舌尖上的數學

蔡靜

［摘 要］“雙減”背景下，立足作業，深化教學改革，培育學生的思維能力和創新能力一直是教師關注的重點。數學說題作業能展示學生“原生態”思維過程，鍛煉學生數學表達能力，提高學生數學思維品質，是十分有意義的非書面作業類型。教師設計說題作業時要精心選題、充分示范、有效反饋、鼓勵評價，使作業真正為教學服務，從而促進學生知識、能力和綜合素養的發展。

［關鍵詞］說題作業；思維過程；表達能力

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）08-0031-04

一、什么是數學說題

數學說題，即學生用自己的語言將解題過程進行形象表征，不但要說清楚如何做，還要說明白為什么這樣做。語言是思維的外衣，要想把一道數學題的解題過程說清楚不是一件簡單的事情，需要學生認真仔細地審題后，經過完整充分的思考過程，最終將題意、解題過程和結果說清楚。對于要求更高的說題，學生還要說清楚思考問題的方法，問題的拓展和延伸，解題后的反思感悟，等等。

二、“雙減”背景下設計數學說題作業的意義

說題作業與傳統紙質作業的最大區別在于，它改變了作業“寫”的樣貌。長期以來，數學作業的類型通常是各種枯燥重復的計算題。“雙減”就是要減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔，特別是在作業總量和時長上明確規定：小學一、二年級不布置家庭書面作業，可在校內適當安排鞏固練習；小學三至六年級書面作業平均完成時間不超過60分鐘。作業時間的大幅度減少，對教師布置書面作業的質與量提出了更高要求。在規定的書面作業時間里，教師需要設計滿足不同水平學生發展需要的梯度作業，確保教學質量。在規定的書面作業時間外，教師就需要思考：除了傳統的紙質作業，還可以設計怎樣有意義的非書面數學作業？在這樣的背景下，數學說題作業脫穎而出。

1.展示學生“原生態”思維過程

說題實際上就是將學生自己的看法、理解、解法展示給教師、家長和其他同學。與他人分享是在傳統的紙質作業中比較難呈現的，因為紙質作業更多呈現的是計算過程，而學生的思維過程卻是看不見的。說題作業這種主動的學習方式恰好能彌補紙質作業的不足，使學生思維中存在的邏輯錯誤、知識偏差等問題暴露出來，以便教師及時糾正。通過“說”這種“原生態”的呈現，教師關注到學生思維上的漏洞，真正走進學生內心，優化學生的思維品質。

2.鍛煉學生數學表達能力

在實際教學中，有部分學生雖然會做題，卻說不出或說不清為什么這樣做。究其原因，主要是他們的語言表達能力較弱。語言是思維的外衣，人們思維的結果、認知活動等都需要通過語言表達出來。課堂上舉手發言是鍛煉數學語言表達能力的好機會，但課堂時間有限，加之部分學生膽小害羞、害怕說錯，常常錯失了發言的機會。說題作業就是課后鍛煉學生數學表達能力的好平臺，通過說題，學生能很好地彌補數學語言表達短板，從而不僅會做題，而且能清晰地表達做題思路。

3.提高學生數學思維品質

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，要使學生形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，培養科學態度與理性精神。說題作業能充分發揮學生的主觀能動性，培養學生獨立思考的能力，讓學生在嚴密的思維過程中形成自主思考的優良品質和習慣。比如，對于同一道數學題，不同學生說題的角度、思考方向可能不同，這將促使學生從不同的角度去思考問題，從不同的方向去尋找解題的策略，從而拓展學生思維的廣度和深度，整體提升學生的思維品質。

三、教師設計說題作業的注意事項

1.教師要精心選題

“雙減”背景下，提質增效是作業設計的根本原則，如何做到“少而精”，如何體現“能力為重、素養為本”，是教師選題時需要權衡考量的。因此，要想說題作業達到預期的效果，教師就要精心選題。

（1）選擇有代表性的題目。每天布置的說題作業的量不宜多，1道或1組（2或3道）題為宜，且應該選擇具有代表性的題目。例如，教學蘇教版教材五年級下冊“分數的意義和性質”后，教師可設計如下說題作業。

學校購買了3袋糖果，每袋2千克，將糖果平均分給五年級四個班，每班分得（? ?），每班分得（? ?）袋，是（? ?）千克。

“分數后帶單位表示具體數量，不帶單位表示總數的一部分”是本單元的重點，更是學生理解的難點。這道題就很具有代表性，前兩個空填分數，分別表示總數的一部分和具體數量，第三空可以填分數也可以填小數，表示具體數量。選擇這樣的題目讓學生進行說題，教師就可以深入地了解學生的知識掌握情況，從而及時進行指導和糾正。

（2）選擇錯誤率較高的題目。教學中常常出現學生面對多次講解的錯題再做一遍還是會錯的現象，教師常將此歸結為學生沒有認真聽講。究其原因是學生自身的知識結構有漏洞，沒有真正掌握相關知識。但要“化錯”，不僅需要教師的耐心講解，還需要學生親身經歷修復思維漏洞的過程，最終認識錯誤并修正錯誤。這樣來看，選擇錯誤率較高的題目來進行說題是十分有必要的。例如，教學蘇教版教材四年級下冊“認識平行四邊形”后，教師可設計如下說題作業。

平行四邊形兩條相鄰的邊分別是10厘米和6厘米，已知高是8厘米，則這個平行四邊形的面積是（? ? ?）平方厘米。

教師在課堂上已經多次強調平行四邊形有兩組底和高，因此，給定高時，學生需要判斷究竟是哪一組底邊上的高。由于這道題還涉及三角形的三邊關系，具有一定的復雜性，因此選擇這道題作為說題作業，可以讓學生親身經歷思考復雜問題的過程，厘清思維難點，突破思維誤區，真正理解平行四邊形的高與邊的長度之間的關系。

（3）選擇有層次性的題目。數學說題作業要有層次性，難度上由易到難，數量上由一到多，知識上由點到面，內容上由課內到課外，廣度上由封閉到開放。例如，教學蘇教版教材一年級下冊“元、角、分”后，教師可設計如下說題作業。

明明有10張1角、5張2角和1張5角的人民幣，他可以怎樣付8角錢？

第一關：請你說出一種付8角錢的方法。

第二關：說出至少三種付8角錢的方法，相信你可以的！

第三關：請你用按順序思考的方法，把付錢的所有可能方法都說出來，沖刺一下吧！

以闖關的形式設計說題作業，且一關比一關更具有挑戰性，能激發學生求新求趣的欲望，也符合課程標準的要求——使不同的人在數學上得到不同的發展。

（4）選擇題組。平時的課堂教學比較注重單個知識點的講解，教師在選擇說題的題目時要注意知識點之間的前后聯系，讓學生對數學知識在縱向上有更深刻的認識與理解。教師可以利用題組適時將零散的知識點串聯起來，在題與題的對比中突出系統性。例如，教學蘇教版教材六年級下冊“圓柱和圓錐”后，筆者根據課堂反饋情況設計了如下說題作業題組。

①一個體積為60立方厘米的圓柱，削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方厘米？

②一個圓柱和一個圓錐的底面積和體積分別相等，已知圓柱高6厘米，那么圓錐的高是多少厘米？

③一個棱長6分米的正方體容器裝滿水后，倒入一個底面積是12平方分米的圓錐形容器里正好裝滿，這個圓錐形容器的高是多少分米？

題組中，題①考查的是學生對等底等高的圓柱和圓錐之間的體積關系是否掌握，題②是題①的變型，考查學生是否理解等體積等底面積時圓柱和圓錐高的關系，題③是聯系六年級上冊已學的正方體體積相關知識，抓住“體積不變”這一核心，本質為“已知圓錐體積和底面積，求高”的問題。題組說題不僅考查了學生對本單元知識的掌握程度，還縱向串聯了其他知識，有利于學生整體把握數學知識，形成立體的知識結構。

（5）選擇有拓展性的題目。在紙質作業中，學生已經進行了一定量的課內知識鞏固。因此，在說題作業時，教師可以選擇一些拓展性的題目，拓寬學生的思維。例如，教學五年級下冊“3的倍數的特征”后，教師可布置如下說題作業。

你能結合課堂上探索3的倍數的特征的過程，獨立探索9的倍數的特征嗎？9的倍數的特征與3的倍數的特征有什么關系？

3的倍數的特征是學生必須掌握的基礎知識，利用百數表圈畫列舉、猜想、驗證是基本技能。說題作業研究的是9的倍數的特征，方法與探索3的倍數的特征有共通之處，再通過第二問建立3和9的倍數的特征的聯系，這樣就自然將學生的思維由課內拓展到課外，豐富了學生的知識面。

（6）選擇解題方法多樣的題目。數學說題作業作為課后作業的有益補充，要充分發揮學生的主觀能動性，盡可能拓寬思路，發散他們的思維。對于一題多解的問題，教師應鼓勵學生進行不同的嘗試和創新，提高思維能力和創新能力。例如，六年級上冊期末復習時，教師可設計如下說題作業。

學校宣傳小組共有學生60人，其中女生人數是男生人數的[57]，求宣傳小組中女生有多少人。

六年級上冊中學生學習了分數乘法、分數除法、比等知識，這道題正好可以從分數關系、和倍問題、按比例分配、解方程等多個角度解決。學生完成一題多解的說題作業，感受解決問題方法的多樣性和各種解法之間的聯系。

2.教師要充分示范

根據波利亞在《怎樣解題》中的提法，數學題目的解決過程可以分為四步：弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧。要想學生說好題，教師的親身示范很重要。在課堂教學中，教師可以參考波利亞解題步驟示范說題，比如講清題意、思考過程、解決方法、聯系區別、反思感悟等。

例如，“移多補少”是一種數學思想方法，涉及這一知識點的題目出現頻率高、錯誤率也高。詢問原因，學生反饋一是分不清類型，二是思考不得其法。教師要想讓學生說好這類題型，就需要親身示范。下面以“哥哥有7塊糖，給弟弟2塊后，兩人的糖的塊數一樣多，弟弟原來有幾塊糖？”為例，展示說題的一般步驟（見表1）。

“哥哥有7塊糖”用7個圓圈表示，“給弟弟2塊”就把哥哥的2塊移到弟弟這邊，這時哥哥和弟弟的糖的塊數一樣多，用虛線隔開，表示一樣多。那么弟弟原來有幾塊糖就是小方框里的數量，能看出是幾塊嗎？對，是3塊糖 解決方法 剛才我們用畫圖的方式直觀分析題意，那如何用算式來求解呢？

根據示意圖，能列出算式：7-2=5（塊），5-2=3（塊）。還有其他方法嗎？

是的，移動數是2，那么哥哥和弟弟的相差數就是2+2=4（塊），這個4塊表示哥哥原來比弟弟多4塊，再用7-4=3（塊）。因此，還可以利用相差數與移動數之間的關系來解題 聯系區別 嘗試解決以下問題。

挑戰1：哥哥有16塊糖，給弟弟6塊后，兩人的糖的塊數一樣多。弟弟原來有幾塊糖？

挑戰2：哥哥有16塊糖，給弟弟5塊后，還比弟弟多2塊糖。弟弟原來有幾塊糖？

挑戰1和原題是同一類型，分得的結果是“一樣多”；挑戰2與原題的區別是分得的結果不是“一樣多”，但這兩題都可以通過畫圖直觀分析題意 反思感悟 解決“移多補少”一類的問題，可以通過畫圖分析題意，這樣清楚直觀，具有優勢 ]

3.教師要有效反饋

數學作業與課堂教學之間不應是割裂的，而應建立起協同教學的關系，使其成為課堂教學的有益補充。對于數學說題作業，教師要做到有效反饋，最有效的方式是課堂反饋。課堂上，教師要給予學生自主說題、同桌互相說題等各種形式的練習機會，并適時指導。課堂反饋特別適合前文中提到的系統題組和一題多解類型，讓學生在說題的過程中闡述自己的解題理由，相互討論，無論對錯，其產生的思維碰撞在學生記憶中的影響都是深刻而巨大的。由于課堂時間有限，教師還可以在課后就學生錄制的說題作業視頻進行線上指導。教師對學生提交的作業視頻要一一指導，發現其優點，指出其提升點。對于優秀說題作業視頻，教師可以轉發到班級群共享，讓全班同學共同學習，營造良好的學習氛圍，促進班級學生整體數學素養的提升。此外，教師可以在學校公眾號開辟“說題”專欄，展示學生的精彩表現。

4.教師要鼓勵評價

通過開展數學說題作業活動，教師能較好地了解學生的數學知識建構過程和真實的數學思維情況，以及學生數學語言的表達能力。說題作業作為新型作業，本身就兼具過程性和結果性。因此，教師評價時不僅要關注結果性評價，即對學生的說題作業質量進行評價，更要注重過程性評價：關注學生是否積極參與數學學習活動，能否有條理地表達數學內容，能否不斷反思自己的數學學習過程，能否從不同的角度思考問題，等等。總之，教師應充分挖掘學生的閃光點，及時給予激勵性評價，促進學生數學思維的發展與提升。

新課程改革要求教師對數學課堂教學進行積極的變革。“雙減”背景下要減輕過重的作業負擔，作業形式和內容的變革是箭在弦上，勢在必行。設計數學說題作業能充分體現以教師為主導、以學生為主體的教育理念，發揮學生的主觀能動性，激發學生學習興趣，讓學生的思維過程顯性化，思維結果深刻化。此外，說題作業能切實減輕學生過重的作業負擔，使作業真正為教學服務，真正有利于學生知識、能力、綜合素養的發展。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 關錦壽，蘇銀華.例說波利亞“怎樣解題”表的解題策略與實踐[J].云南民族學院學報（自然科學版），2001（2）：369-372.

[3] 朱虹. 初中幾何教學中說題的有效性[D]. 上海：上海師范大學，2019.

（責編 李琪琦）