小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域中量感的培養(yǎng)研究

袁影 伍雪輝

【摘 要】在圖形與幾何領(lǐng)域中培養(yǎng)學(xué)生的量感有助于促進(jìn)核心素養(yǎng)多元協(xié)調(diào)發(fā)展，為其他核心素養(yǎng)的形成奠定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，促進(jìn)量感可視化教學(xué)。教師可以通過(guò)量和感協(xié)同發(fā)展、構(gòu)建結(jié)構(gòu)化教學(xué)內(nèi)容、立足以評(píng)定教的視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)等策略，為圖形與幾何領(lǐng)域中量感的培養(yǎng)提供落腳點(diǎn)，將量感真正內(nèi)化于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 量感 圖形與幾何

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1002-3275（2023）20-72-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（本文簡(jiǎn)稱(chēng)課程標(biāo)準(zhǔn)）強(qiáng)調(diào)教師要注重量感的培養(yǎng)，采用創(chuàng)造性的教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)物品大小、重量、快慢等的具體感知能力，逐步提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。量感的教學(xué)要求教師立足于教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)生活化的具體實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生在具體的實(shí)例中進(jìn)行感知，形成自身的理解，不斷地通過(guò)實(shí)踐驗(yàn)證，最終形成量感。如何基于課程標(biāo)準(zhǔn)有效地培養(yǎng)小學(xué)生的量感，成為小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要重視的問(wèn)題。

一、量感的含義

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于量感這一核心素養(yǎng)的界定為對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，知道度量的意義，選擇合適的度量單位進(jìn)行度量等。對(duì)于量感的界定有五種代表性的觀點(diǎn)：一是通過(guò)視覺(jué)和觸覺(jué)對(duì)物體物理量的感性認(rèn)識(shí)；二是將量感作為數(shù)感的下屬觀點(diǎn)；三是學(xué)生在實(shí)際情境中主動(dòng)地理解和運(yùn)用量的態(tài)度和意識(shí)，能不用測(cè)量工具對(duì)某個(gè)量的大小進(jìn)行推斷；四是將量感看作基于本能的觀察與行動(dòng)方式；五是將量感看作從數(shù)學(xué)角度通過(guò)數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。［1］基于對(duì)量感內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)，探索量感在圖形與幾何領(lǐng)域的培養(yǎng)意義與策略。

二、圖形與幾何領(lǐng)域中量感培養(yǎng)的特點(diǎn)

（一）直觀性

由課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)量感的界定可知，量感培養(yǎng)的重要著力點(diǎn)是學(xué)生自己動(dòng)手操作。在圖形與幾何領(lǐng)域中，量感的培養(yǎng)主要涉及物體周長(zhǎng)、面積、容積等內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生掌握定量的認(rèn)識(shí)方法，這回應(yīng)了課程標(biāo)準(zhǔn)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的要求，同時(shí)這也是讓學(xué)生形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

培養(yǎng)量感需要發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手能力，順應(yīng)“做中學(xué)”的教育理念，要讓學(xué)生在動(dòng)手測(cè)量和計(jì)量的過(guò)程中形成對(duì)量的認(rèn)識(shí)和感悟，還要鼓勵(lì)學(xué)生利用自己的感官去感知物體之間的大小關(guān)系。同時(shí)，教師在圖形與幾何領(lǐng)域中應(yīng)采用直觀的教學(xué)方式，充分利用信息技術(shù)，將動(dòng)態(tài)演示和靜態(tài)展示結(jié)合，利用多媒體信息化教學(xué)生動(dòng)地向?qū)W生展示物體之間量的關(guān)系。基于直觀性教學(xué)原則，能讓學(xué)生更生動(dòng)形象地認(rèn)識(shí)物體可測(cè)量的屬性，直觀地了解量感的意義。

（二）參照性

基于量感的“不用測(cè)量工具對(duì)某個(gè)量的大小進(jìn)行推斷”這一定義，圖形與幾何領(lǐng)域中的量感的培養(yǎng)可以采用“參照—對(duì)比”的方式，讓學(xué)生辨析物體之間的區(qū)別。“參照—對(duì)比”就是確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量并以此為標(biāo)準(zhǔn)，形成嚴(yán)格的單位標(biāo)準(zhǔn)體系，將需要推斷的幾何圖形與標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較估計(jì)，進(jìn)而形成對(duì)目標(biāo)圖形大小的粗略認(rèn)知。采用“參照—對(duì)比”方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力，這是由于學(xué)生會(huì)面臨對(duì)不同物體在同一物理量之間進(jìn)行比較的情況，需要學(xué)生能夠辨認(rèn)恰當(dāng)?shù)奈锢砹坎⑦M(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出合理的估計(jì)結(jié)果。

在圖形與幾何領(lǐng)域中，學(xué)生在對(duì)不同形狀和單位的幾何圖形的大小進(jìn)行比較時(shí)，經(jīng)常用到參照性的原則，讓學(xué)生以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖形為參照對(duì)目標(biāo)圖形進(jìn)行對(duì)比，從而得到相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果。這個(gè)過(guò)程借助學(xué)生已知的標(biāo)準(zhǔn)量，變抽象為具象，讓學(xué)生體驗(yàn)、比較、推理、辨析，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力。

（三）經(jīng)驗(yàn)性

布魯納的結(jié)構(gòu)主義教學(xué)理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)地獲取知識(shí)，并通過(guò)把新獲得的知識(shí)和已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)，積極地構(gòu)建知識(shí)體系。該觀點(diǎn)同樣適用于量感在圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)物體之間的大小關(guān)系時(shí)，需要基于自己的已有認(rèn)知來(lái)進(jìn)一步加深對(duì)量感的認(rèn)識(shí)。當(dāng)新舊知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系時(shí)，學(xué)生就能夠積極地在頭腦中構(gòu)建量感的含義及作用，形成知識(shí)組塊，構(gòu)建良好的知識(shí)體系，從而形成抽象思維能力，提升解決問(wèn)題的能力。

以物體周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)為例，在學(xué)生形成物體可測(cè)量的屬性之前，需要讓學(xué)生先認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)的幾何形狀，如正方形、長(zhǎng)方形、三角形、圓，再進(jìn)一步教授長(zhǎng)度單位的概念，讓學(xué)生了解物體長(zhǎng)度之間具有可比性。在進(jìn)一步認(rèn)識(shí)厘米、分米、米等長(zhǎng)度單位之后，再教學(xué)基礎(chǔ)幾何的周長(zhǎng)計(jì)算公式。學(xué)生根據(jù)已有認(rèn)知，計(jì)算周長(zhǎng)數(shù)據(jù)，從而更具體地認(rèn)識(shí)物體之間的大小關(guān)系。由此學(xué)生以已有認(rèn)知為重要基點(diǎn)，將量感真正內(nèi)化為自我認(rèn)知，對(duì)量感形成更加深刻且準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。

三、在圖形與幾何領(lǐng)域中培養(yǎng)量感的意義

（一）促進(jìn)核心素養(yǎng)多元協(xié)調(diào)發(fā)展

課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出，數(shù)學(xué)這門(mén)課程的性質(zhì)就是讓學(xué)生形成理性思維和科學(xué)精神。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于量感高度重視，要求教師在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生形成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的習(xí)慣，以及形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)。量感作為核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，是幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)眼光的重要基石，能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界的各種數(shù)量關(guān)系和空間形式，將其抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并厘清問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)原理。培養(yǎng)量感有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生理解物體都是具有可測(cè)量屬性的概念，并在學(xué)習(xí)情境中將量感具象和遷移到真實(shí)的生活情境中。

圖形與幾何領(lǐng)域中培養(yǎng)學(xué)生的量感有助于實(shí)現(xiàn)其他核心素養(yǎng)協(xié)調(diào)發(fā)展，學(xué)生在長(zhǎng)時(shí)間感知、使用量的過(guò)程中逐漸形成其他的核心素養(yǎng)。例如在小學(xué)不同學(xué)段的圖形與幾何領(lǐng)域中，量感的培養(yǎng)體現(xiàn)為循序漸進(jìn)地融入有關(guān)幾何直觀和空間觀念。具體而言，第一學(xué)段體驗(yàn)物體長(zhǎng)度的測(cè)量過(guò)程，認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的長(zhǎng)度單位；第二學(xué)段掌握基礎(chǔ)平面圖形的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法；第三學(xué)段掌握立體圖形的表面積和體積計(jì)算方法。在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中將幾何直觀、空間觀念和推理意識(shí)融合起來(lái)，促進(jìn)核心素養(yǎng)多元協(xié)調(diào)發(fā)展。

（二）為其他核心素養(yǎng)的形成奠定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)

量感的培養(yǎng)有助于學(xué)生形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)。幾何直觀的學(xué)習(xí)要求學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣，能夠構(gòu)建形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，解決實(shí)際情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)規(guī)則推斷出其他命題或者結(jié)論。這些能力的塑造需要以抽象能力和應(yīng)用意識(shí)為基礎(chǔ)。量感的逐步形成能夠讓學(xué)生對(duì)各種圖形和幾何的可測(cè)量屬性與大小關(guān)系有更深入的了解，學(xué)生在動(dòng)手操作和測(cè)量的過(guò)程中豐富了認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，并將認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

這為其他核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定重要基礎(chǔ)，為學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”提供幫助。

（三）促進(jìn)量感的遷移運(yùn)用

學(xué)生是否對(duì)量感形成正確的認(rèn)知、是否具備應(yīng)有的辨析能力、能否熟練地應(yīng)用量感等問(wèn)題都是教師在教學(xué)中需要重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題。在圖形與幾何領(lǐng)域中，量感的培養(yǎng)可以利用圖形與幾何直觀的性質(zhì)和特點(diǎn)展開(kāi)，幫助學(xué)生在遷移中化量感抽象概念為更加具象和直觀的形象，從而理解量感。教師需要注意利用幾何圖形的特點(diǎn)，基于量感的教學(xué)內(nèi)容改進(jìn)教學(xué)方法，通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)的量感情境，幫助學(xué)生建立量感和提升核心素養(yǎng)。

以長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算為例，長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式及方法有很多相似點(diǎn)，因此教師在進(jìn)行正方形的周長(zhǎng)和面積的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以利用學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的長(zhǎng)方形的相關(guān)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生遷移和運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)正方形其實(shí)是特殊的長(zhǎng)方形，讓學(xué)生在動(dòng)手觀察和推理中發(fā)展量感。

四、在圖形與幾何領(lǐng)域中培養(yǎng)量感的策略

（一）量和感協(xié)同發(fā)展

培養(yǎng)量感的重要方式是讓學(xué)生在綜合實(shí)踐活動(dòng)中動(dòng)手操作，形成對(duì)量感的認(rèn)知。教師需要開(kāi)展多元的活動(dòng)讓學(xué)生在“做中學(xué)”，在實(shí)踐中建立對(duì)量感的直觀認(rèn)知，提供量感發(fā)展的支撐。因此，量感的培養(yǎng)必須同時(shí)注重量和感的協(xié)同發(fā)展，為學(xué)生提供機(jī)會(huì)親自動(dòng)手測(cè)量和積極調(diào)動(dòng)感官去感知不同幾何圖形之間的大小關(guān)系，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)圖形與幾何內(nèi)容時(shí)能夠更加直觀和形象地感知量感，積累直接經(jīng)驗(yàn)。

以圖形的面積計(jì)算教學(xué)為例，為了讓學(xué)生更好地進(jìn)行面積大小的對(duì)比和區(qū)域間的轉(zhuǎn)換，教師可以將教學(xué)延伸出課堂，拓寬教學(xué)場(chǎng)所，讓學(xué)生走出教室，到校園里實(shí)地測(cè)量或估算花壇、乒乓球臺(tái)、跑道等的面積，從而更加直觀地了解面積的計(jì)算公式和面積的意義。教師在量感教學(xué)中充分激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，利用真實(shí)的生活情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心和能動(dòng)性，讓學(xué)生通過(guò)自主地“量”和“感”，形成知識(shí)體系，從而形成量感。

（二）構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的教學(xué)內(nèi)容

在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域中，量感培養(yǎng)需遵循課程標(biāo)準(zhǔn)要求，以結(jié)構(gòu)化的形式呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)。基于相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)學(xué)科體系，構(gòu)建與量感相關(guān)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)內(nèi)容。首先可以引入幾何概念的結(jié)構(gòu)化框架，其次順勢(shì)強(qiáng)調(diào)圖形的屬性和關(guān)系，最后輔之以系統(tǒng)性的任務(wù)和問(wèn)題幫助學(xué)生更好地發(fā)展量感。

在內(nèi)容組織上，教師需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體把握。構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的教學(xué)內(nèi)容，能夠使教師對(duì)單元整體知識(shí)的結(jié)構(gòu)把握得更加清晰，促使學(xué)生更明晰知識(shí)結(jié)構(gòu)。在組織內(nèi)容時(shí)需要重視學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)，順應(yīng)其發(fā)展的階段性，處理好直觀和抽象、直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系。例如在整體構(gòu)建面積測(cè)量的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，先以長(zhǎng)方形和正方形等簡(jiǎn)單的幾何圖形為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生初步感知面積測(cè)量，以此為出發(fā)點(diǎn)導(dǎo)入平行四邊形和三角形等變式圖形的教學(xué)內(nèi)容。量感培養(yǎng)的方法也由數(shù)方格和直接測(cè)量的方式轉(zhuǎn)變?yōu)楦钛a(bǔ)法和拼接法等適應(yīng)不同特征的幾何圖形的學(xué)習(xí)方法。這樣的內(nèi)容安排順應(yīng)了學(xué)生量感發(fā)展中測(cè)量和推理能力的發(fā)展特點(diǎn)，其目的是發(fā)展學(xué)生的抽象能力和應(yīng)用意識(shí)。

（三）立足以評(píng)定教的視角開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)

基于評(píng)價(jià)的反饋和調(diào)控功能，教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)方式大多以評(píng)價(jià)結(jié)果為導(dǎo)向，及時(shí)發(fā)現(xiàn)、彌補(bǔ)和矯正學(xué)生的認(rèn)知缺陷和認(rèn)知錯(cuò)誤，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度，改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)效能。通過(guò)評(píng)價(jià)得到的反饋信息有利于改進(jìn)師生雙方在教學(xué)過(guò)程中不足的地方，因此以量感形成的程度的評(píng)價(jià)結(jié)果為教學(xué)設(shè)計(jì)提供了必要依據(jù)。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于教學(xué)設(shè)計(jì)至關(guān)重要，教師應(yīng)杜絕“唯成績(jī)”的評(píng)價(jià)形式，要以學(xué)生形成理性思維、科學(xué)精神等為目標(biāo)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

在教學(xué)過(guò)程中開(kāi)展評(píng)價(jià)的意義在于促進(jìn)教與學(xué)，教師的教應(yīng)以目標(biāo)為導(dǎo)向，旨在培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，學(xué)生的學(xué)也是為了發(fā)展核心素養(yǎng)。立足以評(píng)定教的視角開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)需要兼顧“教—學(xué)—評(píng)”三位一體的指導(dǎo)思想，將評(píng)價(jià)貫穿教學(xué)全過(guò)程的理念貫徹落實(shí)到量感的培養(yǎng)過(guò)程中。評(píng)價(jià)的設(shè)定不能只局限于“內(nèi)容導(dǎo)向”，即量感的培養(yǎng)不應(yīng)該只是讓學(xué)生了解量感的含義，而是應(yīng)該轉(zhuǎn)向“結(jié)果導(dǎo)向”，判斷學(xué)生是否真正形成了量感，是否能以此為經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)。以評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為出發(fā)點(diǎn)，選擇合適的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式等，使量感真正內(nèi)化于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域中，培養(yǎng)學(xué)生的量感是一項(xiàng)十分重要的任務(wù)。量感的培養(yǎng)需要注重直觀性、參照性和經(jīng)驗(yàn)性，通過(guò)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中量感的要求以及圖形與幾何領(lǐng)域中量感培養(yǎng)的特點(diǎn)、相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析，探討培養(yǎng)量感的策略，以學(xué)生的實(shí)際體驗(yàn)和感知為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生在具體實(shí)例中建立對(duì)量感的理解，更清晰地認(rèn)識(shí)物體的大小、重量等可測(cè)量的屬性，發(fā)展具體感知能力。在圖形與幾何領(lǐng)域中發(fā)展學(xué)生的量感有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為后續(xù)更具難度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

［1］高博豪，吳立寶，郭衎．量感的內(nèi)涵與特征［J］．天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（基礎(chǔ)教育版），2022，23（5）：7-12.