新人教版高中數(shù)學(xué)教材蘊含的數(shù)學(xué)美

黃心怡

[摘 ?要] 作為數(shù)學(xué)文化重要組成部分的數(shù)學(xué)美，具有重要的教育價值，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 新人教版高中數(shù)學(xué)教材蘊含大量的數(shù)學(xué)美，文章從文字、圖片和符號三個方面挖掘教材中的數(shù)學(xué)美.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)美;數(shù)學(xué)教材;核心素養(yǎng)

背景

新課改的推進(jìn)和新課標(biāo)的頒布與修訂，促使數(shù)學(xué)教材不斷優(yōu)化.2019年人民教育出版社正式發(fā)行了新版的高中數(shù)學(xué)教材. 新人教版高中數(shù)學(xué)教材更符合培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，具有更全面的育人價值.在保留了原有的數(shù)學(xué)知識框架的同時，新人教版高中數(shù)學(xué)教材提供了更豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，為數(shù)學(xué)文化滲透、融入教學(xué)提供了更多素材.新人教版高中數(shù)學(xué)教材不僅包含數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，數(shù)學(xué)家的名言、故事，還蘊含著大量的數(shù)學(xué)美等待教師帶領(lǐng)學(xué)生深入挖掘，一同體會.

在上世紀(jì)，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的作用，數(shù)學(xué)美有助于改變學(xué)生對數(shù)學(xué)的看法、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素，具有重要的教育價值. 盡管隨著時代的發(fā)展，教育的進(jìn)步，數(shù)學(xué)美不再是數(shù)學(xué)教育界的熱門詞匯，但作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)美不能被輕易忽視. 數(shù)學(xué)美按照不同標(biāo)準(zhǔn)分類不同：按照美的呈現(xiàn)方式，數(shù)學(xué)美可以分成直觀的外在美和需要品味的內(nèi)在美;按照美的特征，數(shù)學(xué)美可以分成對稱美、奇異美、簡潔美等[1]. 數(shù)學(xué)的對稱美是中國古人眼里的“夫美也者，上下、內(nèi)外、大小、遠(yuǎn)近皆無害焉”;數(shù)學(xué)的奇異美是培根口中的“獨特而令人驚異”;數(shù)學(xué)的簡潔美是愛因斯坦的那句“美，本質(zhì)上終究是簡單”[2]. 數(shù)學(xué)美無處不在，無時不有，新人教版高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)美正是如此. 本文從文字、圖片和符號三個方面挖掘新人教版高中數(shù)學(xué)教材蘊含的數(shù)學(xué)美（以章引言、插圖和數(shù)學(xué)公式為例），并給出相應(yīng)的教學(xué)建議.

閱讀教材中的章引言，理解文字蘊含的數(shù)學(xué)美

章引言是寫在整章內(nèi)容最前面的介紹性文字，通常由幾百字構(gòu)成. 章引言內(nèi)容一般包括實際生活中的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)在某一階段的發(fā)展歷程，還會簡要介紹一章中主要學(xué)習(xí)的內(nèi)容和所學(xué)知識的地位.

新人教A版高中數(shù)學(xué)教材必修一第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的章引言提到了天宮二號、蓄水池和中國高鐵. 眾所周知，天宮二號的發(fā)射、蓄水池的水量、高鐵的營業(yè)里程都是隨時間的變化而變化的，這些變化只需要用一個簡單的函數(shù)模型就能輕松刻畫. 在初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，利用這三種函數(shù)可以解決一些生活實際中的問題，比如優(yōu)選問題. 在高中階段，學(xué)生將進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等，這進(jìn)一步擴大了學(xué)生能解決的實際問題范圍. 函數(shù)模型的使用可以把復(fù)雜的實際問題簡單化，這就是函數(shù)模型所具有的簡潔美.

新人教B版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第二冊第三章“排列、組合與二項式定理”的章引言提到了小學(xué)一年級學(xué)習(xí)過的計數(shù)方法——不斷加1. 顯然這種計數(shù)方法只適用于數(shù)量少且簡單的計數(shù)問題，當(dāng)遇到數(shù)量大且復(fù)雜的計數(shù)問題時就顯得異常困難，因為小學(xué)數(shù)數(shù)時使用的蘋果終究是有限的，塑料棒也是不夠的，人也只有10根手指. 而通過“排列”“組合”的方式就可以快速解決數(shù)量大且復(fù)雜的計數(shù)問題. 簡潔的反義詞是煩瑣，如果說小學(xué)一年級學(xué)習(xí)的“一個一個地數(shù)”是煩瑣的，那么高中要掌握的“排列、組合”就是簡潔的. 一種數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)，能使復(fù)雜問題變得容易解決，這就是數(shù)學(xué)中形式簡潔、內(nèi)容深刻的簡潔美. 簡潔，始終是數(shù)學(xué)的一個重要標(biāo)簽，數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，使得人們的生活和學(xué)習(xí)越來越便捷.

新人教版高中數(shù)學(xué)教材中的章引言短小精悍，所提供的背景素材新穎，更貼合實際，是章節(jié)起始課的重要組成部分，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)新章節(jié)內(nèi)容. 在開啟新章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計中，首先教師要認(rèn)真閱讀章引言，思考章引言與章節(jié)知識的聯(lián)系;其次教師要把章引言中的一些文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言，為學(xué)生體會數(shù)學(xué)美做好鋪墊;最后教師要設(shè)計閱讀章引言的教學(xué)活動. 在章節(jié)起始課的教學(xué)中，可以給學(xué)生預(yù)留時間自行閱讀章引言，也可以把章引言內(nèi)容展現(xiàn)在多媒體屏幕上，帶領(lǐng)學(xué)生一起閱讀，引導(dǎo)學(xué)生提煉章引言的主要內(nèi)容，讓學(xué)生體會文字描述的數(shù)學(xué)美是怎樣的，進(jìn)而感受章引言中的數(shù)學(xué)美.

欣賞教材中的圖片，體會幾何展現(xiàn)的數(shù)學(xué)美

新人教版高中數(shù)學(xué)教材一改舊教材中圖片顏色單一的風(fēng)格，精選了許多具有吸引力的彩色圖片，例如一些圖片所展現(xiàn)的內(nèi)容與立體幾何關(guān)系密切. 立體幾何同平面幾何一樣，往往具有對稱性，偶有不規(guī)則性. 立體幾何的對稱性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，對稱美是數(shù)學(xué)中最普遍、最直觀的一種美. 因為對稱所以和諧. 對稱在代數(shù)里表現(xiàn)為數(shù)的正負(fù)、奇偶等數(shù)學(xué)概念、定理和運算規(guī)律，在幾何中則表現(xiàn)得更為直觀.

新人教B版高中數(shù)學(xué)教材必修第三冊封面上巨大的摩天輪，如果從二維視角來看，摩天輪是一個圓，而圓是生活中常見的一種圖形;如果從三維立體的角度來看，摩天輪座艙旋轉(zhuǎn)所形成的軌跡是一個圓柱，圓柱是高中立體幾何中重要的研究對象. 無論是圓還是圓柱，都具有對稱性. 摩天輪座艙離地面的距離隨時間的變化而變化，距離和時間之間的關(guān)系是用正弦函數(shù)來刻畫的，而正弦函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，展現(xiàn)著數(shù)學(xué)的對稱美.

新人教B版高中數(shù)學(xué)教材必修第四冊第十一章中的插圖和選擇性必修第一冊“空間向量與立體幾何”中的章頭圖展示的“水立方”是著名的長方體建筑. 隨著2022年冬奧會的到來，“水立方”搖身一變成了“冰立方”，這個結(jié)構(gòu)對稱的建筑再一次驚耀了全世界. 立體幾何所具有的“對稱美”同時也是一種“和諧美”. “天圓地方”是中國古人的一種哲學(xué)思想，是千百年來中華民族眼中的“和諧之美”. 《太玄·玄摛》中有這樣一段內(nèi)容：“圓則杌棿，方為吝嗇”，說的是天圓則產(chǎn)生運動變化，地方則收斂靜止. 這背后體現(xiàn)了重要的哲學(xué)思想：人類要追求發(fā)展，才能不斷進(jìn)步;人民希望有安逸穩(wěn)定的生活. 建筑是人為創(chuàng)造的，在創(chuàng)造過程中體現(xiàn)著人們的追求和希望. “水立方”正是秉持了這一設(shè)計理念，融合了中國的傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代科技，展現(xiàn)了中國人對美的理解. 欣賞“水立方”，感受中華民族對幾何體對稱美的創(chuàng)造.

幾何是數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容之一，也是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，但并不是教材中所有的圖片都與幾何密切相關(guān). 為了培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的能力，在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先教師要觀察教材中的圖片，并篩選其中容易引起學(xué)生對數(shù)學(xué)美進(jìn)行思考的圖片讓學(xué)生欣賞. 比如想讓學(xué)生感受幾何體所具有的對稱美，那么所選圖片中的幾何體對稱性要明顯容易觀察. 其次教師要在課堂中適時地展示教材中的圖片，不要為了讓學(xué)生欣賞而欣賞. 最后體會圖片中的數(shù)學(xué)美不是要求學(xué)生從美術(shù)學(xué)的專業(yè)角度去欣賞，而是要“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”.

觀察教材中的公式，品味邏輯中的數(shù)學(xué)美

新人教版高中數(shù)學(xué)教材同原版教材的內(nèi)容大致相同，略有刪減，所學(xué)數(shù)學(xué)知識仍涉及大量的數(shù)學(xué)公式.數(shù)學(xué)公式描述了物與物之間的聯(lián)系，簡潔明了的公式具有簡潔美，對稱有規(guī)律的公式具有對稱美、和諧美，而一些看起來比較復(fù)雜的公式也同樣具有數(shù)學(xué)美.

新人教B版高中數(shù)學(xué)教材必修第二冊第五章“統(tǒng)計與概率”中，為了研究兩個變量之間的關(guān)系，引入了回歸直線方程=x+，其中x的系數(shù)稱為回歸系數(shù)，即回歸直線方程的斜率，當(dāng)確定時，x和y之間的關(guān)系能夠通過方程來預(yù)測. 那么，是如何求得的呢？教材給出了求解公式：==. 這個公式看起來比較復(fù)雜，似乎沒有什么規(guī)律可言.但通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，該公式涉及多種運算——乘積、乘方、減法以及求和. 而為何能用這樣的計算公式求得呢？這背后涉及微積分知識和最小二乘估計方法. 像回歸系數(shù)這樣看似復(fù)雜的公式，其實涉及很深的數(shù)學(xué)知識，這種給人以新奇、出乎常識的感受也可以稱為一種美——一種具有奇異性的美[3].

新人教A版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第二冊第四章“數(shù)列”中的“閱讀與思考”和B版選擇性必修第三冊第五章“數(shù)列”中的例題2，都介紹了著名的斐波那契數(shù)列，這個800多年前的數(shù)列在今天看來仍充滿著神奇的韻味.A版和B版兩版新教材分別通過表格和文字的形式描述了斐波那契數(shù)列的推導(dǎo)過程，最后得到了這樣的通項公式：F=·

，當(dāng)n趨向于無窮大時，前一項與后一項的比值將無限逼近0.618，也就是“黃金分割比”. 因為斐波那契是用小兔子舉例的，所以數(shù)列的每一項都是整數(shù)，準(zhǔn)確地說是自然數(shù)，然而數(shù)列的通項公式中卻出現(xiàn)了無理數(shù)，這樣充滿震撼的結(jié)果展示了數(shù)學(xué)的奇異美，令人驚奇贊嘆！而前后項的比值更是以黃金分割比的結(jié)果出現(xiàn)，可以看見數(shù)學(xué)是多么的不可思議又是多么的千真萬確.

數(shù)學(xué)公式由不同的數(shù)學(xué)符號構(gòu)成，據(jù)不完全統(tǒng)計，高中階段涉及的數(shù)學(xué)符號有一百二十余個，無論數(shù)學(xué)公式涉及多少數(shù)學(xué)符號，數(shù)學(xué)公式的背后都是縝密的數(shù)學(xué)邏輯，都具有數(shù)學(xué)的邏輯美. 只有欣賞和理解數(shù)學(xué)公式的邏輯美，才能更好地記憶和運用數(shù)學(xué)公式. 然而數(shù)學(xué)公式的邏輯美并不容易被發(fā)現(xiàn)和感受，因此在實際教學(xué)中，教師要創(chuàng)造機會讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)公式的邏輯美. 當(dāng)教學(xué)內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)公式時，教師要盡可能多地帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)公式的來龍去脈，厘清數(shù)學(xué)公式間具有的邏輯關(guān)系，引導(dǎo)并鼓勵學(xué)生用美的眼光去觀察和賞析數(shù)學(xué)公式，比如觀察和賞析數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)公式的符號等，在過程中感受數(shù)學(xué)公式的邏輯美、簡潔美以及奇異美等.

結(jié)束語

數(shù)學(xué)美存在于生活的方方面面[4]，其所具有的育人價值有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，想在教學(xué)活動中讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美，最重要的參考材料就是數(shù)學(xué)教材. 新人教版高中數(shù)學(xué)教材所蘊含的數(shù)學(xué)美不局限于簡潔美、對稱美和奇異美，還有趣味美、創(chuàng)新美、統(tǒng)一美等，數(shù)學(xué)美也不僅存在于章引言、圖片和公式中，教材中的拓展材料、課后習(xí)題等其他部分同樣存在著數(shù)學(xué)美的影子. 在實際教學(xué)中，教師要有目的地挖掘新教材中的數(shù)學(xué)美，有意地為學(xué)生創(chuàng)造體會數(shù)學(xué)美的機會，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美.只有具備賞析數(shù)學(xué)美的能力，才能進(jìn)一步去創(chuàng)造數(shù)學(xué)美;只有喚起“愛美”之心，才能不斷追求事物美.

參考文獻(xiàn)：

[1] 李鳳芝.數(shù)學(xué)美的分類及其特征研究[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（01）：134.

[2] 陳梅紅. 挖掘教材潛力，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美[J]. 考試周刊，2011（69）：15-17.

[3] 代欽. 試論數(shù)學(xué)美及其教育價值[J]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)漢文版），1992（01）：20-26.

[4] 陳寬政. 淺析數(shù)學(xué)美在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（20）：56-57.