解開幾何證明的謎題鎖

【摘要】幾何證明題是初中階段繞不開的題型之一，對于初學(xué)者來說，它的難點不僅在于圖形的復(fù)雜多變，還在于需要將圖形進行分析和轉(zhuǎn)化并進行邏輯推理構(gòu)建，這一過程需要嚴謹準確地篩選合適的判定條件進行證明，其中可能還需借助適當(dāng)?shù)妮o助線才能解決，一旦推理步驟出現(xiàn)錯誤或者跳躍，都可能導(dǎo)致證明錯誤或無法完成，因此掌握幾何證明題的推理方法顯得尤為重要.本文以一道中考數(shù)學(xué)幾何證明題的解題過程為例進行綜合分析，探討幾何證明中演繹推理、歸納推理等多種思維方式及其中蘊含的數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】全等三角形；初中數(shù)學(xué)；解題方法

1"引言

幾何證明是中考數(shù)學(xué)常見考點，以此為基礎(chǔ)的問題也屢見不鮮.對于證明題，逆推順證是一種非常重要的解題策略，逆推是指從問題的結(jié)果出發(fā)，反向推理尋找解決問題的途徑，順證則是在逆推找到可能的路徑后，按照正常的邏輯順序進行證明，這種方法在解決一些復(fù)雜問題時非常有效，尤其是在需要尋找問題解決的突破口時特別重要.下面以一道中考數(shù)學(xué)幾何證明的相關(guān)問題為例進行探究.

2"中考數(shù)學(xué)幾何綜合題解析

例1"如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為BC邊上一點，連接AD，E，N為AC邊上兩點，CB=CN， 連接BN，DE，BN交AD于點M，∠EDM=∠ENM=∠MDB.

（1）如圖1，當(dāng)∠C=45°時，求證：△ABD≌△AED;

（2）如圖2，當(dāng)BN=3BD時，猜想△ABM的面積與四邊形CDMN面積的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）若EC=8，BD=6，求AB的長.

解題指導(dǎo)

（1）本題是常見的證明三角形全等的題型，通常依賴于特定的判定定理.常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL，本題已知的有一條公用邊和∠EDM=∠MDB，那么只需證明另一組角相等或證明BD，ED這一組邊相等.由于這一問給出的條件是角度，所以傾向于求角相等.

證明"因為∠C=45°，CN=CB，

所以∠CNB=∠CBN=67.5°.

因為∠EDM=∠ENM=∠MDB，

所以∠EDB=135°，

所以∠EDC=45°.

又因為∠C=45°，所以在△CED中，∠CED=90°，

所以∠AED=90°，

在△ABD和 △AED中，"∠ABD=∠AED∠ADB=∠ADEAD=AD，

所以△ABD≌△AED（AAS）.

分析"本題求解較為簡單，需要巧妙運用三角形和四邊形的內(nèi)角和求得關(guān)鍵角∠AED=90°，進而就能用“角角邊”這一判定方法來證明三角形全等.

（2）此題要求探究面積的數(shù)量關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)這兩個圖形的面積都需要作圖畫高或者用割補法計算，十分麻煩，因此需要將圖形進行等量轉(zhuǎn)換或者將面積比轉(zhuǎn)化為邊長比，結(jié)合此題所給的邊長比求得.

解"S四邊形CDMN=8S△ABM，

證明"因為CB=CN，

所以∠CBN=∠CNB.

因為∠EDM=∠ENM=∠MDB，

所以∠MDB=∠MBD.

所以∠C=∠BMD，MD=MB，

所以△BDM∽△BNC，

所以S△BDM/S△BNC=（BD/BN）2=1/9

因為∠ABD=90°，

所以∠MAB+∠MDB=∠MBD+∠MBA=90°，

所以∠MAB=∠MBA，

所以MA=MB.

又因為MB=MD，

所以MA=MD，

所以S△ABM=S△BDM.

設(shè)S△ABM=S△BDM=a，則S△BNC=9a，

所以S四邊形CDMN=S△BNC－S△BDM=8a，

所以S△ABM/S四邊形CDMN=a/8a=1/8，

即△ABM的面積與四邊形CDMN面積的數(shù)量關(guān)系為S四邊形CDMN=8S△ABM.

分析"此題的關(guān)鍵在于通過角相等推出邊相等，發(fā)現(xiàn)S△ABM=S△BDM，利用相似三角形的面積比等于對應(yīng)邊長比的平方這一特點，得出比例.

（3）過點E作BC的垂線EF進行角度轉(zhuǎn)換，得出△CED是等腰三角形，利用中位線的性質(zhì)進行線段等量轉(zhuǎn)換，可知FM=FB，利用平行線證明三角形相似，通過相似三角形的比例關(guān)系求出AC，BC長度，通過勾股定理進行求解.

解"AB=12√7.

過點E作EF⊥CD于點F，連接FM（如圖3）.

因為∠EDC=180°－∠EDA－∠BDA=180°－2∠BDA，

∠BMD=180°－∠MBD－∠BDA=180°－2∠BDA，

所以∠EDC=∠BMD，

由（2）可得∠C=∠BMD，

所以∠C=∠EDC，

所以EC=ED.

因為EF⊥CD，所以F為CD的中點，

由（2）可得M為AD的中點，

所以MF∥AC，

所以∠FMB= ∠CNB，

又因為∠CBM= ∠CNB，

所以∠CBM= ∠FMB，

所以FM=FB.

設(shè)FC=x，則BF=x+6，

所以BC=2x+6，

FM=FB=x+6，

所以AC=2FM=2x+12.

因為EF∥AB，

所以CF/CB=CE/CA，即x/2x+6=8/2x+12，

解得x=6或x=－4（舍去），

所以AC=24，BC=18，所以AB=√242－182=6√7.

分析"此題的關(guān)鍵在于連接FM后發(fā)現(xiàn)其是中位線并且等于FB，以及EF∥AB得到線段比例，通過代數(shù)等量轉(zhuǎn)換推理得出答案.其中涉及角與邊的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，勾股定理等相關(guān)知識，相對其他綜合題來說難度較小，但需注意如何將這些知識點聯(lián)系結(jié)合，才能準確得出結(jié)果.

3"結(jié)語

幾何證明題中逆推順證的思想有助于從不同的角度思考問題，提高解決問題的靈活性和創(chuàng)造性.在實際應(yīng)用中，逆推可以幫助學(xué)生快速找到問題的關(guān)鍵點，而順證則確保了解題過程的正確性.這種思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要，也適用于其他學(xué)科和日常生活中的問題解決.