基于核心素養的初中數學規則課教學設計的策略研究

李強 朱永燦

【摘? 要】? 培養學生數學核心素養的主陣地在課堂，對數學性質、定理、法則、公式等規則內容的教學，成為其重要載體.由此，對規則課進行有效設計，并構建適切性的教學設計策略顯得尤為必要.本文從梳理、理解規則內容入手，結合規則內容與核心素養指向，以規則內容的系統化問題提出情境創設和研究過程中任務活動設計2個方面為主要對象進行教學設計的研究，并提出基于理解的、指向數學核心素養的相應教學策略.

【關鍵詞】? 核心素養；規則課；課堂教學

素養是可學、可教和可測的，即可經由后天學習獲得的.同時數學核心素養不是獨立于知識、技能、思想、經驗之外的“神秘”概念，它綜合體現出對數學知識的理解、對數學技能方法的掌握、對數學思想的感悟以及對數學活動經驗的積累.基于此，我們認為：數學學科教學活動是數學核心素養培養的主要途徑.數學核心素養是在數學學習過程中逐步形成的，而學生數學學習的主要途徑是教師引導下的教學活動，尤其是數學課堂教學活動.數學知識內容的教學是數學核心素養培養的主要載體.數學學習就是數學知識內容的學習，數學知識內容主要是以概念、性質、定理、公式、法則等形式呈現，所以數學核心素養的培養，就是要通過平時的數學知識內容的有效教學來實現.根據數學知識內容的不同特點有效設計知識的學習過程是數學核心素養培養的落腳點.

1? 規則內容的梳理與呈現特點

1.1? 規則內容的梳理

數學知識中性質、定理、公式、法則等從教育心理學出發可以分類為規則，實施這些內容的教學可以稱之為規則課教學，所以規則內容的研究，是進一步對“教什么”的深度理解.我們需要探尋規則知識（性質、定理、法則、公式等）發生、發展規律和特點，從而優化規則課教學設計策略，努力建構起與數學規則課教學相匹配的數學核心素養培養指向.

分領域對初中教材中的主要規則內容進行了梳理，具體見下兩表格.

1.2? 規則內容的呈現特點

對于教材中規則內容的呈現，我們通過比較分析，發現存在一些特點：

（1）數與代數領域內中不論法則、公式還是性質，教材都先給出一些具體實例，然后通過觀察、分析、歸納、概括出相應的結論，最后進行應用；同時在規則內容的引入、規則內容的概括歸納過程相對進行了留白.這樣的呈現特點突顯了代數教歸納的設計意圖與教學要求.

（2）圖形與幾何領域中性質定理內容的呈現都遵循著幾何教學的一般方法與規律，即呈現“操作—猜想—驗證—證明—應用”的過程，體現了合情推理和演繹推理相結合的特點，同時注重同一研究方法在不同幾何圖形教學中的應用，即“一般觀念”的體現.而對于少許的公式教學，主要是強調公式推導和應用，突出邏輯推理.這樣的呈現特點突顯了幾何教類比的設計意圖和教學要求.

（3）所有規則內容的安排都是在明確研究對象之后呈現的，所以它的提出更能體現知識的整體性和聯系性，更能反映代數或幾何研究的路徑和一般方法，更能體現研究的“一般觀念”.

2? 規則內容的素養指向

雖然核心素養之間是一個有機整體，但我們認為不同規則內容的教學可以側重指向主要的數學核心素養.

（1）通過數與代數領域內的法則、性質、公式的良好教學，可以讓學生經歷規則的概括抽象過程；可以讓學生明白規則知識的來龍去脈和弄清與其他知識間的聯系；可以讓學生更好地明白算理和熟練地應用規則.所以這些規則的良好教學能發展學生的抽象能力、運算能力、建模觀念數據觀念等核心素養，尤其是抽象能力和運算能力核心素養.

（2）通過圖形與幾何領域內的性質、定理和公式的良好教學，可以幫助學生更好地掌握幾何研究的一般方法，掌握命題分析和證明的一般思路與步驟；可以幫助學生更好地建立起圖形、符號與文字之間的聯系，可以建立起圖形的幾何結構與結論的代數表達之間的聯系.所以這些規則的良好教學能發展學生的幾何直觀、空間觀念、推理能力和建模觀念等核心素養，尤其是推理能力和幾何直觀等核心素養.

3? 規則課教學設計的策略研究

從規則內容的系統化問題提出情境創設和過程研究中活動任務設計2個視角展開.

3.1? 系統化問題提出情境創設策略研究

3.1.1? 從代數研究的路徑方法視角，創設有效的問題提出情境

設計情境不是戴“帽子”.代數規則內容教學時應強調多從數學知識的內部聯系或遵循應有的研究“套路”出發創設情境，這樣更能體現邏輯性和整體性，更有數學味.

案例1? 七上 2.1 有理數的加法研究對象獲得設計

為了讓學生思考更自然，突出對數的研究的方法性和數的教學的一般性，我們創設了如下的情境：

前一章我們已經學習有理數相關概念及其分類，那么請同學們思考以下問題：

（1）小學里學過整數或分數以后，接下學習的是什么知識？由此你覺得學習數學主要是要學習什么？（運算）

（2）我們已經學習了有理數，那么你覺得接下去我們應該去研究有理數的什么內容？（有理數的運算）

（3）有理數的運算我們從最基本的加法開始，這里面你有熟悉或已經學過的知識嗎？（小學學過的數的加法就是兩個正有理數相加）

（4）為了研究的方便你會如何分類來研究？

從學習數學主要是要學習數的運算這一根本性的認識出發，回顧學生已有的數的加法運算就是兩個正有理數的加法運算，自然思考研究有理數加法先需要分類，即分為正+正，正+負，正+0，負+負，負+正，負+0.這樣從數學知識內部聯系創設的情境更有數學味，顯得更自然，更能激發學生的思考和求知欲.

案例2? 5.2? 等式的基本性質研究對象獲得設計

如何認識等式的基本性質？如何體現數、式與等式（方程）研究方法的一致性？我們創設如下情境：

（1）前面我們已經學習了有理數和代數式，請大家回憶一下有理數和代數式的學習路徑是怎樣的？（數或式的概念→性質（大小關系）→運算→應用）

（2）由研究整式的相等關系我們自然獲得了研究對象：等式（方程），由不等關系自然獲得了另一研究對象：不等式.那么方程（等式）的學習路徑應該是怎樣的呢？

（3）你覺得等式的性質指的是什么？（等式運算的不變性和規律性）我們容易知道等式具有自反性（a =b→b = a）和傳遞性（a = b，b = c→a = c），那么研究等式的性質就是要研究等式（a = b）在加減乘除乘方開方運算中保持的不變性或規律性.

在此情境中類比數與式的研究路徑自然提出等式的研究路徑，同時在指出性質的本質時明確了研究等式性質的路徑；而且也整體呈現了數、式、方程和不等式之間的內在聯系和相似研究路徑，系統建構了知識間的內在聯系.

3.1.2? 從幾何研究的路徑出發，創設有效的問題提出情境

依據幾何知識的內在聯系，或者合理運用“先行組織者”進行類比來創設有效的問題情境，是獲得幾何規則（定理與性質）研究對象的具體方法，這樣的情境更具“幾何味”.

案例3? 八上 1.5全等三角形④角平分線性質定理研究對象獲得設計

角平分線性質定理作為一個例題的結論提出顯然缺乏整體性，我們創設如下情境：

我們已經學習了線、角、相交線、平行線、三角形等幾何圖形，在獲得幾何圖形（概念、表示）之后，我們需要研究幾何圖形的性質，那么：

（1）什么是幾何圖形的性質？（幾何圖形在位置、大小、形狀上的不變性和規律性）

（2）角平分線的性質指的是什么？（結構上形成的角的大小關系；角平分線上的點具有的不變性）

（3）角是由兩條射線組成的，所以圖形結構是3條射線，所以就是要研究角平分線上的點和角的兩邊上的點之間的線段長（距離）之間的大小關系，請你畫畫圖形，你得出了什么結論？

從已有的幾何圖形研究經驗和一般觀念出發，通過類比和聯系，可以獲得角平分線性質的研究路徑和具體內容，然后進行具體研究，這樣的“套路”是對數學思想和方法的深度滲透，是真正落實用數學的方式育人.

案例4? 八上2.7探索勾股定理研究對象獲得設計

（1）直角三角形具有哪些性質？請從邊，角，特殊線段分別描述.

（2）已經學過的直角三角形判定方法有哪些？已有的判定與性質是什么關系？（互逆定理）

（3）那么從邊考慮勾股定理是否也存在逆定理呢？請你試著寫出勾股定理的逆命題，并畫出圖形寫出條件和結論.

幾何中性質和判定是兩個互逆的命題，是從正反兩個方面對幾何圖形的研究，本來具有一貫性.同時到這節課時應系統呈現對直角三角形判定的研究思路，所以這樣的設計不僅自然導入對勾股定理逆命題的探討，從而獲得研究對象，而且也培養了學生系統思維的方法.

總之，代數與幾何規則內容的情境教學設計，均強調從代數或幾何研究的相應路徑出發，突出數學的內部聯系，讓學習問題的提出自然而富有知識的邏輯性（即知識的產生更自然而富有邏輯），從而使得問題的研究更有系統性和數學味.

3.2? 研究過程中任務活動設計策略研究

3.2.1? 以問題串為引領，凸顯觀察、分析、歸納、概括等數學思維活動

教學過程中教師最大的作用是引導啟發，而推動引導啟發必須依靠任務問題，所以問題串的設計是促進學生深刻理解數學知識的關鍵手段，是促進學生觀察、分析、概括、抽象等數學思維活動有效發生的載體.促進數學規則內容的真正理解，才能真正發展運算能力等核心素養.

案例5? 七上5.2等式的基本性質探究過程設計

從運算的角度和幾種運算之間的關系思考：

（1）思考加法運算，對于等式a = b，那么a = b +1成立嗎？a +1= b +1呢？a +1= b + 2呢？a + 2= b + 2呢？a + c = b + c呢？由此你得到了什么發現或結論？請你用文字語言表達你的發現嗎？用數學符號怎么表示？

（2）減法是加法的逆運算，根據加法運算，你會得到怎樣的結論？你能概括加法和減法運算的結論嗎？

（3）乘法是特殊的加法運算，你能在加法運算的基礎上進行推導嗎？

（a = b，a + a =b + a = b + b，2a = 2b；2a + a = 2b + a = 2b + b，3a = 3b，---，） 你能用文字語言或數學符號表達你的發現嗎？

（4）除法運算怎么研究？請概括乘法和除法運算的結論．

（5）加減乘除是基礎運算，那么對于等式a = b，如何進行乘方和開方（開平方）運算，你能提出怎樣的結論？

從運算的角度去理解等式的基本性質是對其本質的正確認識.從數到字母到規律地探索，通過代數推理，學生推理能力和抽象能力等核心素養得到了培養.

3.2.2? 以任務串為核心，實現獨學、合學與展學的有機結合

教學中，要堅持學生的獨立思考和小組合作學習相結合，通過生生合作、師生合作交流碰撞，讓學生有機會認真想、大膽說、充分討論，以達到對數學知識的深度理解.

案例6? 八上5.4一次函數性質探究設計

對于性質的歸納可以設計如下活動：

（1）請以同桌同學為一小組，任意選取一對k、b的取值，然后畫出一次函數y = kx + b的圖象.

（2）選定自變量x的具體取值x1、x2，請你計算對應的函數值y1、y2的大小；同時觀察對應的點（x1 ，y1），（x2 ，y2）在圖象的位置，思考函數值的大小與自變量大小的對應關系？你覺得這樣的大小對應關系與哪個量有關？

（3）請你與前后小組同學的具體一次函數對照，她們是否具有你們觀察到的性質？如果一樣，你覺得原因在哪里？如果不一樣，你覺得是什么原因造成的？

（4）以大組為單位，展示你們的發現.請歸納函數的增減性與系數k的關系并用文字語言描述.

上述教學設計以小組舉例畫圖象具體展開，到大組展示，學生觀察到的圖象具體而豐富，為學生歸納一次函數的增減性提供了豐富的素材.同時通過問題引領，從小組畫圖的自我認識到大組本質問題的分析，從代數的計算認識到圖象的直觀感知，讓增減性的分析得出、抽象概括顯得規律自然，讓學生對增減性的理解更加深刻，學生的核心素養得到了有效提升.

3.2.3? 以邏輯鏈為核心，呈現“操作-猜想-驗證-證明”的幾何研究過程

呈現幾何定理性質的研究過程，不僅能幫助學生厘清定理性質的來龍去脈，識別圖形的結構特征，提高圖形的直觀想象能力，進一步能理解定理性質的本質內容，提升學生的合情推理和邏輯推理能力，增強分析問題和解決問題的能力.

案例7? 九上3.5圓周角定理的探索過程設計

（1）我們已經知道什么是圓周角，那接下去應該研究圓周角的什么內容呢（性質）？性質就是大小關系，就是角的度數，那么圓周角的大小可能與哪個量有關？

（2）給出如圖6圖形，請你畫出所對的圓周角.

（3）思考：你畫出的圓周角在位置上與你的同學有無區別？區別在哪？不同位置下畫出的圓周角的度數是否相同？你是如何判斷的？相同位置下畫出的圓周角度是否相同？你覺得原因是什么？

（4）根據剛才的討論，那么弧的度數與所對圓周角的度數在數量上可能有何關系？你會如何判斷？既然弧的度數不可測量，那么你會轉化為哪個可測量（圓心角）？

（5）同弧所對的圓心角和圓周角有何數量關系？你如何判斷？再請你結合老師給出的幾何畫板，請你演示驗證.你能驗證在不同位置下的圓周角是否也有這個結論嗎？

（6）如何證明這個結論呢？根據討論，同弧所對的圓周角有3種不同的位置情況，你覺得這3種情況都要證明嗎？從哪種開始比較好？為什么？

（7）先請同學試著尋找思路.啟發：觀察圓心角和圓周角的位置特征，它們之間的內在關聯處在哪里？最后我們一起來交流并完成證明.

從圓周角度數的決定因素（弧）出發，通過學生嘗試自己畫圖（體現幾何直觀），比較不同位置下的圓周角，經過測量把無限問題轉化為有限的3個不同位置的問題；同時通過把不可測量轉化為可測量，研究對象轉化為同弧所對的圓周角與圓心角之間的大小關系.最后經過測量、猜想結論、證明結論完成對圓周角結論的探索.這樣的設計線索清晰、問題提出與轉化自然、思想方法滲透自然，學生思維得到有效訓練與提升.

3.2.4? 以多元表征為切口，揭示幾何圖形結構與代數結論聯系

數學多元表征，就是將同一數學學習對象用敘述性（言語化表征）和描繪性（視覺化表征）兩種本質不同的多形式表征.幾何定理性質的教學，要突出強調用文字語言、符號語言和圖形語言3種不同的方式對定理性質的表達就是對性質定理的多元表征，而其中的符號語言和圖形語言就是用“數”和“形”兩個不同的角度對定理性質的視覺化表征.教學過程中，要強調用“數”和“形”來揭示條件和結論之間的內在聯系，來揭示基本圖形結構和變式結構與代數結論之間的對應聯系.只有如此才能在復雜的圖形中分解出蘊含定理性質的基本圖形結構，從而找到所需要的代數結論.

案例8  定理性質的多元表征舉例

案例9? 圖形結構與代數結論聯系揭示與應用舉例

如圖8，已知△ABC中，AB＝AC=2，銳角∠BAC＝，AD⊥BC于點D．在AD上取一點E，

使得AE＝BC，連結CE并延長交AB于點F．設AF＝x，tan∠BAD＝y，則y關于x的關系式為? ? ? ．

把復雜的圖形結構通過問題分析逐步分離為基本圖形結構從而運用其中的代數結論進行轉化，這樣的前提是要對定理性質的多元表征策略教學到位.

4? 結語

總之，數與代數和圖形與幾何領域內規則內容的探究過程應該是也必須是一個讓學生真正經歷知識形成的過程.數學規則內容的教學設計，要在問題導向或任務驅動下以不同的學習路徑表現為線索，遵循問題研究的“一般觀念”，凸顯知識的整體性和聯系性，讓學生真正經歷觀察、操作、分析、歸納、類比、推理、抽象等數學思維活動，厘清規則的來龍去脈，理解其本質，從而獲得相應的學科核心素養.

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