基于整體觀構建的探究發現式教學

[摘 ?要] 如何設計有效的教學情境和活動，使學生經歷數學知識發生、發展的過程，從而豐富數學活動經驗，提升數學能力，是一線教師進行教學設計的重要內容. 文章從數學文化視角，整體觀構建的方式，以“利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”為例，嘗試探究發現式教學.

[關鍵詞] 探究發現式教學;整體觀;數學文化

引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱《課程標準》）指出：“數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論. 數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容.”[1]如何設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學知識發生、發展的過程，從而豐富數學活動經驗，提升數學能力？如何將每堂課的知識置于整體知識體系中，注重知識的“生長點”與“延伸點”，注重知識的結構和體系，引導學生感受數學的整體性？筆者在2021年參加“浙江省高中數學教學活動”的比賽中，通過對“利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”這一內容備課、磨課、賽課，對探究發現式教學有了新的認識和體驗.

分析教學內容，解讀育人功能

“利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”是人教A版（2019年版）高中數學必修第一冊第五章第四節“三角函數的圖象與性質”中的“探究與發現”（P208—P209）的內容，前承正弦函數、余弦函數的性質，下啟正切函數的性質與圖象. 一方面，正弦函數、余弦函數與其他函數一致，按照“從函數的定義到畫函數的圖象，再到討論函數的性質，最后到函數模型的應用”的順序展開，學生對研究三角函數的性質有了一定的經驗積累. 教科書在后面一節“正切函數的性質與圖象”中一開始設置了兩個問題引導學生對函數性質的研究經驗進行概括和總結，并嘗試用不同的方法進行創造性實踐，歸納了兩種思路：一是先從三角函數的定義出發，借助單位圓得到函數的圖象，再利用圖象直觀研究函數的性質;二是從定義出發，先分析得到函數的部分性質，再結合定義和性質得到函數的圖象，從而獲得函數的其他性質. 了解這些思路，可以更有效地研究函數的圖象和性質，全面深入理解數形結合思想. 所以本節課內容在研究方法上有著承上啟下的作用.

另一方面，《課程標準》指出：“三角函數的教學，應發揮單位圓的作用，利用圓的幾何性質，借助單位圓的直觀，探索三角函數的有關性質.”[1]正弦函數、余弦函數是一對起源于圓周運動，密切配合的周期函數，其基本性質是圓的幾何性質（主要是對稱性）的直接反映[2]，教材中的任意角、任意角的三角函數、同角三角函數的關系式、誘導公式、三角函數的圖象、三角函數的性質等教學內容都可以用單位圓作為直觀工具. 本節課內容在引導學生自主利用單位圓這一工具探究三角函數的有關性質，提升發現問題、分析問題和解決問題的能力方面有著重要作用，也是讓學生學會利用數形結合法思考和解決問題的好機會.

探究教學以學生自主探索、動手實踐、合作交流的方式，把課堂知識的接受者轉變為主體學習者，搭建數學探究生本“舞臺”，從而實現以學生發展為本，每位學生在學習的過程中都有收獲，最終落實核心素養.

分析學情教情，制定教學策略

高一學生對圓的性質、相似三角形的有關知識、函數的性質的研究有一定的經驗和認知，然而前面學習的函數都有運算的背景，其解析式都有明確的運算含義. 正弦函數、余弦函數的對應關系則與眾不同，角是自變量，單位圓上的點的橫、縱坐標值分別是余弦函數值、正弦函數值，拉大了與學生已有經驗的距離. 究其本質，正弦函數、余弦函數的對應關系實際上是幾何元素間的對應關系. 教師要幫助學生突破對應關系這一認知難點，先要引領學生搞清楚正弦函數、余弦函數的三要素，明確給定一個角后該如何得到對應的函數值，再進一步探究其性質.

正弦函數、余弦函數的獨特性質就是周期性，它們也是研究一般周期運動的基礎模型. 本節課從生活中的周期運動變化現象開始，到數學家與天文學家為探索運動規律做出的努力，激勵學生跳出圖象的舒適區，“像歐拉一樣思考”，穿越時空與數學家對話，碰撞出思維的火花. 通過圓周運動到單位圓上點的旋轉運動的分析，使得研究對象簡單化、本質化，通過學生操作確認單位圓上點在旋轉中各變量間的關系獲得對應關系，突破難點，有助于學生理解和掌握知識.

本節課整個探究過程由整體觀引領，項目化推進，“問題串”聯動，采取基于情境、問題導向的探究發現式教學，激勵學生像數學家一樣思考，發揮學生的主體性、積極性，借助單位圓對稱的幾何直觀，幫助學生探索正弦函數、余弦函數的性質，建立學生對知識方法的整體觀，發展學生的直觀想象和邏輯推理素養.

整體建構知識，項目推進探究

1. 在運動變化中感悟周期運動

師：生活中許多運動變化呈現出循環往復、周而復始的規律，比如月相（展示月相變化視頻）以及由月地日三者運動造成的潮汐（展示潮汐變化視頻）.

學生發現雖然兩者都有循環往復的規律，可是周期卻不一樣.

教師展示數學史發展鏈條（如圖1所示），講述數學家、天文學家為量天測海、探索周期運動做出的努力.

師：我們在前面已經通過單位圓定義了三角函數，作出了正弦函數和余弦函數的圖象，并結合圖象研究過它們的性質. 今天我們在單位圓中反思正弦函數、余弦函數的性質，看看兩者有著如何緊密的聯系！

設計意圖 通過“月相”“潮汐”引出周期運動變化以及古人為研究做出的努力，一方面可以使學生感受豐富多彩的數學文化，激發數學學習興趣;另一方面也有助于學生理解三角函數的定義和思想方法，與數學家共鳴.

2. 在項目化研究中推進

以項目化學習的形式組織學生探究、分享. 在小組討論、生生交流、師生交流的過程中經歷火熱思考、大膽質疑，發現問題、提出問題、分析問題和解決問題;探究成果體現在學生對知識的理解上，即清楚地了解知識的來龍去脈，觸及數學本質，達到舉一反三的目的. 項目化學習單（以“項目1：正弦函數、余弦函數的定義域”為例）如圖2所示.

“利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”

——項目化學習單

項目1：正弦函數、余弦函數的定義域

問題1：“性質是什么？”——回顧性質;

問題2：“你是從單位圓的什么地方發現這一性質的？”——指向明確地促使學生認真審視手中的單位圓工具，在探究過程中感悟單位圓工具的強大性;

問題3：“前面所學的哪些知識反映了這一性質？”——梳理知識鏈條，建立學生知識方法的整體觀.

（1）項目1：正弦函數和余弦函數的定義域.

小組合作探究，匯報成果.

師：正弦函數、余弦函數的定義域是什么？

生1：定義域是R.

師：你是從單位圓的什么地方發現這一性質的？

生2：單位圓中的角，順時針旋轉為負角，逆時針旋轉為正角.

師：角是如何與實數對應起來的？

生3：弧度制.

設計意圖 讓學生發現單位圓中正弦函數、余弦函數的自變量——角的變化，逆時針旋轉為正角，順時針旋轉為負角，回顧任意角與弧度制的對應.

（2）項目2：正弦函數和余弦函數的最值.

小組合作探究，匯報成果.

師：正弦函數、余弦函數的最值是什么？

生4：最大值是1，最小值是-1.

師：你是從單位圓的什么地方發現這一性質的？

生5：角的終邊與單位圓交點的橫坐標為余弦函數值，縱坐標為正弦函數值，當角旋轉時，其變化范圍都是[-1，1].

師：那么正弦函數當角旋轉到什么位置時取到最大值？

生6：y軸正半軸.

類似完成最值成立條件.

設計意圖 讓學生回顧定義，發現單位圓中正弦函數、余弦函數的函數值隨角旋轉而變化.

（3）項目3：正弦函數和余弦函數的周期性.

小組合作探究，匯報成果.

師：正弦函數、余弦函數的最小正周期是什么？

生7：2π.

師：你是從單位圓的什么地方發現這一性質的？

生8：當角的終邊繞單位圓旋轉時，橫坐標呈現1→0→-1→0→1→…的變化規律，縱坐標呈現0→1→0→-1→0→…的變化規律，這一規律每轉一圈就重復出現，而角旋轉一圈即為2π.

師：研究其周期性對后續研究有什么好處？

生9：清楚一個周期上函數的性質，那么整個定義域上函數的性質就完全清楚了，因此可以化無限為有限，簡化研究.

師：正弦函數、余弦函數的周期性源于圓上點運動的周期性，圓是刻畫圓周運動的一個非常好的模型.

設計意圖 讓學生體會圓是刻畫圓周運動的完美模型.

（4）項目4：正弦函數和余弦函數的奇偶性.

小組合作探究，匯報成果.

師：正弦函數、余弦函數的奇偶性是什么？

生10：正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數.

師：你是從單位圓的什么地方發現這一性質的？

生11：角x和角-x的終邊關于u軸對稱，它們與單位圓交點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數，即cos（-x）=cosx，sin（-x）=-sinx.

師：研究其奇偶性對后續研究有什么好處？

生12：可以將有限的區間再減為原來的一半，進一步簡化研究.

師：這反映了前面所學的哪些知識？

生13：誘導公式.

師：誘導公式研究的是什么問題？

生14：研究的是當兩個角的終邊具有特殊的對稱關系時，正弦函數值和余弦函數值的關系.

延伸探究：在單位圓中探究正弦函數、余弦函數的對稱中心和對稱軸.

學生利用終邊關于u軸、v軸對稱的兩個角，操作演示正弦函數、余弦函數的對稱中心和對稱軸.

設計意圖 讓學生利用圓的對稱性研究正弦函數、余弦函數的對稱性.

（5）項目5：正弦函數和余弦函數的單調性.

小組合作探究，匯報成果.

師：你是從單位圓的什么地方發現正弦函數、余弦函數單調性的？

學生演示操作當角的終邊旋轉時，橫、縱坐標的變化情況，得出正弦函數、余弦函數的單調區間.

設計意圖 讓學生在變化中發現正弦函數、余弦函數的單調性.

3. 在整體觀下拓展

利用單位圓，我們還可以研究什么問題？

生15：在單位圓中研究正切函數.

生16：研究不等關系，比如解不等式sinx>cosx.

生17：研究y=sinx+cosx這種類似的正弦、余弦組合函數的奇偶性、最值、單調性.

教師組織學生就出現的問題做簡要的研究和討論. 總結之余，推廣到一般的周期模型（引出傅里葉級數），以及多項式擬合正弦、余弦函數（引出泰勒展開式），完成本節課整體知識結構框圖（見圖3）.

設計意圖 知識總結，學以致用.

4. 回顧小結中提升

師生就本節課的研究方法作總結（見圖4）.

教學過程反思，建立探究模式

章建躍先生在《從整體性上把握好數學內容》中指出：“把握好整體性，對內容的系統結構了如指掌，心中有一張‘聯絡圖，才能把準教學的大方向，使教學有的放矢. 也只有這樣，才能使學生學到結構化、聯系緊密、遷移能力強的知識. ”[3]本節課從學生的現有認知水平出發，在新知與舊知的銜接點和生長點，利用項目單設計的問題鏈，以小組討論活動為載體，幫助學生將復雜的探究活動拆分成更易操作的探究步驟，自然、高效地完成探究活動，發展學生的數學能力，建立學生的知識整體觀，真正做到眼里有學生，有利于落實學生的主體地位，有利于落實立德樹人根本任務.

在本節課中，學生通過活動參與，類比歸納，再現當年數學家的研究場景，“看”出來、“比劃”出來、“討論”出來重要的數學結論，這都是直觀想象素養和邏輯推理素養發展的地方. 雖然計算機軟件演示可能更直觀，但是親手操作卻讓人刻骨銘心[4][5]，適用性也更廣，這不僅為不同層次的學生提供了積累數學探究經驗和能力的平臺，也為學生持續學習和發展提供了可能.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 章建躍. 核心素養立意的高中數學課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學出版社，2021.

[3] 章建躍. 從整體性上把握好數學內容[J]. 中小學數學（高中版），2010（03）：50.

[4] 龐海燕. HPM視角下“解析幾何序言課”實踐與研究[J]. 數學教學通訊，2020（09）：9-12.

[5] 龐海燕，王芳，余慶純. 基于歷史名題的高中數學單元復習課教學——以“阿基米德三角形”引領的“圓錐曲線的方程”單元復習課為例[J].數學教學通訊，2022（04）：7-11.