高中兩版數學教材“平面解析幾何”習題與課程標準修訂版的一致性分析

蘇咪咪 馬旭

[摘 ?要] 文章基于核心素養，對人教版和北師大版兩版高中數學教材“平面解析幾何”習題與《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱課程標準修訂版），從總體水平、“平面解析幾何”單元內容主題維度、認知水平維度進行一致性比較分析，研究發現不同維度下兩版高中數學教材習題與課程標準的一致性各有差異，總體而言，人教版習題與課程標準修訂版的一致性高于北師大版.

[關鍵詞] 核心素養;課程標準;高中數學教材;平面解析幾何;一致性

問題提出與研究價值

高中數學課程是義務教育階段后普通高級中學的主要課程，具有基礎性、選擇性和發展性[1]. 課程理念的第一條便明確指出“學生發展為本，立德樹人，提升素養”[1]. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱課程標準修訂版）的發布標志著新一輪的基礎教育課程改革進入了全面深化階段[2]. 由于習題是教材的重要組成部分[3]，在該形勢下，高中數學教材的習題與課程標準的一致性很有必要研究. 通過查閱文獻發現，關于高中數學教材的習題與課程標準修訂版的一致性研究較少，本文基于核心素養，對人教版（2019年）和北師大版（2019年）兩版高中數學教材“平面解析幾何”習題與課程標準的一致性進行比較分析，可以了解課程標準在兩版高中數學教材“平面解析幾何”習題中的一致性特征和落實情況;對今后我國深化課程標準和高中數學教材及習題的研究和修訂提供參考性的意見[4];極大地豐富高中數學教材的習題與課程標準修訂版的一致性研究.

研究設計

1. 研究對象

本文以課程標準修訂版以及人教版（2019年）和北師大版（2019年）兩版高中數學教材“平面解析幾何”的課后習題為研究對象，以量化研究為主，質性研究為輔，對兩版高中數學教材“平面解析幾何”習題與課程標準修訂版從總體水平、內容主題維度、認知水平維度進行一致性比較分析.

2. 研究工具

（1）SEC一致性分析模式

SEC一致性分析模式是帕特等人對韋伯一致性分析模式做了一定程度的改進后，開發并研制出學業評價和課程標準一致性水平分析程序和方法，該模式保留了一致性最核心的內容主題和認知水平兩個維度來構建其研究矩陣[5]，更加直觀簡潔，是研究教材習題與課程標準修訂版之間的一致性顯著程度的重要路徑，其具體的分析程序和方法如圖1所示.

Porter（帕特）一致性系數的計算公式為P=1-. 其中，n表示二維矩陣中單元格數量，Xi和Yi分別表示X矩陣和Y矩陣中第i個單元格的比率值，P表示Porter一致性系數，取值范圍是0≤P≤1，P的大小表示評價內容與課程標準內容兩者一致性吻合程度，P=0表示兩者一致性吻合程度最低，P=1表示兩者一致性吻合程度最高，即Porter一致性系數P值與一致性吻合程度成正比關系，P值越大，一致性就越高[6].

（2）核心素養評價框架

喻平教授提出了一種數學核心素養劃分的理論構想：將數學知識學習分為3種形態，依次為知識理解、知識遷移和知識創新. 為學生學科核心素養的評價提供了一個理論框架，即數學核心素養評價的一個框架[7].

3. 研究過程

（1）對“平面解析幾何”單元的內容主題的劃分與編碼

根據課程標準修訂版將兩版高中數學教材“平面解析幾何”內容劃分為三個內容維度，分別為“直線與方程”“圓與方程”和“圓錐曲線與方程”.

（2）對認知水平的劃分與編碼

依據喻平教授提出的數學核心素養評價的一個框架將認知水平劃分為知識理解、知識遷移和知識創新，將其依次編碼為1，2，3;由于兩版高中數學教材“平面解析幾何”內容只涉及數學抽象、邏輯思維、數學建模、直觀想象和數學運算這五個數學核心素養，所以認知水平只針對這五個數學核心素養進行分析，將其依次編碼為A、B、C、D、E. 因此，A1代表數學抽象核心素養的一級認知水平，A2代表數學抽象核心素養的二級認知水平，以此類推.

（3）對課程標準修訂版中“平面解析幾何”單元的內容要求的編碼

根據課程標準修訂版以及喻平教授對認知水平的劃分和具體闡述，將認知水平與課程標準修訂版“平面解析幾何”單元的內容要求中出現的動詞建立如表1所示的對應表.

確定科學合理的編碼原則是有效編碼的重要環節，課程標準修訂版的編碼原則如下：

當“平面解析幾何”單元的內容要求中含有多個表1中的動詞加名詞的條目時，須拆分為多個只含有一個上述動詞加名詞的條目. 例如把“理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式”拆分為“理解直線的傾斜角和斜率的概念”“經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程”和“掌握過兩點的直線斜率的計算公式”.

當“平面解析幾何”單元的內容要求中某一條目含有多個表1中的動詞時，遵循取高不取低的原則. 例如“探索并掌握平面上兩點間的距離公式”中的“探索”比“掌握”的認知水平高則取“探索”.

當一個表1中的動詞對應多個并列名詞時，須拆分并列名詞. 例如把“能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系”拆分為“能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系”和“能根據給定直線、圓的方程，判斷圓與圓的位置關系”.

對“平面解析幾何”單元的內容要求進行拆分后所形成的具體的內容要求按照內容主題分別編碼為1.1，1.2，…，2.1，2.2，…，3.1，3.2，….

（4）對教材習題的編碼

當一道題目中含有分號或幾個小問時須拆分;當一道題目中同時考察多個核心素養和認知水平時，以側重的核心素養和更高的認知水平為準. 根據該編碼原則對兩版高中數學教材“平面解析幾何”單元的習題按照“直線與方程”“圓與方程”和“圓錐曲線與方程”三個主題維度進行排序和編碼.

研究分析與結論

1. 兩版高中數學教材“平面解析幾何”習題與課程標準修訂版的總體水平一致性分析

依據上述編碼原則統計出課程標準修訂版中關于“平面解析幾何”單元的具體內容要求數目為36，人教版與北師大版的課后習題數目分別為367和363. 根據上述統計數據建立“內容主題—認知水平”二維矩陣，由于內容主題被劃分為三個維度，認知水平被劃分為三個水平，所以均建立起“3×3”的矩陣. 運用MATLAB計算出兩個矩陣之間的一致性系數P值，此過程循環往復后獲得P值的正態分布曲線，得到統計學意義上0.05水平上的顯著性參考值P.比較計算出來的P值與參考值P，若P大于P，則說明兩者之間具有統計學意義上的一致性，若P小于P，則說明兩者之間不具有統計學意義上的一致性[6].

由表3可知，人教版和課程標準修訂版、北師大版和課程標準修訂版、人教版和北師大版一致性系數均小于參考值，不具有統計學意義上的一致性. 相對于北師大版的習題，人教版和課程標準修訂版的一致性系數更高，說明人教版的習題和課程標準修訂版的一致性吻合程度更好.

2. 兩版高中數學教材“平面解析幾何”習題與課程標準修訂版在該單元的內容主題維度下的一致性分析

（1）兩版高中數學教材習題與課程標準修訂版在“平面解析幾何”單元的內容主題維度下的核心素養頻率分布

由圖2可知，在“直線與方程”內容主題維度下，人教版習題與課程標準修訂版的核心素養分布的一致性更高;在“圓與方程”內容主題維度下，相比課程標準修訂版，兩版高中數學教材習題均增加了數學運算和直觀想象兩個核心素養，且數學抽象核心素養的比率均高于課程標準修訂版，但兩版高中數學教材習題在數學建模和邏輯推理這兩個核心素養的比率均低于課程標準修訂版;在“圓錐曲線與方程”內容主題維度下，兩版高中數學教材習題均增加了數學運算和邏輯推理這兩個核心素養，關于總比率，北師大版習題與課程標準修訂版相差較小，但人教版習題的核心素養分布與課程標準修訂版的一致性相比北師大版更高. 總體而言，相比北師大版，人教版習題與課程標準修訂版在內容主題維度下的核心素養分布的一致性更高.

（2）兩版高中數學教材習題與課程標準修訂版在內容主題維度下的認知水平分布

由圖3可知，在“直線與方程”內容主題維度下，兩版高中數學教材習題與課程標準修訂版在知識遷移認知水平的一致性較高，其中人教版習題在知識遷移水平的比率與課程標準修訂版幾乎吻合，然而兩版高中數學教材習題與課程標準修訂版在知識理解和知識創新兩個認知水平的一致性均不高;在“圓與方程”內容主題維度下，相比北師大版，人教版習題與課程標準修訂版在三個認知水平的一致性更高;在“圓錐曲線與方程”內容主題維度下，相比人教版，北師大版習題與課程標準修訂版在三個認知水平的一致性更高，吻合度更好. 總體而言，兩版高中數學教材習題在知識遷移認知水平與課程標準修訂版的要求一致性更高，知識創新認知水平次之，知識理解認知水平與課程標準修訂版的一致性有待提高.

3. 兩版高中數學教材“平面解析幾何”習題與課程標準修訂版在認知水平維度下的一致性分析

（1）兩版高中數學教材習題與課程標準修訂版在認知水平維度下的核心素養分布

由圖4可知，在知識理解認知水平維度下，課程標準修訂版側重培養數學抽象核心素養，兩版高中數學教材習題與課程標準修訂版的一致性較高;在直觀想象核心素養方面，兩版高中數學教材習題與課程標準修訂版的一致性也相對較高，但對于數學建模和數學運算這兩個核心素養，兩版高中數學教材習題分別未達標和超標. 從整體來看，在知識理解認知水平維度下，兩版高中數學教材習題均與課程標準修訂版保持著較高的一致性.

由圖5可知，在知識遷移認知水平維度下，課程標準修訂版側重邏輯推理核心素養，然而人教版習題側重直觀想象核心素養，北師大版側重數學運算核心素養，人教版習題與課程標準修訂版在直觀想象核心素養的一致性較高，北師大版習題與課程標準修訂版在數學抽象核心素養的一致性較高.

由圖6可知，在知識創新認知水平維度下，課程標準修訂版側重數學抽象，人教版和北師大版兩版高中數學教材習題對該認知水平的呈現相對較少，兩版高中數學教材習題與課程標準在知識創新認知水平下的核心素養分布一致性相對不高.

（2）兩版高中數學教材習題與課程標準修訂版在認知水平維度下的內容主題分布

由圖7可知，在認知水平維度下，課程標準修訂版對于“直線與方程”的內容呈現先持平后增長的趨勢，而兩版高中數學教材均保持下降趨勢;課程標準修訂版對于“圓與方程”的內容呈現先增長后減少的趨勢，兩版高中數學教材均保持下降趨勢;課程標準修訂版對于“圓錐曲線與方程”的內容呈現持續下降的趨勢，兩版高中數學教材也均保持下降趨勢，與課程標準修訂版在內容上的要求保持著較高的一致性.

研究建議

1.教材編寫者應以深度理解課程標準修訂版為“生成點”，以著力完善教材評價為“腳手架”

教材編寫者先要深度理解課程標準修訂版的本質，才能站穩第一個“生成點”，隨之著力完善教材評價體制，才能真正查漏補缺，充分利用教材評價這一“腳手架”，穩步攀登到更高的“生成點”，建立起動態的良性推進循環，從而實現基于核心素養的高中數學教材習題與課程標準修訂版在“量”與“質”方面的高度一致性.

教材編寫者深入理解課程標準修訂版的本質，一方面需要認真研讀課程標準修訂版，謹遵課程標準修訂版以發展學生數學核心素養為宗旨的要求挖掘其本質與深度;另一方面有賴教材編寫的參與者共同努力進而形成合力，從而有質量、有效率地實現教材習題與課程標準修訂版的一致性.

完善教材評價體制包括對教材評價的方法手段、標準要求和工具設計等方面的改進，基于我國數學教材評價體制的現實水平和實際需求，借鑒吸收國外修訂課程標準和改革課程的有益經驗，進一步優化我國教材評價體制.

2.教師把握核心素養分布的均衡性，注重認知水平的循序漸進

上述研究結論表明，核心素養分布在內容主題、認知水平以及總維度上均有差異，不同核心素養下教材習題與課程標準修訂版的一致性也各有不同. 因此教材習題應明確各核心素養下的權重，均衡分布各核心素養，促進學生的均衡發展[8]. 關于認知水平，在關注各層次認知水平在不同維度下的一致性分析的同時，也要注重認知水平的循序漸進，認知水平從知識理解到知識遷移再到知識創新呈現階梯性，那么教材習題關于認知水平的分布也應循序漸進地分布，教師可適當增減相應習題的呈現，把握核心素養分布的均衡性，注重認知水平的循序漸進.

參考文獻：

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[3] 李爽，楊澤恒，王彭德. 核心素養視角下云南高中學業水平考試和高考數學試卷分析[J]. 數學教育學報，2020，29（06）：25-31.

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