高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

陶曉霞　劉麗花　胡俊紅

摘? ?要：高考數(shù)學(xué)越來越側(cè)重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和應(yīng)用能力的考查。其中，應(yīng)用題既能考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用水平，又能考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，深得命題者的青睞，但應(yīng)用題也成為學(xué)生失分的“重災(zāi)區(qū)”。日常教學(xué)中，教師可通過加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀審題能力的培養(yǎng)和建模能力的培養(yǎng)，幫助學(xué)生更好地分析題目，進(jìn)行解答。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；閱讀能力；建模能力

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2023）03-0036-03

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》）實(shí)施的深入，高考數(shù)學(xué)越來越側(cè)重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和應(yīng)用能力的考查。其中，應(yīng)用題既能考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用水平，又能考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，深得命題者的青睞。然而，筆者通過對(duì)近幾年高考試題得分情況的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在應(yīng)用題上失分較多，很多學(xué)生在解答應(yīng)用題時(shí)感覺束手無策，在有限的時(shí)間里不能快速提煉出有效信息，有些學(xué)生甚至因畏懼心理直接選擇放棄。究其原因，是這些學(xué)生不能正確理解題意，無法將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，更不要提解決數(shù)學(xué)問題了。以上幾個(gè)障礙是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中亟待解決的問題。

我們先來看看高考應(yīng)用題的題目特征和考查目標(biāo)。2019年全國卷一維納斯身高的估測考查了學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯分析能力；2021年新高考一卷中設(shè)置了折紙與數(shù)列的綜合和比賽獲勝的概率問題，北京卷考查新冠病毒感染的概率問題；2022年新高考一卷以水庫為背景考查棱臺(tái)體積，相關(guān)關(guān)系考查內(nèi)容涉及疾病與衛(wèi)生習(xí)慣間的關(guān)系；全國二卷以中國古建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景考查數(shù)列問題，等等。考試題目選材內(nèi)容貼近于社會(huì)熱點(diǎn)、時(shí)事政治等方面，背景內(nèi)容與生活實(shí)際結(jié)合緊密，它要求學(xué)生能夠構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際之間的聯(lián)系，從而解決實(shí)際問題。在未來一段時(shí)間內(nèi)，題目背景生活化仍然是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主要特征。

高考數(shù)學(xué)題目的考查重點(diǎn)是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而數(shù)學(xué)建模能力就是將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為具體數(shù)學(xué)問題的思維能力，是學(xué)生必備的基礎(chǔ)能力，這在近幾年的高考數(shù)學(xué)考查中尤為突出。

日常教學(xué)中，我們要側(cè)重學(xué)生以下兩個(gè)方面的培養(yǎng)：

一、對(duì)審題能力的培養(yǎng)

高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的篇幅長，信息量大，這就要求學(xué)生有較強(qiáng)的閱讀理解能力，能夠通過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)，尋找到關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題。

在教學(xué)中，教會(huì)學(xué)生閱讀，可以使學(xué)生實(shí)現(xiàn)獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)。提高數(shù)學(xué)閱讀能力，可以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展，從而有助于探究能力的發(fā)展。那么怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力呢？

（一）調(diào)動(dòng)學(xué)生閱讀興趣 創(chuàng)設(shè)閱讀的情境和氛圍

創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，能夠激發(fā)和保持學(xué)生的閱讀興趣，讓閱讀成為自覺的行為。教師要轉(zhuǎn)換角色，對(duì)于重難點(diǎn)及關(guān)鍵點(diǎn)要編寫閱讀提綱，設(shè)置好啟發(fā)點(diǎn)，降低難度，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)，適時(shí)點(diǎn)撥、提醒，讓學(xué)生帶著問題邊閱讀邊思考，保持強(qiáng)烈的求知欲。學(xué)貴有疑，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的知識(shí)不足以解決問題時(shí)，就會(huì)積極探索新的知識(shí)；當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)單憑自己的力量無法完成任務(wù)時(shí)，就會(huì)求助同學(xué)，采用小組合作探究方式來解決問題；當(dāng)學(xué)生解決了一個(gè)個(gè)問題，從中獲得的成就感將有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如針對(duì)選擇性必修二課本第42頁的閱讀與思考“中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法”，我們可以給學(xué)生制定如下閱讀提綱，以激發(fā)學(xué)生的閱讀興趣并且強(qiáng)調(diào)出本篇閱讀內(nèi)容的關(guān)鍵點(diǎn)。

1.本文列出了哪幾個(gè)數(shù)學(xué)家的求和方法？

2.這幾個(gè)數(shù)學(xué)家的求和方法與課本上介紹的方法有什么異同？

3.這些古代數(shù)學(xué)家的推導(dǎo)方式有什么共同之處呢？你怎樣評(píng)價(jià)我國古代數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)成就呢？

4.古文“幾何日相逢及各行幾何”含義為：第幾日能夠相逢？每匹馬各行了多少里？

培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，將數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)納入到課程教學(xué)環(huán)節(jié)，使得教學(xué)逐步往“講讀練三結(jié)合”的教學(xué)模式轉(zhuǎn)化。

（二）幫助學(xué)生學(xué)會(huì)略讀和精讀

略讀，就是對(duì)題目的整體把握，通過閱讀明確條件是什么，問題是什么，切入點(diǎn)是什么。精讀，就是對(duì)材料進(jìn)行逐字逐句的閱讀，搞清字里行間的關(guān)系，從而理清概念、定理、公式之間的邏輯關(guān)系。教師要幫助學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真、細(xì)心的閱讀習(xí)慣，對(duì)題目中的關(guān)鍵字詞進(jìn)行標(biāo)注，讓學(xué)生能夠熟練地進(jìn)行文字語言、圖形語言、數(shù)學(xué)符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而深入探究，列出關(guān)系式，尋找變量間的關(guān)系，從而完成建模。以如下應(yīng)用題為例進(jìn)行說明。

近兩年直播電商迅猛發(fā)展，某廠家往年不與直播平臺(tái)合作時(shí)，每年都舉行多次大型線下促銷活動(dòng)。經(jīng)測算，只進(jìn)行線下促銷活動(dòng)時(shí)總促銷費(fèi)用為24萬元。現(xiàn)決定采用線上（直播促銷）線下同時(shí)進(jìn)行的促銷模式，與某直播平臺(tái)達(dá)成一個(gè)為期4年的合作協(xié)議，直播費(fèi)用（單位：萬元）只與4年的總直播時(shí)長x（單位：小時(shí)）成正比，比例系數(shù)為0.12.已知與直播平臺(tái)合作后該廠家每年所需的線下促銷費(fèi)C（單位：萬元）與總直播時(shí)長x（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系為C=ｋ/x+50（x≥0，k為常數(shù)）.記該廠家線上促銷費(fèi)用與4年線下促銷費(fèi)用之和為y（單位：萬元）

（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該廠家直播時(shí)長x為多少時(shí)，可使y最小？并求出y的最小值.

在第一遍略讀時(shí)，我們可以明確有效信息從第二行開始，并把重要信息勾畫出來，基本確定本題需要構(gòu)造函數(shù)求最值；第二遍精讀，把容易忽略的重要字眼突出標(biāo)記，構(gòu)建函數(shù)模型。其中，常數(shù)k的確定對(duì)審題能力提出較高要求，即當(dāng)時(shí)C的取值應(yīng)為只進(jìn)行線下促銷活動(dòng)時(shí)的總促銷費(fèi)用24萬元，這樣便可以列出等量關(guān)系，求出k的取值；第二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是，C表示的是每年的線下促銷費(fèi)，在表示費(fèi)用之和y的時(shí)候容易忽略乘以4。而這些易錯(cuò)的問題在精讀時(shí)加以標(biāo)記并進(jìn)行重點(diǎn)分析，是可以突破的。

二、對(duì)數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

（一）挖掘教材 聯(lián)系生活 激發(fā)建模意識(shí)

高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題與數(shù)學(xué)建模在本質(zhì)上都是為了解決生活場景中的實(shí)際問題，所以在解決的步驟上有許多相似之處，但是二者存在層次上的差別和質(zhì)的差異。比如：應(yīng)用題是命題者精心加工提煉出來的比較明確的數(shù)學(xué)問題，條件是比較充分的，一般不需要假設(shè)；而數(shù)學(xué)建模問題一般來源于實(shí)際生活，條件未必充分，有可能要進(jìn)行假設(shè)，討論與論證要復(fù)雜得多，最后還需要有報(bào)告文章來總結(jié)。不過應(yīng)用題教學(xué)和建模教學(xué)都是學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程，都體現(xiàn)了學(xué)和用的統(tǒng)一。

新教材的編寫突出體現(xiàn)了應(yīng)用意識(shí)，每一章的序言都從實(shí)際問題引入，例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題都增加了應(yīng)用問題的數(shù)量，新增了“實(shí)習(xí)作業(yè)”和“研究性課題”這一環(huán)節(jié)，提出了數(shù)學(xué)建模的研究內(nèi)容。教師應(yīng)關(guān)注教材的這一變化，并在教學(xué)過程中讓學(xué)生做好研究性問題的探討；教師要深入挖掘教材，在大單元教學(xué)理念指引下，用好教材中的應(yīng)用實(shí)例，使學(xué)生逐步掌握抽象數(shù)學(xué)對(duì)象、發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的方法。

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容也越來越多地與實(shí)際問題相聯(lián)系，比如統(tǒng)計(jì)學(xué)中，尋找函數(shù)進(jìn)行擬合，進(jìn)而進(jìn)行目標(biāo)預(yù)測；三角學(xué)中，實(shí)際距離、角度的測量等問題。數(shù)學(xué)建模教學(xué)能夠?yàn)閿?shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)提供全新的教學(xué)方向。數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以緊緊圍繞它的五個(gè)步驟進(jìn)行，第一步提出研究問題及假設(shè)，第二步選擇合適的建模方法，第三步推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，第四步解決數(shù)學(xué)問題，第五步回答實(shí)際問題。在教學(xué)實(shí)施過程中，為使學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)的思維模式，教師可采用情景化、多媒體化等教學(xué)模式，將抽象的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行形象化表達(dá)，以便于建立數(shù)學(xué)模型，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得、利用和提升。

高考數(shù)學(xué)試卷中，應(yīng)用題除了與實(shí)際生活緊密相連，通常還包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，要注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化意識(shí)，理解不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。比如：題目中的數(shù)學(xué)模型、公式等，如有必要需進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為另一個(gè)熟悉的模型或公式，再比如對(duì)于空間角、距離、表面積、體積等立體幾何問題，可以建立空間直角坐標(biāo)系，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢進(jìn)行思考；概率統(tǒng)計(jì)問題與數(shù)列綜合在一起的考查也屢屢出現(xiàn)……題目的綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)提出了更高的要求。

（二）凸顯學(xué)生主體地位 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)課堂中，教師占據(jù)絕對(duì)主導(dǎo)地位，學(xué)生則作為配角、聽眾，被動(dòng)地接受知識(shí)信息。這種學(xué)習(xí)模式不僅不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，解決問題的思路也容易固化、僵化，無法做到“見招拆招”，這是不符合當(dāng)下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)的。因此，教師應(yīng)轉(zhuǎn)換角色，成為課堂的組織者、輔導(dǎo)者，而不是主導(dǎo)者，為學(xué)生創(chuàng)造一定的自主學(xué)習(xí)、自主思考的空間，讓學(xué)生成為問題的研究者、探索者，甚至是發(fā)現(xiàn)者，凸顯其主體地位，促使其通過自主探究、主動(dòng)思考提升解題能力。尤其是在建模問題研究過程中，要舍得花時(shí)間，讓學(xué)生以小組為單位，分工協(xié)作，進(jìn)行數(shù)據(jù)收集、實(shí)際測量、模型建立、數(shù)學(xué)計(jì)算、報(bào)告解釋，通過合作探究，提升解決問題的能力。

在平時(shí)教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出設(shè)想，展開想象，敢于創(chuàng)新，并及時(shí)給予反饋，與學(xué)生一起從生活出發(fā)，努力證實(shí)這些猜想；對(duì)于錯(cuò)誤的猜想，一起探討問題所在，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考，將數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際問題結(jié)合起來，用簡單的數(shù)學(xué)建模提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基本技能。教師在教學(xué)的過程中可以讓學(xué)生參與到簡單的應(yīng)用題編寫過程當(dāng)中，讓學(xué)生創(chuàng)造性地設(shè)置問題、解決問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與樂趣。

綜上所述，教師應(yīng)當(dāng)在日常教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，提升學(xué)生的思維活躍度，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平和數(shù)學(xué)建模能力，滿足時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求。