數學運算能力的理論理解與培養路徑

林全德

［摘 ?要］ 數學運算可以說是數學學習中最基本的環節，隨著學生數學學習不斷深入，隨著學生從小學走向初中再走向高中，數學運算不斷發生著深刻變化，對學生的數學運算能力要求也越來越高. 每一個高中數學教師，都應當以新高考作為教學背景，應當在新高考的視野下去理解數學運算能力的相關理論，去探究有效的數學運算能力的培養途徑. 對于數學運算及其能力的認識，不能局限于傳統的應試教育，而應當站在學生的角度，去梳理學生進行數學運算時的認知過程，把握學生數學運算的重要影響因素. 行之有效的數學運算能力培養的模式可以概括為：高中階段數學運算能力的培養，應當以具體的數學運算問題或習題作為載體，立足學生數學運算過程中的知識整合、思維發展、能力提升等環節，讓學生對數學運算過程有純正式的體驗，讓學生在數學運算的過程中有自主發現，并且能夠將這些發現上升為屬于自己的數學運算理論.

［關鍵詞］ 新高考；數學運算能力；培養

從當前高中教育的實際情況來看，考試依然發揮著指揮棒的作用，考試模式的改變對學科教學更是有著直接影響. 對于當前的高考情形，最直接的概括用語就是新高考，相對于傳統的高考而言，新高考通常采用的是“3+1+2”的模式，強調對核心素養以及關鍵能力的考查. 那么在新高考的視野下，作為數學學科關鍵能力重要組成部分的數學運算，應當給予怎樣的理解？又應當如何尋找有效的培養途徑呢？

筆者認為這個問題是重要的，其原因在于數學運算可以說是數學學習最基本的能力，從學生接觸數學的那一天開始，數學運算就發生了. 隨著學生數學學習不斷深入，隨著學生從小學走向初中再走向高中，數學運算不斷發生著深刻變化，對學生的數學運算能力要求也越來越高. 在前一階段的課程改革中，出現過一種思潮，那就是注重數學思想方法的教學，而輕視數學知識（其中就包括數學運算）的教學. 很快人們就發現這種思潮是有問題的，數學思想方法不可能脫離數學知識而存在，學生只有在掌握并運用數學知識（其中自然也包括數學運算）的過程中，才能真正領悟數學思想方法. 因此從這個角度來看，即使是高中數學教學，也必須夯實數學知識這個基礎，也必須注重數學運算能力的培養，才能讓學生對數學思想方法有所領悟. 今天的新高考模式，更是強調對關鍵能力的考查，作為關鍵能力重要組成部分的數學運算能力，應當重新回歸高中數學課堂教學的中央.

因此每一個高中數學教師，都應當以新高考作為教學背景，應當在新高考的視野下去理解數學運算能力的相關理論，去探究有效的數學運算能力的培養途徑. 也正是基于這樣的認識，筆者才明確了應以數學運算能力的培養作為教學抓手，并帶動其他數學素養能力開展教學. 下面結合具體的數學運算教學實例，談談筆者的一些理論學習的成果認識以及探究的相關心得.

數學運算能力的理論理解

談到數學運算能力這一概念，可以說沒有一個高中數學教師是陌生的，哪怕是最簡單、最直接的概念理解，也能發現數學運算能力就是關于數學運算的能力. 但是這種理解有時候容易導致教師視野狹隘，認為數學運算能力培養就是通過數學運算去培養學生的能力，容易讓教師和學生都陷入題海泥淖，從可持續發展的角度來看是得不償失的. 因此一個睿智的教師，在新高考的視野下，首先要理解關于數學運算能力最基本的理論，只有有了正確的理論理解，后續實踐才能擁有正確的方向.

從宏觀角度來看，運算能力是數學學習的基礎能力，直接影響著學生的學習成績，高中數學作為高考中重要的一門科目，對學生的運算能力、思維能力、空間能力等都有著較高的要求，而運算能力則是提升學生數學能力的基礎. 因此，在高中階段，數學教師如何培養和強化學生的運算能力尤為重要. 實際上，數學運算能力與思維能力以及空間想象能力同等重要——當然從學生學習歷程的角度來看，數學運算能力是優于思維能力和空間想象能力的，畢竟學生從學習數學的那一刻開始發展的就是數學運算能力. 對于數學運算能力，如果從廣義理解的角度來看，數學運算能力就是借助對數學運算法則的理解，在運算相關數學題的過程中所表現出來的能力. 其涉及學生對數學運算法則的記憶與理解，涉及學生將具體的運算情境與運算法則對應結合，當然還涉及最基本的數學計算.

這里必須強調的是，數學運算與數學計算是兩個不同的概念，前者更為寬泛，而且與學生的思維能力以及數學建模能力等密切相關. 畢竟數學運算的過程，除了最基本的數學計算外，還包括復雜的心理過程. 這意味著對數學運算的理解必須深入微觀視角，教師要認識到學生開始數學運算，大腦當中會激活與數學運算相關的諸多要素，其中既涉及原有知識和運算法則的調用，又涉及原有知識與題目情境的關系判斷……只有當這些過程能夠順利進行時，數學運算才能夠有效開展，學生的數學運算能力也才能在這一過程當中得以培養. 這里來看一道例題：

例1 已知一給定函數的解析式為y=f（x），其圖象在下列圖中，并且對任意a1∈（0，1），由關系式an+1=f（an）得到的數列｛an｝滿足an+1>an（n∈N*），則該函數的圖象是（ ?）

當學生面對這道題目的時候，應當說解題思路存在著一定的挑戰，而解題思路的挑戰就可以理解為數學運算的挑戰. 站在學生的角度來分析學生面對這道題目時的思維，可以發現學生加工題目給出的信息時，思維會在一定程度上發生混亂. 相當一部分學生都無法將題目給出的函數、函數解析式、函數圖象與數列等概念結合起來，即使部分學生能夠實現兩者結合，也難以根據題目給出的“由關系式an+1=f（an）得到的數列｛an｝滿足an+1>an（n∈N*）”這一條件，得到有用的信息. 如果這個環節得不到突破，那么數學運算自然就不會發生，數學運算能力的培養也就是一句空話.

事實上，突破這道題目的關鍵，在于建立函數、函數解析式、函數圖象之間的關系后，能夠根據題目給出的“由關系式an+1=f（an）得到的數列｛an｝滿足an+1>an（n∈N*）”這一條件，得到f（an）>an，即f（x）>x（可以從“an+1=f（an），an+1>an”中推導出來）. 一旦得到這一結論，就可以進一步推導出f（x）=x實際上就是圖中正方形的對角線，既然f（x）>x，那么曲線肯定在正方形對角線的上方. 因此正確選項就是A．

比較學生最初遇到困難與思維突破后數學運算的順利開展，可以得出的一個基本結論就是，對于數學運算能力的認識，不能局限于傳統的應試教育，而應當站在學生的角度，去梳理學生進行數學運算時的認知過程，把握學生數學運算的重要影響因素，比如舊知識的激活以及新結論的得出，等等. 理解了這一點，那么隨后的教學實踐就有了正確的方向，同時也有了理論保證.

數學運算能力的培養路徑

既然認識到了學生數學運算是一個復雜的認知過程，那么培養學生的數學運算能力，就要從學生數學運算時的認知出發，去建立一個行之有效的數學運算能力培養的模式. 對于這樣的模式，筆者將其概括為：高中階段數學運算能力的培養，應當以具體的數學運算問題或習題作為載體，立足學生數學運算過程中的知識整合、思維發展、能力提升等環節，讓學生對數學運算過程有純正式的體驗，讓學生在數學運算的過程中能夠自主發現，并且將這些發現上升為屬于自己的數學運算理論. 盡管這種理論不一定是放之四海而皆準的，更多的只是屬于學生個體的樸素理論，但是這種理論真正表征著學生個體的數學運算能力，因此應當成為高中數學教學尤其是數學運算教學的重要思路.

值得一提的是，關于數學運算能力培養的途徑，如果在相關的數據庫中搜索的話，可以發現豐富的文獻. 這說明關于數學運算能力的培養實際上是高中數學教學的一個熱門話題. 但是梳理這些文獻可以發現，大多數是站在教師的角度甚至是站在應試的角度去研究的，在新高考的視角下這些思路已經不能完全使用，甚至完全不能使用，教師必須開辟新的途徑，必須真正站在學生的角度尤其站在學生認知的角度，通過把握影響學生數學運算的認知要素，去尋找行之有效的培養數學運算能力的路徑. 這里仍然通過一道例題來說明.

例2 函數y=f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在［a，b］上的面積. 已知函數y=sinnx在0，上的面積為（n∈N*），則

（1）函數y=sin3x在0，上的面積為________.

（2）函數y=sin（3x-π）+1在，上的面積為________.

解答這道題目，對于相當一部分學生而言是具有挑戰性的，數學運算很難順利開展，作為教師就必須想方設法帶著學生去突破思維窠臼. 從題目來看，這道題目綜合了文字信息與圖象信息，涉及定比分點問題. 從數學運算開展的角度來看，一個重要的突破點就是數形結合——實際上，很多時候數形結合就是數學運算能力的重要組成部分，如果一個學生能夠將數形結合運用得非常嫻熟，那么數學運算能力就不會差到哪里去. 這道題目的優點在于，其具有一定的開放性，且包含的信息比較豐富，對學生的思維分析能力的考查非常到位. 從培養學生數學運算能力的角度來看，讓學生在閱讀題目的過程中發現，題目給出的信息“函數y=sinnx在0，上的面積為（n∈N*）”，說明“函數y=sinnx半個周期長度的面積為（n∈N*）”（如圖1所示），于是“函數y=sin3x在0，上的面積為”.

得出這一結論后，結合圖2，進一步引導學生思考，可以發現函數y=sin（3x－π）+1在，上的面積，就是y=sin（3x－π）+1與直線y=1圍成的半個周期長度的面積與矩形的面積之和. 進一步分析，由第（1）問的結論可得y=sin（3x－π）+1與直線y=1圍成的半個周期長度的面積為，所圍的矩形的面積是－×1=π. 于是y=sin（3x－π）+1在，上的面積就是+π.

這樣的教學過程對于絕大多數學生而言都是適合的，主要原因在于這樣的教學過程按照具體的邏輯展開，而且過程相對詳細，絕大多數學生都能夠接受并理解. 當然，從數學運算能力培養的角度來看，只將這樣的運算過程提供給學生還是不夠的，需要引導學生認識這一過程是如何展開的，這才是數學運算能力培養的關鍵. 當然，這樣的過程也不復雜，高中生最大的特點就是善于理性思考、善于反思，因此只要引導學生認真觀察這一過程，看看其中哪些環節是自己獨立思考時沒有出現的，再去思考為什么自己沒有想到這些環節……如此引導學生去對比、去反思，學生就能夠發現自己思維的不足. 從數學運算認知心理的角度來看，這樣的教學實際上就是引導學生梳理與反思數學運算心理，并在反思中發現且彌補自己的不足. 只要這一心理過程能夠實現，那么數學運算能力的培養就是水到渠成的事情.

數學運算能力的教學總結

對于數學運算的理解以及數學運算能力的培養，教師常常有兩種界定角度：一是現實的需要就是高考的需要，二是理想的需要就是學生可持續發展的需要. 這兩種需要都必須滿足，才能同時兼顧學生的當下與未來. 數學學科是一門基礎學科，數學學科的學習不僅影響著學生的數學知識積累，還影響著學生學習品質的培養以及核心素養的發展. 因此教師必須抓住包括數學運算在內的每一個教學環節，真正立足能力培養去實施教學，這一點對于新高考背景下的高中數學教學來說，是一個兼具現實意義與歷史意義的教學選擇.

有人說，運算能力是思維能力和運算技能的結合，是高考考查的重點［1］. 簡簡單單的一句話卻從兩個角度界定了數學運算，即數學運算能力既與學生的思維能力和運算技能有關，也影響著學生參加高考. 當然，這兩者并行不悖，發展學生的數學運算能力本質上既有服務高考的目的，也有在新高考的引導下發展學生核心素養的目的. 在實際教學中，以培養數學運算能力為抓手，促使教師以及學生正確理解數學教學，在課堂上形成教師與學生默契的教學關系，這可以為數學運算的展開提供一個友好環境. 應當說，這種環境也是新高考背景下高中數學教學努力的方向，畢竟數學運算作為一個復雜的心理過程，也是在具體的課堂情境中發生的，這一情境越友好，數學運算能力的培養過程就會越順利.

參考文獻：

［1］ 王海. 新高考背景下對高中生數學運算能力培養的幾點思考［J］. 高考，2017（18）：36-38.