aspects of deeply excavating teaching materials， refining mathematical models， skillfully setting problems， cultivating modeling consciousness， summarizing reflection and internalizing model thought， practicing migration， promoting model application， graded teaching， constructing model thinking， student-centered and perfecting model process.

Key words： mathematicalmodel；problemsolving； mathematicsin primaryschool；modelthought