基于數學專業對復變函數課程進行的教學探析

摘要：復變函數是全國高等學校數學專業的一門專業必修課，復變函數的理論和思想方法在物理、工程以及數學其他分支學科中都有廣泛的應用。結合我校數學與應用數學專業（師范）特點，本文分析了目前復變函數課程教學中存在的困難以及不足，進而對復變函數教學路徑進行了探析，以期增強學生學習興趣，提高課程的教學效果，形成良好的教學循環。

關鍵詞：復變函數；數學專業；教學路徑探析

Abstract：Complex variable function is a professional compulsory course in mathematics majors in colleges and universities across the country，and the theory and analysis methods of complex variable functions are widely used in physics，engineering and other sub-disciplines of mathematics.Combined with the characteristics of mathematics and applied mathematics（teacher-training）in our school，this paper analyzes the difficulties and shortcomings in the current teaching of complex variable function courses，and then analyzes the teaching path of complex variable functions in order to enhance students' learning interest，improve the teaching effect of the curriculum，and form a good teaching cycle.

Keywords：Complex functions； Mathematics majors； Teaching path analysis

1 概述

復變函數的理論和方法在物理、工程、力學等諸多學科領域都有廣泛的應用，并且在數學學科的其他分支中也占據著非常重要的作用，如偏微分方程、泛函微分方程、調和分析等。復變函數是我校數學與應用數學專業（師范）學生的一門專業必修課程，也是數學分析的后續課程，通過復變函數理論的系統學習，有助于鞏固和加深學生對數學分析課程中知識點的認知和理解，并且對數學專業學生后續課程的學習至關重要，有利于培養學生的創新思維和分析問題解決問題的能力。我校數學與應用數學專業具有師范類性質，對于今后從事中學數學教育的學生而言，掌握好復變函數的基本理論與思想方法，將有助于他們在中學以更高觀點去教學，優化教學設計。而對于今后在數學領域深造的學生而言，不少高校在研究生復試時需要考查復變函數理論，學習復變函數不僅為考研奠定良好的基礎，從長遠角度來看，也為學生在后續更深層次的數學專業課程學習打下牢固的基礎。

2 復變函數教學中面臨的困難

2.1 課程課時少而難度大

我校2022年數學與應用數學專業（師范）通過教育部師范類專業中學教育二級認證，根據本次專業認證中新制訂的人才培養方案，復變函數的理論課時壓縮為48課時，理論學分為3學分，而類似于數學分析、高等代數等數學專業基礎課程，復變函數的理論知識是具有一定深度和難度的。復變函數是數學分析的后續課程，兩門課程在知識框架結構上具有較強的相似性，如果學生對數學分析的基本知識理論沒有掌握好，那么在學習復變函數時就會產生一定的畏懼心理，覺得這門課程難度大，比較難學。

針對數學專業學生，我們所選用的教材是鐘玉泉老師編著的《復變函數論》（第五版），基于所選用教材，復變函數課程講授的主要內容是復數與復變函數、解析函數、復變函數的積分、解析函數的冪級數表示法、解析函數的洛朗展式與孤立奇點、留數理論及其應用、共形映射。而在課時相對少、所需講授內容相對多、課程難度又相對大的情形下，如何將課程中很多概念、理論和方法講解好，并將課程思政元素融入課堂教學當中，讓學生理解消化好，這對授課教師來說是一個考驗。

2.2 學生學習興趣不足

復變函數作為數學與應用數學專業（師范）學生的專業基礎課，它的數學專業性質決定了課程內容較為復雜抽象，學生在學習過程中體會不到其理論知識在實際問題解決中的應用價值，從而學生的學習信心和學習興趣不能得到有效激發。

另外，復變函數是數學分析中實變函數微積分的推廣和擴展，復變函數的極限與連續性概念、導數與微分積分定義、復變函數項級數收斂等這些概念性質，與數學分析中非常相似，那么學生在學習這些相似知識點時，會覺得這些知識點都是以前學過的，學習興趣不高，并且會產生懈怠心理。而這兩門課程之間肯定是有很大區別的，當授課教師在講解復變函數中異于數學分析中的理論知識時，學生往往由于懈怠心理而錯過了新知識的學習，如此更提不起學習興趣。

另一方面，我校數學與應用數學專業復變函數課程安排在大三下學期，這個階段學生大多處于就業或考研的準備當中。對于有意從事中學教學的學生而言，他們需要通過教師資格證考試才能獲得中學數學教學資格，而教師資格證考試所涉及的數學專業知識主要是數學分析、高等代數、解析幾何以及概率論與數理統計，未涉及復變函數的理論知識，在當前應試教育背景下，學生會覺得復變函數理論對中學教學沒有多大用處，從而不重視復變函數的學習，學習興趣和熱情自然也不足。而對于有意考研深造的學生，他們在備戰時，同樣只關注與考研相關的數學專業知識，如數學分析、高等代數。考研的學生短期目標明確，不愿花太多時間去學習與考研初試無關的復變函數，對該課程的關注度就不夠，更談不上學習興趣了。

2.3 教學手段不夠豐富

在復變函數的教學過程中，多數教師采用“單聲道”“滿堂灌”的教學方式，忽視了對學生學習積極性的調動以及學習方法的指導和引領，多數學生對于很多概念定理定義只能停留在記憶背誦的層面，比如，刻畫解析函數的四個等價定理，其中第一個等價定理［1］：函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析的充要條件是：（1）二元函數u（x，y），v（x，y）在區域D內可微；（2）u（x，y），v（x，y）在D內滿足柯西-黎曼方程。而第二個刻畫解析函數的等價定理，只是在第一個等價定理的基礎上將其中的條件（1）換成條件“（1）'u_x，u_y，v_x，v_y在D內連續”，如果授課教師在講解這個知識點時采用直接灌輸的方式，學生體會不到條件（1）和（1）'之間的區別，甚至最后可能會忘記這兩個條件，只對第（2）個條件有點印象，那么在考試時就容易出錯，體驗不到成就感和自信心，這樣一來學生覺得課程內容難度大還比較枯燥，教師也無法達到設想的教學質量，教學熱情也有所降低，無法形成一個良好的教學循環。

3 復變函數教學路徑探析

綜上所述，在有限的教學課時內，想實現師生共贏的局面，有必要對復變函數課程進行一定程度的教學探索與改革。課程課時少而難度大，授課對象是數學與應用數學專業學生，再結合本專業的師范性特點，在教學過程中，教師要結合學生的認知規律和實際需求，對課程內容要有自己深層次的思考，不能僅局限于所選用的教材，還要查閱相關的其他教材以及文獻資料，了解復變函數的學科前沿，精確把握住課程的重難點，對課程內容進行有效的整合與取舍，并且采用多樣化的教學方式，生動透徹地講授課程知識點，從而達到良好的教學效果。

3.1 復變函數教學需結合學生需求

在復變函數教學中，教師可以結合學生對復變函數理論的認知需求、興趣需求以及應用需求，有效降低復變函數的學習難度，促進學生學習該課程的信心和熱情，提高學生的學習興趣。

復變函數中的很多基本理論知識點和思想方法與數學分析中非常相似，在講解過程中，可以采用類比思想進行有效整合，簡要講解相同點，重點突出不同點，降低學生學習難度，并且提高學生學習效率。比如，在講解初等多值函數時，可以類比于數學分析中的反三角函數如正弦函數y=sinx，其中x是y的反正弦函數，根據正弦函數的周期性，反正弦函數是一個多值函數，而在實數范圍內，為了使反正弦函數有意義，我們限定了反正弦函數的值域為[－π/2，π/2]。那么，對于初等多值函數的學習，可以采用類似的思想，限定因變量的取值范圍，這樣學生就容易理解單葉性區域以及單值解析分支等概念，符合學生的認知發展規律，增強學生學習的信心，提高學生分析問題的能力。

而且，在教學過程中，可以采用數形結合，讓學生體會到復變函數與幾何的聯結以及美妙之處，增強學生的學習興趣。復變函數理論中蘊含著豐富的幾何思維，復數可以視為平面上的二維向量，復數的加減就對應向量的加減，復數的模和輻角對應向量的長度和與實軸的夾角，復數相乘z₁z₂相當于把z₁所對應的向量長度伸縮z₂倍，再旋轉一個角度（z2的輻角），在講解過程中可以借助于幾何圖形直觀演示，提高學生學習的積極性與能動性。

另外，對于有意從事中學教育的學生，教師在講授復變函數內容時，要體現知識點在中學數學教學中的聯系與應用，這樣學生就會產生學習興趣和學習動力。比如，可以和學生簡要介紹《普通高中數學課程標準（2017版）》中的必修模塊“幾何與代數”包含平面向量及其應用、復數、立體幾何初步等內容［2］，而復數理論與平面向量幾何之間是有密切聯系的，并且復變函數理論也可以為中學數學解題提供新的思想方法，這樣學生就體會到復數內容在高中數學學習的重要性，從而重視復變函數的學習。

3.2 教師對教學內容進行深層次思考

首先，對于復變函數教學，開好頭起好步很重要，如果一上來就直接講述課程理論知識，學生對這門課程的背景及發展歷程不了解，就無法產生對這門課程的好奇心和學習動機。因此，教師在引言部分要簡要講述復變函數的發展歷史，讓學生了解數系的擴充過程，領悟其中所蘊含的理性思維的作用。可以簡要介紹三位數學大家——法國數學家柯西、德國數學家黎曼和魏爾斯特拉斯，在復變函數理論的發展歷程中所做的巨大努力以及他們的勵志事跡，讓學生感悟到任何一個學科理論從形成到完善再到系統化并不是一蹴而就的，激勵學生要有勇于進取、不畏艱難、開拓創新的科學精神。再介紹復變函數在物理、力學以及其他數學分支如代數學、微分方程等方面的應用，讓學生體會到復變函數的實際應用性，激發他們的學習興趣。

其次，在復變函數理論知識點講授過程中，適當關注與課程內容相關領域的動態進展，并適時地在課堂上與學生討論，打破數學教學的沉悶。例如，在課堂上觀察到學生聽得比較疲倦，注意力不是很集中時，可以切換一下重心，比如，和學生講講最近2022年物理學諾貝爾獎獲得者的事跡，三位獲得者都是在量子力學領域做出卓越貢獻，而量子力學中著名的薛定諤方程是奧地利物理學家薛定諤借助于復變函數得出的。這樣一來，既緩解了學生的學習疲勞，又讓學生體會到復變函數的重要性，拓寬了知識視野，同時增加了學生學習的興趣。

最后，教師在講授知識點時可以適時地結合自己的科研工作，形成科研與教研相互促進，也讓學生感悟到課程知識點的學習價值。以筆者為例，筆者現在所研究的關于多個體系統的時間漸近行為的課題，其中在分析解的適定性時就用到解析函數零點的孤立性以及唯一性定理，那么在講解到復變函數第四章第4節時，可以和學生簡要提及解析函數的特性在自己所做科研工作中的應用，以加深學生對知識點的理解，并且增強學生學習該課程的興趣和熱情，培養學生的邏輯思維和分析問題的能力。

3.3 教學方式多樣化

我們可以充分利用在線教學平臺，由于課時的限制，在課堂教學中不可能涉及教材中的所有知識點，那么學生可以根據自身的課堂學習情況，在課后對平臺中的教學視頻、課件以及其他學習資料進行學習，鞏固課堂上的學習內容，并且可以對自己感興趣而課堂上未詳細講解的知識點進行深入學習。目前我校給師生提供了完善的學習通教學平臺，教師可以在課前、課中、課后發布在線作業、測試以及相關知識點的主題討論。比如發布主題討論：解析函數在其定義域中某點領域內的取值情況完全決定著它在其他部分的值，請談談你對解析函數這一特性的看法。學生可以在討論區發表自己的感悟，互動交流，這樣不僅可以鞏固對解析函數特性的理解，學生之間還可以互相學習互相激勵，營造良好的學習氛圍。另外，在教學過程中，可以將班級同學分成幾個小組，對于一些學習任務可以組織小組交流討論，這樣課堂教學會充滿活力，學生的團隊合作能力也得到訓練和加強。其次，教師可以建立一個班級QQ群，向學生推送一些關于數學專業的公眾號，如賽先生、和樂數學、遇見數學等，看到積極向上、求真務實、充滿正能量的視頻或文稿可以轉發在班級QQ群，以培養學生不斷探索、刻苦鉆研、勇于進取的科學精神，激勵學生要腳踏實地地做人做事做學問。最后，可以適當采用對分課堂、翻轉課堂等教學方法，讓學生的參與度更強，激發學生學習的主觀能動性，從而獲得對知識點更深層次的理解與體驗。

結語

在新時代一流學科建設的驅動下，有必要對復變函數課程進行有效的教學路徑探析，以適應時代發展需求。結合我校數學專業特點，本文首先指出了目前復變函數課程教學中面臨的一些困難，然后從課程教學結合學生需求，教師自身要對教學內容進行深層次思考，以及教學方式多樣化這三個方面，探析了新時代背景下復變函數課程教學路徑。這些觀點僅是立足于我校數學專業情況的一點個人淺見，在今后的教學中，會持續改進課程教學措施，提高學生學習興趣，培養學生創新思維，提高教學質量。

參考文獻：

［1］鐘玉泉.復變函數論［M］.5版.北京：高等教育出版社，2021.

［2］李瀏蘭，方敏，劉剛.復變函數與中學數學教學［J］.高等數學研究，2022，25（3）：83-85.

［3］李志艷.淺談復變函數課程教學改革［J］.科技視界，2021：46-47.

［4］侯利元，劉念平.以初等函數為例對復變函數進行的教學探討［J］.樂山師范學院，2021，36（2）：110-115.

基金項目：國家自然科學基金項目（12201172）；合肥學院人才科研基金項目（21-22RC23）；合肥學院教育教學改革研究重大項目（2021hfujyxm03）；安徽省級課程思政示范課程（2021kcszsfkc359）；合肥學院基層教研室示范項目（2020hfujyssf02）；合肥學院重大教學研究項目（2020 hfujyxm01）；安徽省教學研究重點項目（2020jyxm1591）

作者簡介：朱婷婷（1992—），女，安徽合肥人，博士，研究方向：微分方程及其應用。