小學生“因數和倍數”解題能力的后測與分析

作者簡介：張華榮（1979—），本科學歷，小學一級教師，從事小學數學教學與研究工作。

[摘? 要] 前測和后測活動是循證教育的具體表現，教師教什么是根據學生的學習掌握情況決定，讓課堂教學活動有據可依。研究者通過設計“因數和倍數”的后測題，了解學生對“因數和倍數”的掌握情況，并在此基礎上給出“因數和倍數”的具體教學建議。

[關鍵詞] 因數和倍數;解題能力;后測分析

前測和后測活動是循證教育的具體表現，教師教什么是根據學生還有什么不懂的內容來決定，讓課堂教學活動有據可依。“因數和倍數”一課的教學知識點有：認識因數和倍數的含義，會求一個數的因數和倍數等。筆者在教學“因數和倍數”一課時，讓學生經歷建構概念的過程：（1）理解倍數和因數的概念;（2）運用概念掌握找倍數和因數的方法;（3）利用概念解決生活實際問題。

為了了解學生對因數和倍數的掌握情況，筆者設計了這節課的后測題，對五年級學生進行了后測。

一、后測題的設計及意圖

下面是“因數和倍數”一課的后測題：

（1）根據算式寫出哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。

①4×5=20;②48÷6=8。

（2）在下面的圈里填合適的數。

[ 9的倍數][ 9的因數][既是9的倍數

又是9的因數]

（3）解決問題：24個同學表演團體操，每排人數可能是幾人？排數呢？請在表格中寫出所有情況，并說明它們的關系。

[排數 1 2 每排人數 ]

（4）乘坐小艇每人應付4元，乘坐人數和應付金額之間有什么關系呢？先把下表填完整，然后說明它們的關系。

[乘坐人數 1 2 3 4 應付金額 ]

設計意圖：第（1）題屬于具體直觀水平，主要考查學生能否利用乘法模型與除法模型關聯算式中的因數和倍數，感悟因數和倍數的依存關系;第（2）題屬于“形象—抽象”水平，主要考查學生是否掌握求一個數的因數和求一個數的倍數的方法，在比較中辨析因數和倍數的特征;第（3）題和第（4）題屬于本質抽象水平，第（3）題主要考查學生在具體情境中靈活地運用因數的模型解決問題，第（4）題主要考查學生在具體情境中靈活地運用倍數的模型解決問題。

二、后測的對象及過程

筆者選取了五年級兩個班級的學生作為后測樣本，共計80名學生。這些學生已經在課堂中學習了因數和倍數的相關知識，下課后就進行后測，沒有做任何知識的強化。筆者以班級為單位開展后測活動，后測時不提供任何指導和幫助，學生確認完成后上交測試試卷。

三、后測的結果及分析

筆者對“因數和倍數”一課的后測情況進行了統計和分析，學生后測結果見表1。

1. 第（1）題檢測學生是否達到具體直觀水平

從第（1）題檢測情況看，學生的整體情況已經達到具體直觀水平，能用直觀的乘法模型和除法模型解釋倍數和因數的關系。這是由于在課堂上筆者設計了三個具體活動：活動一，讓學生在辨析和修改前測單的四種觀點中初步感知倍數和因數的概念;活動二，讓學生把前測單中有關倍數的數學信息改寫成因數有關的數學信息，建立了倍數和因數的相互聯系;活動三，鞏固練習環節中讓學生先把乘法算式改寫成除法算式，或把除法算式改寫成乘法算式，再寫出哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。

2. 第（2）題檢測學生是否達到“形象—抽象”水平

從第（2）題檢測情況看，學生的整體情況已經達到“形象—抽象”水平，能運用因數和倍數的概念找一個數的因數和倍數，進一步體會因數和倍數的特征。這是由于在課堂上筆者設計了三個具體活動：活動一是讓學生在寫一寫、標一標和想一想中發現倍數的奧秘，掌握找一個數的倍數的方法;活動二是讓學生在寫一寫、想一想和找一找中發現因數的奧秘，掌握找一個數的因數的方法;活動三是在鞏固練習環節中讓學生找出36的因數和8的倍數，并找出最小的因數、最大的因數和最小的倍數。

3. 第（3）題和第（4）題檢測學生是否達到本質抽象水平

從第（3）題和第（4）題檢測情況看，大部分學生已經達到本質抽象水平，能運用因數和倍數的概念綜合解決實際問題。學生在解決實際問題時需要剝離情境，將其轉化為求一個數的因數或倍數的題目，與第（2）題的解題方法類似。

四、后測的結論與建議

1. 后測結論

從后測的數據看，大多數學生解決有關認識“因數和倍數”的正確率已經在86%以上，基本上已經達到本質抽象水平。但是筆者也看到學生運用“因數和倍數”的概念綜合解決實際問題的能力較弱，這塊內容需要教師進行補救教學，幫助學生提高解決問題的能力。

2. 教學建議

針對以上的后測結論，筆者對教學活動提出四點建議。

（1）實施“教學評一致性”是未來的趨勢

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出“教學評一致性”，明確數學課堂教學“為什么教”“教什么”“教到什么程度”。比如“因數和倍數”一課后測中第（1）題和第（2）題的正確率明顯高于第（3）題和第（4）題，這是由于后測中第（1）題和第（2）題可以在課堂中找到較多對應的數學活動，而第（3）題和第（4）題在課堂中沒有對應的數學活動，雖然教師可以從具體情境中抽離出數學知識點，轉化為找因數和找倍數，但是對五年級學生來說還是有一定的難度。

（2）數學教學要以生為本，開展循證教育

在數學課堂上，教師在課前和課后都要開展循證教育，在課前通過前測了解學生的已有知識經驗，確定教學的內容和具體的教學活動;在課后通過后測了解學生的掌握程度，確定補救教育的內容和需要關注的學生。

只有當教師開展循證教育，才能避免在教學中“瞎忙”和“做無用功”，把教學時間放在“刀刃”上，使出恰當的力氣，促進每個學生在數學學習上都有發展。

（3）數學課堂要讓學生充分經歷概念建構

數學概念的建構是一個比較漫長的過程，當然也因人而異。因此，教師在教學“因數和倍數”一課時，先通過前測單的結果引出四種觀點，讓學生在辨析四種觀點中體會倍數的含義;然后，在大任務中探索求一個數的倍數的方法，借助前測單的結果認識因數的含義，感受倍數和因數是相互依存的關系;最后，在大任務中探索求一個數的因數的方法。

只有當學生在活動中經歷了充分的思維活動，才會促進因數和倍數數學概念的建構，才會運用概念正確解決數學問題。

（4）數學教育的最終目的是解決實際問題

數學源自生活，又服務于生活。因此，教師不僅要讓學生體會到數學學習的價值，還要在平時的數學課堂上讓學生多解決實際問題。比如在“因數和倍數”教學時，教師可以設計一個情境問題：王爺爺要圍一塊48平方米的長方形菜地，若長和寬都是整米數，并且長要大于寬，問這個長方形的長和寬有哪些可能？這樣學生在解決問題時能夠自然地應用數學知識，學會從情境中尋找問題的關鍵信息和突破口。

綜上所述，教學后測是為了教師利用后測數據反思教學活動和學生表現，為深入研究課堂教學活動提供依據。教師可以通過學生的檢測情況來反思教學過程中不到位的情況或設計不合理的地方，在以后的教學中逐漸完善自己的教學設計和課堂組織，從而實現教學目標和突破教學重難點，促進學生扎實地掌握“雙基”，發展數學核心素養。