高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的必要性與教學(xué)策略

[摘要]數(shù)學(xué)建模是連接現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)世界的關(guān)鍵橋梁，是把數(shù)學(xué)工具引入到實際問題的重要步驟。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是社會發(fā)展的實際需要，并且高中數(shù)學(xué)知識自身帶有建模的屬性，由此可見，高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)十分必要。高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的教學(xué)策略包括：充分應(yīng)用往年的數(shù)學(xué)建模競賽試題；教會學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)建模的流程；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)策略

[中圖分類號]G521 [文獻標識碼]A

[DOI]：10.20122/j.cnki.2097-0536.2023.07.043

隨著近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑越來越受到人們的重視。再隨之我國進入新發(fā)展階段，應(yīng)用型、復(fù)合型、創(chuàng)新型人才需求穩(wěn)健增長[1]，數(shù)學(xué)建模在工程、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟、能源等其他領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為當(dāng)代高新技術(shù)的重要組成部分。數(shù)學(xué)建模能力已然成為當(dāng)代科技創(chuàng)新工作者的一項必備技能。數(shù)學(xué)建模是連接現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)世界的關(guān)鍵橋梁，是把數(shù)學(xué)工具引入到實際問題的重要步驟。

一、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的必要性

（一）高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的社會背景

教育必須滿足社會發(fā)展的需要，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是社會發(fā)展的實際需要。西方的部分大學(xué)從二十世紀六七十年代就開始推出數(shù)學(xué)建模課，我國在二十世紀八十年代初也開始在大學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模課。目前大多數(shù)的數(shù)學(xué)專業(yè)本科生都會必修數(shù)學(xué)建模課程，很多其他專業(yè)的本科生也會選修數(shù)學(xué)建模課程。隨著最新的《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》將數(shù)學(xué)建模作為核心素養(yǎng)提出后，各地的中學(xué)也逐漸開始開設(shè)數(shù)學(xué)建模課，使學(xué)生能夠有意識地用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實問題，發(fā)現(xiàn)和提出問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決實際問題。

除了各校開展的建模課程，數(shù)學(xué)建模競賽亦在向?qū)W生們推廣普及數(shù)學(xué)建模。競賽以另一種形式促進學(xué)生進一步體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的作用，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。從1997年起，北京數(shù)學(xué)會舉辦了北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽，每年一次，每年大概有1萬人參賽，該活動一直持續(xù)了23年，受益的學(xué)生非常多。從2020年起，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)建模教育中心將該活動推廣到全國，更名為數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力展示活動，活動分兩個階段：第一階段以閉卷考試的形式，學(xué)生需要在兩個半小時內(nèi)完成數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力測試題；第二階段，需要學(xué)生提交一篇完整的建模論文，并開展數(shù)學(xué)建模論文評比與答辯展示活動，但這兩個階段互相獨立，分開評獎。第一階段的試題不是簡單的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，都是來自于現(xiàn)實生活，有實際背景的原創(chuàng)問題，需要學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)建模思想和方法。學(xué)生需要先讀懂題目中已經(jīng)完成的部分建模環(huán)節(jié)，在這個研究思路的基礎(chǔ)上繼續(xù)解決問題。

（二）高中數(shù)學(xué)知識自身帶有建模的屬性

如何有效地開展建模課程，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力一直是廣大中小學(xué)教師的研究重點。教材中的實際問題經(jīng)過很好的抽象，基本建立了成熟的模型，而且大多數(shù)實際問題都是為了引入新的知識點而介紹的，很多教師自然會把重心放到具體的知識講解中，而忽略了分析其中的建模環(huán)節(jié)。中學(xué)的建模課程大多還處于校本課程階段，全國沒有統(tǒng)一的教學(xué)參考資料，目前流行的很多中學(xué)教學(xué)參考書和大學(xué)建模課中的問題重合度很高，而大部分參與到數(shù)學(xué)建模課程的同學(xué)以高一、高二年級為主，這些學(xué)生往往都還沒有完整系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、向量、解析幾何、概率等模塊的內(nèi)容，對這些學(xué)生來說每接觸一個新的模型時，這個模型中涉及到的數(shù)學(xué)工具對他們來說基本都是陌生的，基于學(xué)生往常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，他們又會習(xí)慣成自然地將重心放到數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)理解上，而忽略了重要的對整個模型構(gòu)建的分析過程，學(xué)生們學(xué)到的大部分是模型中涉及到的數(shù)學(xué)工具而不是建模的方法，這不免有些舍本逐末。我們知道，數(shù)學(xué)建模是打通現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)世界的橋梁，數(shù)學(xué)建模過程就是幫助學(xué)生們學(xué)會如何打通這兩個世界，而不是讓學(xué)生見識數(shù)學(xué)世界中有多么厲害多么高深的數(shù)學(xué)知識。學(xué)會“用數(shù)學(xué)”而不僅僅是“數(shù)學(xué)”，學(xué)生要學(xué)會的是如何從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的語言加以量化，給出合理的假設(shè)，分析出研究問題的目標，找到合適的數(shù)學(xué)工具解決問題，并能解釋模型的合理性，這是一個綜合的數(shù)學(xué)運用過程。我們希望通過數(shù)學(xué)建模過程達到的目標和義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總目標是一致的，在這個過程中，學(xué)生逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。我們希望學(xué)生在整個建模過程中獲得一部分數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，我們也希望學(xué)生在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識和方法分析問題和解決問題，更希望在整個建模過程中讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價值，欣賞數(shù)學(xué)的美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問題、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神[2]。綜上分析，找到符合學(xué)生們知識背景且符合現(xiàn)實意義的建模例子是所有中小學(xué)老師備課過程中一直要思考的關(guān)鍵問題。

二、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的教學(xué)策略

（一）充分應(yīng)用往年的數(shù)學(xué)建模競賽試題

用好往年的數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力展示活動中的測試題有助于學(xué)生理解什么是數(shù)學(xué)建模。剛接觸數(shù)學(xué)建模的同學(xué)都會有這樣的疑問，到底什么是數(shù)學(xué)建模，平時練習(xí)中的數(shù)學(xué)應(yīng)用題不是數(shù)學(xué)建模嗎？數(shù)學(xué)建模競賽就是解應(yīng)用題嗎？顯然，數(shù)學(xué)建模不同于數(shù)學(xué)應(yīng)用題，數(shù)學(xué)應(yīng)用題大多是將純數(shù)學(xué)題附加了實際背景，它是有標準解答的，但數(shù)學(xué)建模要解決的問題敘述往往是模糊的，答案具有不確定性、不唯一性。《課標》是這樣解讀的，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型、最終解決問題[3]。也就是說數(shù)學(xué)建模不僅包括建立模型、求解模型環(huán)節(jié)，還包括之前的發(fā)現(xiàn)和提出問題環(huán)節(jié)，以及后續(xù)的檢驗和完善模型環(huán)節(jié)，是一個更為綜合的解決問題的過程，或者說發(fā)現(xiàn)和提出問題的環(huán)節(jié)是更重要的環(huán)節(jié)。學(xué)生們對數(shù)學(xué)建模的陌生主要來自于課本中的大部分問題的背景簡單，模型清晰明了，非常容易忽略其中的建模要素。往年的數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力展示活動中的測試題目往往有以下特點：來源于生活，背景廣泛；閱讀量大，綜合性強；關(guān)注建模要素。測試題目全都來自于現(xiàn)實問題，取材領(lǐng)域廣泛，問題新穎，注重考驗學(xué)生們分析問題的能力，而不僅僅是簡單地對已經(jīng)掌握的知識的照搬套用。測試問題表述帶有現(xiàn)實背景，閱讀量較大，需要學(xué)生適當(dāng)抽象、簡化、變通，給出合理假設(shè)以適當(dāng)簡化復(fù)雜的現(xiàn)實環(huán)境。整個過程中，如果學(xué)生不能完成對背景知識的充分解讀，缺乏創(chuàng)造力和洞察力，不清楚基本的建模步驟，這樣建立的模型必然是不好的。

（二）教會學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)建模的流程

數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力展示活動中第一階段的測試題可以理解為一種初步的數(shù)學(xué)建模活動。完整的建模活動包括發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、模型建立與求解、模型的檢驗與改進幾個大步驟[4]，其中分析問題環(huán)節(jié)是建立模型的關(guān)鍵，問題分析清楚就相當(dāng)于靠近了問題的本質(zhì)，問題自然會迎刃而解。問題分析步驟考驗學(xué)生的邏輯分析能力，學(xué)生需要明確量化目標、分析影響因素、提出恰當(dāng)假設(shè)、查閱文獻了解相關(guān)領(lǐng)域知識、進而確定模型，是一個有章可循的綜合分析過程。完成上述完整的分析流程對于建模初學(xué)者而言，難度不言而喻。基于此學(xué)情，對比于大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競賽，高中生的數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力展示活動專門增加了第一階段的筆試活動，筆試的題目就是建模的雛形，命題人已經(jīng)初步給學(xué)生們搭設(shè)了部分臺階，需要學(xué)生們按照數(shù)學(xué)建模的研究方法，順著研究問題的思路繼續(xù)解決問題。第一階段的活動既能有效降低建模難度，又在一定程度上向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)建模的研究方法，讓學(xué)生在實踐探索中加深對數(shù)學(xué)建模的認識。另外，測試題對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和理論的要求不高，全部在高中知識范圍內(nèi)，不會超過高中的基本教學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)建模課程最重要的是讓學(xué)生們學(xué)會問題分析的過程，而不應(yīng)把重點放在數(shù)學(xué)知識的解析上，相比于其他的高中生建模科普書中涉及的案例，測試題的難度會更適合在建模課堂，幫助學(xué)生熟悉建模的整個流程和體會建模的意義。

（三）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力

學(xué)生掌握了一定的建模技巧后，教師可以改變問題的提出方式，適當(dāng)增加難度，讓建模測試題回歸到原始的建模問題。原始的建模問題敘述往往是復(fù)雜的、模糊的、不規(guī)范的、粗糙的，題目中沒有清晰的邏輯關(guān)系、確定的假設(shè)、明確的目標，而需要研究者逐步分析，確定條件，給出假設(shè)和影響因素，確定量化目標，完成整個建模過程。比如2021年的數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力展示活動測試題中的第4題，問題展示了希臘天文學(xué)家埃拉托斯特尼估算地球半徑的方法，題目中給出了“地球的北回歸線幾乎穿過這里”、“每年‘夏至的中午，太陽光幾乎直射到深井井底的水面”、“認為亞歷山大港位于塞恩市正北”、“地球是一個圓球的形狀”、“太陽離地球非常遠，以至于從太陽射在亞歷山大港和塞恩市的光線是平行的”等一系列基本假設(shè)幫助同學(xué)們分析問題，而且還給出了利用物體影子的長度變化估計兩城市與地心連線夾角的模型，題目設(shè)置為要找出影響誤差的因素，以及引導(dǎo)學(xué)生作靈敏度分析。基本上還原了從提出問題到、分析問題、模型建立與求解、模型的檢驗與改進的整個過程，是一個非常適合高中生的建模實例。在學(xué)生已經(jīng)基本了解了數(shù)學(xué)建模的研究思路后，就應(yīng)繼續(xù)增加難度，隱掉題目中的相關(guān)假設(shè)和模型，將題目放寬為：亞歷山大港（北緯31°12′，東經(jīng)29°15′）位于埃及北部沿海的尼羅河口，阿斯旺（北緯23°35′，東經(jīng)32°31′）是埃及南方的一個重要城市，位于尼羅河?xùn)|岸，亞歷山大港和阿斯旺之間有一條直路，長度大約為5000“體育場”（“體育場”是古希臘的距離度量單位，約為631英尺），請你利用以上信息，查閱相關(guān)資料，設(shè)計一種估算地球半徑的方案。學(xué)生需要自己使用數(shù)學(xué)符號，分析數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，求解并檢驗?zāi)Ｐ停w驗完整的建模過程，從而提升數(shù)學(xué)建模的能力。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)建模是一種能力，實踐是數(shù)學(xué)建模最好的課堂。教師與學(xué)生一起共同經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)解決實際問題的過程可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力。限于中學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識還比較初等，對教師而言，挖掘適合中學(xué)生實操的建模訓(xùn)練是個不小的挑戰(zhàn)。二十多年來的數(shù)學(xué)建模競賽試題給我們提供了豐富的建模實例，教師可以根據(jù)學(xué)生水平，適當(dāng)增加或者減少“臺階”，于實際問題著手，從問題解決中得到鍛煉，讓學(xué)生在整個實踐過程中更好地品味和理解數(shù)學(xué)，從而提升學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決問題的能力。

參考文獻：

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[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2020

[4]王穎喆.關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的思考[J].數(shù)學(xué)通報，2020，59（11）：1-3+30.

作者簡介：張子平（1995.7-），女，漢族，河北廊坊人，中學(xué)教師/二級，碩士，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育。