以學(xué)習(xí)為中心的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課實踐與思考

沈愛桐

［摘 要］以學(xué)習(xí)為中心的課堂強調(diào)以學(xué)生的學(xué)習(xí)活動作為整個課堂教學(xué)的中心。引發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和促進學(xué)生發(fā)展是以學(xué)習(xí)為中心的課堂的根本目的。在以學(xué)習(xí)為中心的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師需要通過學(xué)習(xí)活動來引導(dǎo)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識與基本技能，形成基本思想和基本活動經(jīng)驗，并內(nèi)化為穩(wěn)定的、可復(fù)制的能力，形成核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］以學(xué)習(xí)為中心；復(fù)習(xí)課；核心素養(yǎng)；矩形

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）32-0001-04

《論語》有云：“溫故而知新。”數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不應(yīng)是簡單機械地重復(fù)，而應(yīng)讓學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上獲得新認識，構(gòu)建新結(jié)構(gòu)，習(xí)得新經(jīng)驗。近期，筆者執(zhí)教了一節(jié)“矩形的復(fù)習(xí)”公開課，有幸得到丁峰老師的點評，對筆者啟發(fā)很大。筆者對以學(xué)習(xí)為中心的復(fù)習(xí)課教學(xué)感觸良多，現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)及思考整理成文，與同行分享。

一、以學(xué)習(xí)為中心的課堂的內(nèi)涵

以學(xué)習(xí)為中心的課堂是指在教師有效指導(dǎo)下，以課堂教學(xué)為載體，以學(xué)習(xí)為核心，引發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，最終使學(xué)生得到發(fā)展的課堂。在這樣的課堂中，學(xué)生是知識的主動建構(gòu)者，教師的適時指導(dǎo)是學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的保證，師生是學(xué)習(xí)的共同體。

以學(xué)習(xí)為中心的課堂是從以教師為中心的傳統(tǒng)范式轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為中心的學(xué)習(xí)范式，由關(guān)注教師的“教”轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅貙W(xué)生的“學(xué)”。

二、教學(xué)背景分析

（一）學(xué)情分析

經(jīng)過近三年的初中學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了特殊四邊形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識，但這些知識都是在直觀感知基礎(chǔ)上的歸納認識，學(xué)生頭腦中固有的經(jīng)驗是把平行四邊形、矩形、菱形、正方形作為獨立的圖形看待。本節(jié)課意在加強特殊四邊形之間的知識聯(lián)系，深化知識理解，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)。核心在于讓學(xué)生能夠?qū)⑺倪呅蔚闹R體系進行結(jié)構(gòu)化整理和選擇性應(yīng)用。

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.通過知識梳理和回顧，能自主構(gòu)建特殊四邊形性質(zhì)與判定的知識結(jié)構(gòu)圖。

2.通過完成對應(yīng)考點練習(xí)，能用矩形的性質(zhì)解決相關(guān)求角度和線段長度的問題以及矩形判定問題。

3.能理解幾何直觀在解決問題過程中的重要性，建立形與數(shù)的聯(lián)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)問題的直觀模型。

（三）教學(xué)重難點

通過自主梳理和探究，將四邊形知識體系進行結(jié)構(gòu)化整理和選擇性應(yīng)用，并體會其中的數(shù)學(xué)思想方法，強化數(shù)學(xué)認知。

三、教學(xué)過程

（一）任務(wù)驅(qū)動，形成脈絡(luò)

問題1：如圖1所示，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，[∠ACB=30°]，[BC=3]。

任務(wù)一：若四邊形ABCD為平行四邊形，請寫出你能確定的邊和角。

任務(wù)二：若四邊形ABCD為矩形，請寫出你能確定的邊和角。

任務(wù)三：若四邊形ABCD為菱形，請寫出你能確定的邊和角。

任務(wù)四：思考滿足條件的四邊形ABCD是否是正方形，并說明理由。

教學(xué)說明：“矩形”并不是一個需要去識記的、孤立的知識。矩形應(yīng)當(dāng)和其他的特殊四邊形一起作為一個需要理解的、統(tǒng)一的和連貫的概念系統(tǒng)。從任務(wù)一到任務(wù)四，變化條件讓學(xué)生運用已有的知識解決問題。任務(wù)的引入給問題的解決找到了一個支點，學(xué)生借助已有知識經(jīng)驗和通過教師引領(lǐng)，思維得到了拓展。

教學(xué)分析：以學(xué)習(xí)為中心的課堂強調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容注重“結(jié)構(gòu)化”。本節(jié)課的復(fù)習(xí)重點雖然是矩形，但矩形是承接平行四邊形的性質(zhì)與判定，類比菱形學(xué)習(xí)，開啟正方形性質(zhì)與判定學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，因而需要培養(yǎng)學(xué)生在大觀念下思考并認識事物的思維，讓學(xué)生既見“樹木”，又見“森林”，幫助學(xué)生構(gòu)建立體化的概念體系。

（二）一題多解，開闊思路

問題2：如圖2所示，在矩形ABCD中，[E]是邊[BC]上一點，[∠AED=90°]，[∠EAD=30°]，[F]是[AD]邊的中點，[EF=4] cm，則[BE=]? ? ? ? ? ? ? ? cm。

追問1：把題目的條件都標(biāo)注之后你能得到哪些特殊的三角形，能求出哪些線段的長度？

教學(xué)說明：由[∠AED=90°]可以得到直角三角形AED，并且EF為直角三角形AED的斜邊中線，可求AD。在矩形ABCD中，AD∥BE，[∠EAD=30°]，[∠AEB]為其內(nèi)錯角，所以[∠AEB]也是[30°]，在直角三角形AED中結(jié)合AD，可以將AE求出。數(shù)學(xué)解題非常注重由“已知”看“可知”的思維過程。在解決問題的過程中，學(xué)生遇到思維瓶頸很有可能是其中某一個已知或可知得不到。因此，在平時的解題訓(xùn)練過程中教師應(yīng)注重對學(xué)生的邏輯思維進行培養(yǎng)。本題主要訓(xùn)練學(xué)生由“已知”看“可知”的思維，即由因?qū)Ч乃季S。

追問2：求出的這些線段長度能夠求出[BE]嗎？

追問3：還可以用其他方式求解嗎？

教學(xué)說明：學(xué)生在回答追問2的問題時運用矩形性質(zhì)配合直角三角形斜邊中線性質(zhì)和含30°角的直角三角形可以求出BE。但此題方法很多，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對各種方法進行梳理，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力，發(fā)散學(xué)生的思維。在之前的已知條件基礎(chǔ)上，還可以運用三角形AED和三角形EBA相似，運用相似三角形的性質(zhì)求解BE。在教學(xué)中，還有學(xué)生提出在直角三角形AED中運用三角函數(shù)進行求解。

教學(xué)分析：學(xué)習(xí)任務(wù)是以學(xué)習(xí)為中心的課堂的核心，讓學(xué)生完成高認知水平的任務(wù)，是促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)與落實核心素養(yǎng)的重要途徑。一題多解有利于滿足學(xué)生的好奇心，展現(xiàn)學(xué)生的個性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，為學(xué)生營造敢想、善思的學(xué)習(xí)氛圍，進而激活學(xué)生主動學(xué)習(xí)的情感，使學(xué)生的思維活力競相涌動，創(chuàng)新的火花不斷迸發(fā)。

問題3：通過上面的訓(xùn)練，你如何在矩形中求線段的長度？

追問1：放到三角形中有哪些常用的求線段長度的要點？

追問2：利用矩形的性質(zhì)可以求線段的長度嗎？請思考后獨立完成圖3的知識整理。

教學(xué)說明：本節(jié)課的重點之一是通過完成對應(yīng)的考點練習(xí)，幫助學(xué)生正確運用矩形的性質(zhì)解決相關(guān)問題。題目訓(xùn)練只是低層次要求，要更好地幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，指導(dǎo)學(xué)生進行知識之間的正遷移，使碎片化思想、單一性思考不斷走向結(jié)構(gòu)性思想、結(jié)構(gòu)性思考，乃至在問題解決過程中形成抽象思維。

（三）一題多變，提升效率

問題4：如圖4所示，在矩形ABCD中，E為BC邊上一點，且[∠AED=90°]。

（1）若[AB=2]，[BC=5]，求[BE]。

（2）如圖5所示，若[F]為[AD]邊的中點，作點[E]關(guān)于點[F]的對稱點[G]，連接[AG]、[DG]，判斷四邊形[AEDG]的形狀，并說明理由。

（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形[ABCD]的邊[AD]與[AB]滿足什么條件時，四邊形AEDG為正方形，并說明理由。

教學(xué)說明：問題4中的第（1）問是作為問題3的鞏固性任務(wù)。在解決問題3時，教師采用一題多解的方式進行講解，其中有一種方法即為用相似性解決問題。因此設(shè)置第（1）問作為前面問題的鞏固。問題4的第（2）、（3）問則作為前面問題的拓展性任務(wù)。第（2）問考查學(xué)生對于對稱點的認識，從而得到EF與FG相等。并且由題目告知F為AD的中點，得到在四邊形GAED中對角線相互平分，由此得到四邊形GAED為平行四邊形。再由題目條件[∠AED=90°]進一步得到平行四邊形GAED為矩形。第（3）問在第（2）問的基礎(chǔ)上進一步考查正方形的判定，即一組鄰邊相等的矩形是正方形，由此再進一步探究原矩形ABCD的邊長關(guān)系。問題4在前面設(shè)問的基礎(chǔ)上做進一步延伸，既能鞏固四邊形相互之間的判定關(guān)系，又能拓展學(xué)生思路，可謂一舉兩得。

教學(xué)分析：在以學(xué)習(xí)為中心的課堂中，教師需要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)效果的“增值化”。復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)聚焦于學(xué)生知識體系是否構(gòu)建、思維是否進階、思想方法是否滲透、數(shù)學(xué)素養(yǎng)是否提升。題目設(shè)置應(yīng)由關(guān)注難度、進度和熟練度轉(zhuǎn)向關(guān)注深度、廣度和關(guān)聯(lián)度。“一題多變”可以帶來多維的復(fù)習(xí)效果。對于母題，可以進行圖形變化、條件增減、問題拓展等，同時組織有序的探究活動，以達到以點帶面的效果。這種活動形式簡潔、高效，既減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究能力，也為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力提供了廣闊的空間。

（四）教師導(dǎo)學(xué)，分層學(xué)習(xí)

問題5：如圖6所示，有一張長方形紙片ABCD， [AB=8] cm，[BC=10] cm。點E為CD上一點，將紙片沿AE折疊，BC的對應(yīng)邊[BC]恰好經(jīng)過點D，則線段DE的長為? ? ? ? ? ? ?cm。

追問1：由矩形的性質(zhì)，你能得出哪些結(jié)論？

追問2：由折疊的性質(zhì)，你能得出哪些結(jié)論？

追問3：由“BC的對應(yīng)邊[BC]恰好經(jīng)過點D”這個條件能得出哪些結(jié)論？

追問4：你能找到已知兩邊的直角三角形嗎？你能求出未知的第三邊嗎？

追問5：可以將DE放置在哪個三角形中求解？

追問6：你想到用什么方法求解了嗎？

教學(xué)說明：在常規(guī)的課堂中，教師大多是呈現(xiàn)問題后，留出時間給學(xué)生自己思考。但在這個環(huán)節(jié)中，基礎(chǔ)稍弱的學(xué)生會無從下手。學(xué)生獨立思考過后就是小組討論，如果上一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)學(xué)生缺乏思考的情況，那么在小組討論環(huán)節(jié)中這部分學(xué)生就會出現(xiàn)低效、浪費時間的情況，以至于到最后的師生對話環(huán)節(jié)，他們還沒有掌握本題的解法，而講解又結(jié)束了。因此，不妨對常規(guī)模式進行優(yōu)化，如呈現(xiàn)問題后，教師導(dǎo)學(xué)，即學(xué)生讀題，教師進行追問式引導(dǎo)，幫助學(xué)生梳理相關(guān)條件，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注已知。在學(xué)生獨立思考的過程中，教師巡視，進行個別點撥，針對不同層次的學(xué)生進行分層指導(dǎo)和教學(xué)，讓每個學(xué)生都能從解題中獲得經(jīng)驗，都能拓展思維，開拓思路。

教學(xué)分析：以學(xué)習(xí)為中心的課堂強調(diào)學(xué)習(xí)方式的“多樣化”。引導(dǎo)式的師生活動，不僅能給不同學(xué)生提供思考空間，讓學(xué)生掌握解題思維，而且能使教師通過邊講邊練及時了解學(xué)生的知識內(nèi)化情況。將師生共同參與、學(xué)生自主學(xué)習(xí)、學(xué)生小組合作等多種學(xué)習(xí)方式貫穿于學(xué)習(xí)活動中，可引導(dǎo)學(xué)生在解決問題與完成任務(wù)的過程中實現(xiàn)知識間的橫向關(guān)聯(lián)及縱向融通，進而使學(xué)生實現(xiàn)思維進階、能力發(fā)展、素養(yǎng)提升。

問題6：由折疊得到前后兩個圖形全等，你能得出什么結(jié)論？

追問1：由對應(yīng)的角相等怎樣去求其他角度？

追問2：由對應(yīng)的線段相等怎樣求其他線段的長度？思考后完成圖7。

教學(xué)說明：折疊問題是初中幾何的重要題型。在完成問題5后，利用思維導(dǎo)圖梳理解題思路，讓學(xué)生明確折疊變換的本質(zhì)是軸對稱，折疊前后的圖形是全等的，折疊前后的對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分。通過“一題一總結(jié)，一類一導(dǎo)圖”的形式幫助學(xué)生條理清晰地回顧折疊的知識點，并建立折疊與矩形性質(zhì)之間的聯(lián)系。

教學(xué)分析：以學(xué)習(xí)為中心的課堂強調(diào)學(xué)科內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化重整，重在實現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容的整合與融通。復(fù)習(xí)課要打破傳統(tǒng)的“梳理概念，查漏補缺”的單向思維，要引導(dǎo)學(xué)生對知識體系進行梳理、重建，實現(xiàn)知識點的橫向串聯(lián)、縱向并聯(lián)和整體混聯(lián)，最終讓學(xué)生能構(gòu)建出完整的知識體系和形成符合自身認知規(guī)律的能力體系，以及思維水平達到抽象結(jié)構(gòu)水平。

四、教學(xué)反思

（一）以學(xué)定教：確保教學(xué)設(shè)計的科學(xué)性

教師在進行教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)時刻將學(xué)生的學(xué)習(xí)置于中心點。任何教學(xué)模式都不是萬能的，不能脫離學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)習(xí)慣來設(shè)定教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)過程。以學(xué)定教是確定教學(xué)內(nèi)容和方法的基本標(biāo)準(zhǔn)。促進學(xué)生的學(xué)習(xí)才是課堂教學(xué)的目標(biāo)，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況不斷調(diào)整和改進自身的教學(xué)行為；根據(jù)“學(xué)習(xí)”的發(fā)生規(guī)律明確教與學(xué)的任務(wù)，發(fā)揮彼此的作用，實現(xiàn)各自的價值。

本節(jié)課立足于中考第一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生雖然具備四邊形的基礎(chǔ)知識，但獨立整理知識的經(jīng)驗不多，綜合能力有限，難以整理出系統(tǒng)、簡約的知識結(jié)構(gòu)。因此在進行教學(xué)設(shè)計時，筆者采用了思維導(dǎo)圖的形式，幫助學(xué)生梳理有關(guān)矩形中求線段長度和解決折疊問題的方法；用任務(wù)驅(qū)動的方式引導(dǎo)學(xué)生形成四邊形的知識體系。

（二）以學(xué)評教：促進課堂教學(xué)高效

以學(xué)評教是評價課堂教學(xué)質(zhì)量的基本理念。在進行教學(xué)設(shè)計時，教師會從兩個方面進行思考。第一，我要把學(xué)生帶到哪里去，即學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么。第二，我怎樣把學(xué)生帶到那里去，即學(xué)習(xí)任務(wù)與學(xué)習(xí)方法怎樣設(shè)置得當(dāng)。當(dāng)課程結(jié)束進行教學(xué)反思時，教師會問自己：我如何確定已經(jīng)把學(xué)生帶到了那里，即學(xué)生最終的學(xué)習(xí)效果是否達到了要求。學(xué)生實際的學(xué)習(xí)效果就是評價課堂教學(xué)質(zhì)量的重要依據(jù)。筆者在日常教學(xué)時經(jīng)常會產(chǎn)生困惑：課前設(shè)置了很多環(huán)節(jié)和活動，為什么在課堂中實施時卻往往不盡如人意，這提醒教師需要注重課堂教學(xué)的實效性，時刻關(guān)注學(xué)生的實際學(xué)習(xí)情況。

以本節(jié)課為例，在講解問題3的第（1）問時，仍然有部分學(xué)生不能準(zhǔn)確運用相似性解決問題。這就意味著，之前講解問題2相似的方法時或許速度過快，使得部分學(xué)生還沒有掌握。此時，教師需要再對這部分學(xué)生進行單獨指導(dǎo)，以確保他們能夠跟上教師的教學(xué)進度，保證學(xué)習(xí)效果。課后進行反思時，筆者認為，教學(xué)時采用了很多教學(xué)策略，力圖提升自己的教學(xué)技能和教學(xué)方法，但如若沒有注意到學(xué)生學(xué)習(xí)的實際效果，那么這節(jié)課也是低效且費時的。因此，需要關(guān)注學(xué)生學(xué)到了什么，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，關(guān)注學(xué)生的思維視角，通過學(xué)生的學(xué)習(xí)效果來評價課堂教學(xué)的質(zhì)量。

（三）學(xué)教結(jié)合：提高師生互動參與性

學(xué)教結(jié)合是認識教學(xué)性質(zhì)的基本視角。課堂教學(xué)是學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)兩者相結(jié)合的有機整體，不可分割，不能過度偏頗。教師的教學(xué)是促進學(xué)生學(xué)習(xí)的重要手段。基于課程內(nèi)容的復(fù)雜性，過度要求高比例的學(xué)生獨立學(xué)習(xí)或自主學(xué)習(xí)，未必是一個好的教學(xué)方式。任何教學(xué)模式只有處理得當(dāng)，才能打造出以學(xué)習(xí)為中心的課堂。以教師為中心的課堂也可以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，但這種積極的作用來自教師對于學(xué)生學(xué)習(xí)的支持和參與。

在講解問題5時，考慮到折疊問題的復(fù)雜性，所以加入了“教師導(dǎo)學(xué)”環(huán)節(jié)。以問題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生一步步獲得已知。沒有放任學(xué)生獨立思考或小組討論，或者教師直接講解思路。以學(xué)習(xí)為中心的課堂并非放任學(xué)生，而是發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，激勵學(xué)生積極參與課堂，而這是在教師的適時指導(dǎo)下進行的，教師并非可有可無。要正確認識教師對學(xué)生的成長、發(fā)展有獨特的作用。教師知之在先，知之較多；學(xué)生知之在后，知之較少，甚至沒有知識。在知與不知的矛盾中，對于深層、晦澀的知識，教師不講，學(xué)生就不會或不知。即使學(xué)生能夠獨立學(xué)習(xí)，但對于知識的理解深度、準(zhǔn)確度會低于教師的講解水平。因此，教師應(yīng)當(dāng)給予正確引導(dǎo)，應(yīng)當(dāng)有選擇性地進行講授。

（四）教學(xué)相長：助力師生共同發(fā)展

《禮記》指出：“知不足，然后能自反也；知困，然后能自強也。故曰：教學(xué)相長也。”以學(xué)習(xí)為中心的課堂使師生都能獲得價值感和尊嚴，能以真誠理解和移情深化交往，并不斷提升精神境界和實現(xiàn)人生價值。教師不再是批評者、監(jiān)督者、主導(dǎo)者，不再以既定的標(biāo)準(zhǔn)評定學(xué)生，以統(tǒng)一的尺度衡量學(xué)生，而是作為引導(dǎo)者、促進者、支持者，促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)和自由思考。這期間，教師的基本教學(xué)能力得到提升，教育情懷和教學(xué)藝術(shù)得到升華。學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到激發(fā)，思維習(xí)慣得到培養(yǎng)，學(xué)習(xí)潛能得到最大的發(fā)揮。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 冉亞輝.以學(xué)習(xí)為中心的課堂教學(xué)建設(shè)的基本理念［J］.現(xiàn)代基礎(chǔ)教育研究，2022（2）：174-178.

［2］? 張鵬君.“學(xué)習(xí)中心課堂”實質(zhì)審思［J］.教育評論，2019（8）：36-40.

［3］? 李文送.以學(xué)習(xí)為中心的教學(xué)何以實現(xiàn)［J］.人民教育，2022（8）：13.

（責(zé)任編輯 黃春香）