動態的眼光·美學的體驗

陳元云 邢成云

【摘要】數學中的很多知識、方法能實現科學與藝術的融合統一，數學追求美也創造美.本文以人教版《三角形的高、中線、角平分線》教學為例提出“用動態之眼光，享美學之體驗”的課堂創新策略，引導教師將靜態教材變為動態學材，幫助學生研究動點問題，形成一般觀念，積累數學學習經驗，提高核心素養，實現數學學科育人的根本任務.

【關鍵詞】動靜結合；觸類旁通；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022版）》（以下簡稱《2022版課標》）在課程性質部分指出“數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分”[1].伽利略稱數學為“書寫宇宙的語言”，亞里士多德則認為“數學能促進人們對美的特性——數值、比例、秩序等的認識”.這些都道出了數學作為基礎自然學科的美學價值.

三角形作為最簡單的封閉幾何圖形，它具有“統領全局”的研究價值，因為它是后續學習其他封閉幾何圖形的直接基礎，“文[2]”對其已經進行了詮釋.本節課順承文[2]，是教育部全國“雙名”領航工程邢成云名師工作室提出的大單元主題教學“1＋n”（“1”指章起始課，即上面提到的文1）中n的第一節課，是立足起始對三角形的“三線”進行的“深度探研”課.三角形的邊、角與三角形的“三線”共同構成了三角形的基本要素與相關要素，通過對三角形基本要素與相關要素的一般化、特殊化研究，便形成了幾何圖形的一般觀念.本文擬從動態觀念出發，由“一般——特殊”探討并研究三角形的“三線”，其中數量關系與位置關系的一致性、對應性，數形結合、動靜結合、特珠一般、具象與抽象等對立統一，無不體現出數學的內在魅力與辯證之美.

1背景分析

《2022年版課標》課程目標部分指出：“通過數學的眼光，能夠抽象出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構[1]5”，這是當前數學教育背景下對學生核心素養提出的要求之一.這就呼吁一線教師要改變原來傳統落后的教學理念與教學方式.而現實中以“育知”為主的教學理念，以“碎片化”為主的教學形式還沒有得到很好的扭轉.諸如對數學的一般觀念、數學之美、動態觀念等認識仍不足，很多教師忽視或漠視了這一點，面對可利用的教材資源，不能很好地挖掘，致使課程本身的價值難以實現；課堂教學仍停留在點對點的傳授知識或就題講題、以題練題的低淺層面，這些都應然是教師教學設計和踐行課堂教學時需要規避和調適的.

2教材分析

文1（起始課）中，由線段的中點、角的平分線、三角形的面積這三個核心問題，初步形成了對三角形“三線”的認知.這種初步認知只是建立在原有知識基礎上的一些膚淺認識，因此本節課是在順承起始課（文1）的基礎上，對三角形的“三線”從數學內部邏輯角度進行的分析與探究.同時，在理解“三線”的基礎上，適時補充三角形的“內心、重心、垂心”的概念，幫助學生形成三角形較完整的認知體系，為后續學習引好方向，埋下種子，打牢基礎，做好鋪墊.

3教學設計

3.1創境引悱，孕育問題

問題1：如圖1，點D在線段AB上由點A→點B運動，此過程中，AD與BD的關系如何變化？

預設1：不管點D怎樣運動，永遠有AD＋BD＝AB.

預設2：點D在運動過程中，AD在變大，BD隨之減小，若設AD－BD＝x，x的值由負數→0→正數.

追問：你感覺在這個變化過程中值得研究的是點D運動到什么位置時？

預設：點D為線段AB的中點時最特殊，此時x＝0，也就是AD－BD＝0.

追問：除以上最特殊的情況外，還有其它特殊情況嗎？

預設：點D可以運動成為線段AB的三等分點或四等分點或……n等分點時，雖然x的值不特殊，但點D的位置都很特殊，會產生AD∶BD＝1∶2或1∶3或……1∶（n－1）等固定比.

追問：受前面問題啟發，如圖2，射線OD在∠AOB的內部旋轉時，你能提出什么問題？

師生談話，類比得出射線OD的特殊位置與相應的結論.

設計意圖問題1旨在喚醒學生對線段中點、三等分點、n等分點的認識，用動點運動的形式激活思維，幫助學生認識n等分點的數學本質，從數學思維的角度學數學、用數學.最后的追問是對問題1的類比遷移，學生在思考過程中不僅加深了對知識的理解，更重要的是學會遷移與運用，滲透了策略性知識的學習.同時，通過幾何量的大小比較發現0對應著幾何圖形的特殊狀態，達成數量關系與位置關系的和諧統一，數形結合中透出數學的統一美.

3.2設疑猜想，形成模型

問題2：如圖3所示，在△ABC中，點D是邊AB上的一個動點，連接CD，△ABC中產生了哪些新的圖形？點D在由點A→點B運動的過程中，這些新圖形之間又會產生什么新關系？

預設1：產生了新的線段、新的角、新的三角形.比如：AD、BD，∠ADC、∠BDC，∠ACD、∠BCD，△ADC，△DBC.

預設2：點D在由點A→點B的運動過程中，AD與BD，∠ADC與∠BDC，∠ACD與∠BCD的差可能為負、可能為0、也可能為正，也就是它們之間的關系不確定.

追問：你認為這些關系中，哪種關系最特殊？

預設：當AD＝BD，∠ADC＝∠BDC，∠ACD＝∠BCD時是最特殊的.

師生談話：當點D在AB上運動時，上面每兩個量的差是變化的，這個變化過程是連續的，并且差的值分別由正值變為負值或者由負值變為正值.這其中包含了值為0的特殊情況.

設計意圖問題2由問題1類比而來，學生發現其中的關系是自然的，借助點D的運動，讓學生尋找三角形中產生的新圖形，利用新圖形之間的量差尋找運動過程中的特殊情況，從“數”的角度認識三角形的“三線”，同時為從“形”的角度認識三角形的“三線”做鋪墊.這種體驗是幫助學生經歷動態的審美過程，加深對靜態教材的理解，在這種具體的數學邏輯思考與數學探究活動的過程中，讓學生對數學美有感受、有感悟，最終將數學美進行拓展并再創造.

3.3合作探究，得出模型

問題3：圖4中，當AD＝BD，∠ADC＝∠BDC，∠ACD＝∠BCD時點D是最特殊的，每種情況下，特殊的線段CD分別稱之為什么？

預設：當AD＝BD時，此時線段CD叫△ABC的邊AB上的中線；當∠ADC＝∠BDC時，此時線段CD叫△ABC的邊AB上的高線；當∠ACD＝∠BCD時，此時的線段CD叫△ABC的角平分線.

追問：當△ABC的形狀發生改變時，上面點D的特殊情況都存在嗎？

先請同學們獨立思考，再小組合作，借畫圖進行驗證，教師結合學生情況用幾何畫板動畫演示.

預設：當△ABC的形狀發生改變時，∠ADC與∠BDC的差為0這種情況可能不存在.其他的兩種特殊情況都存在.

追問；如圖5所示，當∠B＞90°（△ABC為鈍角三角形）時，

此時∠ADC與∠BDC的差確定嗎？

預設：∠ADC與∠BDC的差一定為正數，不可能為負數和0.

追問：此時，△ABC的邊AB上的高線不存在了嗎？

預設：應該存在，三角形的每條邊都有高，不可能不存在.

追問：此時邊AB上的高線如何做出？

預設：當點D滿足∠ADC與∠BDC的差為0時，此時的點D在線段AB的延長線上.如圖6所示，過點C向AB的延長線做垂線（CD⊥AB）.

追問：△ABC的邊AB上的高線在三角形的外部，鈍角三角形的高都在三角形的外部嗎？

教師根據學生回答配以幾何畫板動畫演示.

設計意圖準確畫出鈍角三角形的高線是本節課的難點，也是很多教師易忽略的，問題3借助開放變式，幫助學生在理解數學本質的同時，無形中也解決了難點.幾何畫板的動畫演示，加深了學生對三角形高線的認知，自此，他們的感知也由感性上升到理性.

3.4再次探究，拓展模型

問題4：三角形的“三線”是動點運動中的特殊情況，大家想過這三條線又會出現什么特殊情況嗎？

預設：三條線中的兩條可能重合，比如角的平分線與中線可能重合，…….

追問：這三條線可能重合嗎？也就是滿足上面特殊情況的點D會不會成為同一個點？

學生此時會產生困惑，教師可借助幾何畫板的動畫演示，讓學生觀察，不斷改變三角形的形狀，當三角形→等邊三角形時，三角形的三線重合，也就是滿足所有特殊情況的點D成為同一個點.

問題5：請大家分組畫出不同形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）的三角形所有的“三線”（1-2組畫不同形狀三角形的中線，3-4組畫不同形狀三角形的角平分線，5-6組畫不同形狀三角形的高線），看看有沒有新發現？

預設：不管三角形的形狀如何，同一三角形的三條線一定相交于同一個點.

追問：“三線”雖然不同，但它們各自的三條線分別交于同一個點，這樣形成了三個點，那這三個點的意義相同嗎？我們可以借助什么區分這三個點？

預設：因為這三點是不同三線的交點，因此可以給它們不同的命名.

師生談話：大家想法很好，三條中線的交點稱之為重心，三條高線的交點稱之為垂心，三條角平分線的交點稱之為內心.

追問：這“三心”既然是特殊情況下產生的，大家猜想一下，這“三心”是否具備特有性質？你還能提出什么新的問題？

預設：對“三心”的性質學生可能會有阻力，但學生可能會提到，三線在特殊情況下會重合，那三角形的“三心”會不會重合？

設計意圖此環節是對三角形“三線”的拓展與延伸，把“三線’推向對應的“三心”，提升對“三線”的認識，尤其是“三線”是否重合、“三心”的得出、“三心”的性質，這些均是順承一步一步探索而獲得的，是幾何直觀發揮作用的結果，不深入探究而點到為止，目的只是為后續學習埋下“種子”，幫助學生初步建構三角形這一基本圖形的認知體系，便于加深他們對三角形的整體認識而已.

3.5反思評價，總結模型

問題5：請大家結合“三線”的學習過程，談一下收獲？

引導學生從“如何得出三線，如何對三線進行研究，如何拓展”三個方面進行總結.幫助學生完成本節課的知識結構圖.

3.6解決問題，運用模型

結合教材習題11.1的第4題、第8題、第9題，對接本節課所學，試試能提出哪些問題？

設計意圖聚焦三角形“三線”知識點，借助開放變式，在鞏固新知的同時，加深學生對“四基”的理解.特別說明：若這一環節課堂完成不力或不能完成，可作為課后作業處理.

4教學立意的進一步闡釋

4.1“動靜”結合，觸類旁通

因本節課是人教版八年級上冊的內容，與學習線段、角的內容時間跨越了一個多學期，故在此通過兩個問題喚醒學生對這一研究方法的認識.掌該該方法，對從運動變化的角度理解三角形的“三線”有很大的指導意義.同時，學生學會了這種思考問題的方法，形成了這樣的一般觀念，對后續學習四邊形、圓等圖形都會產生遷移力，此即為“觸類旁通”的意義所在.

4.2以靜制動，“魚漁”共贏

從知識層面，本節課主要學習了三角形的“三線”；從方法層面，本節課主要引導學生從“運動變化”角度理解三線的概念，學會“動點運動”問題的解決方法，可以說，這種思考問題的方法在數學教學中比概念的獲得更重要.為此，本節課提出“動靜結合，觸類旁通”的課堂教學策略，旨在幫助學生形成此類問題的一般觀念：以靜制動，動靜互助，幫助學生積累數學的學習經驗與思維方法.

4.3以美啟真，文理相融.

本節課自始至終可以稱之為一次感知、體驗數學美的學習旅程.其一，統一之美（和諧美）.統一性反映的是審美對象在形式或內容上的某種共同性、關聯性或一致性，數學對象的統一性通常表現為數學概念、規律、方法的統一.其二，整體之美.首先是本節課的整體定位，即用整體觀念、整體教學法組織整節課的教學，從完善的角度進一步研究三角形的性質，除了三角形的邊、角等本體元素外，還有緊密相關的其它元素——三線，尤其是線段中點與中線的關聯、角的平分線與三角形角平分線的關聯、垂直與三角形高線的關聯等，這些都彰顯出前后知識的結構性、聯系性、發展性；其次，本節課不是著眼于研究“三線”各自的一條，而是窮盡所有去探索，從而出現了三角形著名的“三心”.其三，辨證之美.縱觀整個設計，動與靜、一般與特殊、數與形、具象與抽象、道法與術器等展露出的辯證之美，讓數學教學有了哲學的味道.整個設計“潤物無聲”地體現了數學特有的“真、善、美”，知識、能力、素養融為一體，讓數學教學有了高度.

【基金項目：山東省教育教學研究重點課題“基于初中數學課程整合的單元教學案例研究”（項目編號：2020JXZ026）的階段性研究成果.】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：1.

[2]邢成云.順承已有知識，厘定研究路徑[J].教育研究與評論（中學教育教學），2022（7）：53-58.