數學實驗：讓學生在親歷探究過程中學會學習

摘要：數學實驗是教師引導學生在特定的任務（問題）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，在數學思維參與下，理解數學知識、驗證數學猜想和發現數學結論的一種學習方式。 教師要引導學生經歷完整的數學學習過程，積累“定位實驗—驅動實驗—引領實驗—策劃實驗—優化實驗—反思實驗”的經驗，從而形成實驗探究的能力。

關鍵詞：數學實驗；探究過程；學會學習

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2023）24-0084-05

數學實驗是教師引導學生在特定的任務（問題）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，在數學思維參與下，理解數學知識、驗證數學猜想和發現數學結論的一種學習方式。數學實驗具有工具性、操作性、情境性、探究性等基本特征，可以解決學習資源缺乏、學習方式單一以及學習過程不完整等問題，促進學生學會認知、學會做事、學會共同生活、學會生存[1]。《義務教育數學課程標準（2022年版）》的課程理念部分也明確指出，要“引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題”[2]。可見，實驗是分析和解決數學問題的重要方法，教師要以核心素養為導向，讓學生經歷完整的探究過程，形成實驗探究的能力，學會數學學習。

一、結構化思考，定位實驗

實驗是以理解數學知識、驗證數學猜想或發現數學結論為目的的數學學習方式。任何一個實驗活動都應有清晰的目標定向，沒有目標指引的活動失去了其數學學習的價值，只是動手操作而已。教師應用結構化、系統化的視角將實驗與學習內容、實驗與實驗進行勾連，對實驗進行精準定位，發揮實驗應有的教育功能。

（一）實驗活動要與教學內容相關聯

實驗是學生學習某個數學內容所采用的一種方式。教師要正確認識實驗和教學內容的關系，防止出現“為活動而活動”的情況，將實驗和內容有機對接，把實驗嵌入到適合的知識體系中，真正實現實驗的價值。如教學圖形分割時，教師沒有止步于讓學生學會“找中心分割圖形”的方法，而是進一步引導學生用“繞中心旋轉180o ”的方法檢驗兩邊圖形是否重合。這樣的教學沒有將實驗定位于掌握一種特殊分割方法，而是將其與中心對稱圖形關聯，把實驗作為認識和理解中心對稱圖形的方法，為實驗找到內容依附，賦予其新的、更大的意義。

（二）實驗活動之間要有關聯

教學中，通常要通過幾個實驗活動才能解決某個問題。這幾個實驗活動不是孤立存在的，而是彼此關聯，共同引領和推進學生的探索。教學時，教師要基于教學目標，對各個實驗進行準確定位，妥善安排實驗的順序，為學生的探索提供思維路徑。如為了能讓學生發現三角形的三邊關系，教師設計了兩個實驗活動。活動一，用尺規作圖法將3條等長線段圍成三角形；活動二，用尺規作圖法將3條不等長的線段圍成三角形。以上兩個活動是教師基于對學生認知邏輯和知識內在邏輯的認識做出的最佳設計。三角形三邊關系的知識內在邏輯是“任意兩邊長度和大于第三邊”到“兩短之和大于最長邊”，而學生認知邏輯是“兩短之和大于最長邊”。兩個實驗活動的設計和安排，有效解決了知識邏輯和認知邏輯之間的矛盾。活動一從特殊三邊入手，得出“等長的三邊能圍成三角形”；活動二研究“不等長三邊”，得出“兩短邊之和大于最長邊”。在此基礎上，回到“特殊”，用活動二得出的結論解釋活動一的結論，推出“任意兩邊長度和大于第三邊”。

二、設計挑戰性任務，驅動實驗

學生是實驗活動的主體，只有喚起學生內在的學習動機，才能幫助學生調用所有的經驗和智慧，參與到探究過程。教師要通過設計學習任務或問題將教學目標轉化為學生的學習目標，引導和激勵學生探究數學知識。設計指向學生高階思維發展的學習任務（問題），是將學生引入到實驗探究“軌道”的關鍵。教師要關注真實性、實踐性和挑戰性任務的設計，引發學生思考，激活學生實驗的內需。

（一）真實性

任務中的情境應該是真實的，真實情境不是指在現實生活中真實存在的，可以是模擬真實情境的卡通情境，只要事件、場景的問題是合理的，能引發學生真實思考的，都具有真實性。教師要設計基于真實情境的任務，激活學生的生活經驗和情緒體驗，讓學生感受到數學學習的價值，引發“共情”，從而主動投入到問題的解決過程中。如教學“認識長方體和正方體”時，要求學生“求出教師制作的長方體紙盒（指定），至少需要鐵絲多少厘米？硬紙板多少平方厘米？”這個任務對于學生來說就是真實、可信的，在日常生活中，制作長方體紙盒需要考慮到鐵絲和硬紙板的用料，這個計算又是為老師解決問題，這些都能讓學生產生完成任務的沖動。

（二）實踐性

數學實驗教學中的任務解決要有利于學生開展實踐活動。設計時，要考慮任務具有實踐性，也就是能讓學生借助實驗活動探索問題。如“圖形的分割”一課，教師先布置了分割圖形的任務，即“畫一條直線，將給定圖形分成2個完全相同的部分”，再分兩批出示軸對稱圖形和平行四邊形。這樣安排的目的是讓學生從軸對稱圖形轉向對非軸對稱圖形的關注，啟發學生從全新的視角思考平行四邊形的多種分割方法。但是，無論怎么畫分割線，學生都要根據圖形之間的關系，通過動手操作驗證自己的猜想。

（三）挑戰性

挑戰性任務是指有一定的思維難度，需要學生通過自身的努力或同伴合作，運用已有的知識和方法、借助外在的工具、憑借意志和耐力等才能完成的任務。挑戰性任務的解決路徑、方法和答案都可以是開放的，通常采用主題學習和項目學習的方式解決問題。如：教學“升和毫升”單元，可以讓學生“了解自己家庭一周用水情況”。這一任務的完成需要至少一周的時間，學生要和家庭成員一起協作，通過觀察、記錄、計算和推算等活動才能夠完成。

三、引發合情猜想，引領實驗

學生的實驗需求一旦被激活，就會遵循原有的思維習慣，自覺運用自己熟悉的方式進行實驗。這是未經加工和雕琢的原生態的操作，是學生現有思維狀態的外在體現，可能產生一些錯誤和偏差。教師要在學生產生實驗動機后，幫助學生進一步澄清和明確問題，并基于直觀或借用已有經驗，對問題結論進行數學猜想，在發展學生直覺思維的同時，明確行動的方向。教學時，教師要引導學生通過觀察、分析和推想，形成實驗假設。

（一）在“觀察”中形成猜想

觀察是智慧最重要的能源。與動手操作相比，數學實驗的展開需要基于對結論的猜想。教師要引導學生通過對研究對象全面、細致的觀察和分析，感悟和發現現象之間的共同之處以及各要素之間的關聯，從而形成數學猜想。如教學“圖形分割”時，教師將學生個性化的圖形分割圖作為觀察對象，引導學生通過觀察多條分割線的位置，發現所有的分割線都相交于中心一點——中心，進而引導學生反向思考，得出“只要是經過中心點的直線就能將平行四邊形分割成2個完全相同的部分”的猜想。

（二）在“變化”中提出假設

教師通過改變研究對象的某個要素，引發學生對關鍵點的關注，并基于“變”與“不變”的思考，產生對新研究對象特征和對象之間關系的猜測。如教學平行四邊形時，可先出示長方形框架，復習面積計算方法，再拉動長方形框架將其變為平行四邊形，組織學生觀察并思考“圖形變化過程中，什么不變？什么變了？”學生通過前后圖形的觀察，發現圖形周長、邊長不變，面積和高在發生變化，自然產生“平行四邊形的面積和底、高有關系”“平行四邊形面積=底×高”等一系列連續性的猜想。

（三）在“類比”中進行推想

通過類比推理形成猜想是數學教學中常用的一種方式。在研究某個數學對象時，教師會引導學生關聯與具有相似屬性的研究對象，借助已有的學習經驗推斷、猜想新研究對象特征或要素關系。類比推理形成的猜想具有一定的合理性，教學時教師要相機運用。如教學圓錐體積時，可以先讓學生明確圓錐體積與底面積和高有關，再進一步提問“是不是底面積乘高算出的就是圓錐體積？為什么？”引導學生將圓錐和圓柱進行關聯，并通過直接觀察，猜想“圓錐體積可能是與它等底等高圓柱體積的? ?或

”，為后續的實驗探究指明方向。

四、聚焦關鍵要素，策劃實驗

學生對數學結論的猜想不是事實，僅僅是一種數學假設，可能正確也可能錯誤。為了能得到正確的結論，需要進一步通過實驗活動加以驗證，如證實則猜想正確，如果證偽則猜想錯誤，需要重新猜想，開始新一輪實驗探究。從猜想到驗證是培養學生推理能力的重要路徑，教師要指導學生自主策劃實驗方案，驗證自己的猜想。

（一）思路構想

實驗活動的策劃要經歷從整體到局部，不斷細化的過程。教師要先帶領學生構想實驗路徑，明確研究的思路。如教學三角形內角和時，教師通過提問“怎么知道任意一個多邊形內角和呢？”啟發學生想到“先找幾個圖形研究，找到規律，再運用規律求內角和”。當學生對實驗思路有了大致的規劃后，再引導學生細化方案，使得各個實驗環節清晰化、明朗化。可以進一步追問“選幾個圖形研究，才能找到規律？”“從哪個圖形開始研究？”幫助學生明確“找規律”要遵循以下三點：一是由易到難，從簡單的入手；二是研究對象要滿足一定數量，至少有3個及以上；三是及時驗證規律。隨著實驗方案的不斷完善，實驗的可行性不斷增強。

（二）工具選擇

與其他學科實驗相比，數學實驗對材料、工具的要求比較低。只要具備操作性、可重復操作的實物、圖形或模具等都可以作為實驗的素材。在教學中，教師除了要為學生準備充足的實驗材料供學生自主選擇，還要幫助學生學會選擇合適的實驗材料（工具）。如教學圓錐體積時，可以出示圓錐體、長方體、正方體和圓柱體等一些底、高不一的容器，讓學生自主選擇實驗工具并說明理由，呼應猜想。另外，教師可以利用多媒體技術，讓學生借助幾何畫板或網絡畫板等工具完成實驗，提高實驗結果的精確度。

（三）數據收集

實驗數據是產生實驗結論的參考和依據。實驗數據的數量和質量，直接關系到結論的得出。實驗前，教師要組織學生討論收集實驗數據的方法，以提高實驗結果的可信度。如教學“可能性”時，可以通過教師示范摸球和提問等方式，讓學生明確為得到正確的實驗結果需要多次摸球。另外，為了解決課堂時間和摸球次數之間的矛盾，需要對各個小組摸球數據匯總。在進行“怎樣滾得遠”這一實驗時，還需要讓學生計算出平均數，使實驗數據具有代表性。

五、關注數學本質，優化實驗

實驗方案涉及活動選擇的材料、工具和大致的實驗流程，對學生開展實驗具有一定的指導作用，但不是萬能的。實際操作過程中，學生可能因對知識本質理解不到位，無法精準使用正確的、高效的實驗方法，從而影響到實驗的結果。為此，教師要根據實際教學情況，引導學生關注數學知識的本質，改進和優化實驗方法，從而提高實驗品質，提升學生的思維能力。

（一）發現本質，調整活動

教師要關注實驗活動與知識本質的契合度，及時引導學生在原有的活動經驗基礎上，聚焦本質調整實驗活動。如教學“圖形分割”時，為了讓學生認識到中心對稱圖形的特征，教師在學生用原始的測量方法分割圖形后，引導學生從圖形名稱入手，聚焦“中心”對實驗方法進行再思考，進而發現“繞中心旋轉180o”觀察圖形兩邊是否重合這一方法，從而在用新方法實驗時不斷感悟中心對稱圖形的本質。

（二）確認本質，修正活動

實驗能使學生內隱的思維過程外顯化，反過來，外在的操作活動能夠反應出學生的思維動態。教師應該根據學生的實驗情況分析和判斷學生思維狀態，及時調整教學策略。特別是在學生出現錯誤操作時，要相機引導，幫助學生回歸數學本質，修正數學實驗。如學生在用分三角形的方法求多邊形內角和時，出現了隨意分成三角形的情況。其根本原因是對三角形內角和本質沒有正確的認知。此時，教師要引導學生再次回歸概念本身，重新理解“內角和”的本質，進而選擇適切的用分三角形方法求內角和。

（三）強化本質，優化活動

學生在判斷直角三角形是否按2∶1的比放大時，很容易受制于概念本質，在驗證對應斜邊的比中出現困難。教師要及時介入，基于學生的活動經驗，幫助學生進行方法的優化。可以先組織學生思考“2條對應直角邊的比相同，能否判斷對應斜邊也具有相同的比？”，并組織學生通過測量或重疊的方法研究斜邊比，證明猜想。從而得出，用對應直角邊的比判斷圖形放大或縮小的簡單方法。接著，讓學生通過判斷任意三角形的放大檢驗新方法，進一步明確新方法的局限性。在以上過程中，學生經歷了判斷方法的由“繁”到“簡”，再到有選擇使用的過程，加深了對圖形放大本質的理解。

六、回顧探究過程，反思實驗

波利亞在《怎么解題》中指出，數學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思。對探究過程的回顧和反思，可以深化對問題的理解，增進對數學知識本質的理解，優化思維過程，促進知識和方法的遷移與運用。教學中，教師要引導學生回顧借助實驗探究數學知識的歷程，聚焦探究的關鍵進行反思，幫助學生將學習經歷轉化為學習經驗，從而學會實驗，學會借助實驗學習數學。

（一）反思實驗數據

受實驗工具、條件和方法等制約，由實驗獲得的數據往往會有誤差。實驗誤差會讓學生陷入思維困境，懷疑和動搖學生的猜想，阻礙和影響數學結論的得出。為此，教師要引導學生直面實驗誤差，反思實驗數據的成因，幫助學生走出思維的“迷障”。如認識“三角形內角和”時，學生通過量角器測量計算得到180o、179o、174o等不同的內角和，顯然，這些不同的數據不利于驗證“三角形內角和是180o”的猜想。為此，教師要引導學生對“174o”和“179o”這兩個與“180o”不同的數據進行成因分析和數據再測，從而認識到174o是實驗錯誤，179o是由量角器、手測和所畫三角形邊線的粗細等所導致的實驗誤差。實驗錯誤可以避免，但實驗誤差是客觀存在。

（二）反思實驗結論

基于觀察、操作和推理等活動得到的實驗結論是歸納推理的結果，不是嚴格意義上的數學結論。為了增強實驗結論的可靠性，教師要盡可能地通過追溯原理幫助學生從本質上理解和解釋結論。如學生通過實驗得到多邊形內角和“（n-2）×180o”后，教師要通過提問算式意義并追問“為什么要計算（n-2）個180o？”讓學生進一步根據將多邊形分三角形的經驗，用“頂角與對邊‘一一對應”或“分割線和三角形‘一一間隔”等個性化的、樸素的語言進行解釋。這樣從不同的角度認識規律，不僅能加深學生對數學結論的理解，還能豐富實驗的經驗，提高數學推理能力。

（三）反思實驗方案

學生按預定的實驗方案進行數學探究時并不總是順利的，常常會根據實際需要調整方案。教師要通過引導學生反思探究過程，幫助學生認識到實驗方案需要不斷地調整和優化。如探究“釘子板上的多邊形”時，原定的實驗方案是同時研究“邊點數”“內點數”兩個變量，找到釘子板上多邊形的面積公式。事實上，大多數學生沒有能力通過幾個例子的觀察和研究，發現“邊點數”“內點數”與多邊形面積之間的關系。此時，教師讓學生反思實驗方案“邊點數和內點數都在變化，同時研究不容易看出它們與面積之間的關系，怎么辦？”幫助學生想到通過控制變量探索面積公式。

回顧實驗探究數學知識的過程時，除了引導學生反思數據、結論和方案，還可以反思工具、方法等。只要能幫助學生獲得數學學習思想和方法的活動環節，都要經由反思幫助學生將活動經驗轉化為數學學習的能力。

綜上所述，教師要引導學生在具體的學習情境下，將數學實驗作為解決問題的重要方法，貫穿于整個數學探究的全過程；幫助學生將“做”和“思”有機融合，親歷數學學習全過程；形成和發展自主設計和優化實驗方案，搜集和選用實驗工具，調整和改進實驗活動，回顧和反思實驗過程等能力，積累借助實驗探究數學問題的經驗，發展數學核心素養。

參考文獻：

[1]董林偉.數學實驗：初中生數學學習方式的變革[J].全球教育展望，2020，（9）.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022：3.

責任編輯：顏瑩

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：吳靜，江陰市澄江中心小學校長，正高級教師，無錫市學科帶頭人。