初中數學教學中數學實驗的開展與注意點

孟娜

［摘? 要］ 在數學教學過程中借助實驗的方法能夠促進學生數學知識的建構. 認識到數學實驗的價值、尋找到數學實驗開展的有效策略、能夠規避數學實驗開展過程中的一些誤區，那數學實驗所發揮的作用就一定是積極的，在促進學生學習并運用數學知識方面一定是高效的. 站在數學學科的角度看數學實驗，可以發現其價值在于可以塑造數學學科的全新形態；站在學生學習的角度看數學實驗，可以發現其價值在于面對數學學習對象的時候，動手做成了一個重要的組成部分；站在教師教學的角度看數學實驗，可以發現其價值在于課堂上不再只是口頭的講授，更應當是賦予學生自主探究的時間與空間，是面向學生進行數學實驗的引導、組織及評價.

［關鍵詞］ 初中數學；數學實驗；開展；注意點

數學實驗是近年來初中數學教學研究的一個熱門話題，盡管很多專家學者都對數學實驗的價值進行了充分的闡述，但是站在一線教師的角度看數學實驗，更是感覺其魅力非凡. 對數學實驗的通俗理解，可以是在數學學習的過程中借助實驗的方法來促進數學知識的建構. 相對于傳統的教學而言，數學實驗的引入，使得學生在學習數學知識的時候有了“做”的機會——實驗一定是要動手做的，在做實驗之前也是需要動腦構思的. 因此，有了數學實驗，動腦思考與動手做就能自然地融合在一起. 考慮到數學知識的抽象性，學生在數學學習的過程中會遇到的諸多困難，數學實驗在初中數學教學中的實用價值就得以體現. 當然，不少同行認為數學實驗的引入必然會占用更多的學生學習與訓練時間，產生數學實驗影響數學學習效果的顧慮. 有這樣的想法純屬正常，但只要認識到數學實驗的價值、尋找到數學實驗開展的有效策略、能夠規避數學實驗開展過程中的一些誤區，那數學實驗所發揮的作用就一定是積極的，在促進學生學習并運用數學知識方面一定是高效的.

近年來筆者在教學實踐中嘗試開展數學實驗，并努力追求數學實驗的常態化，取得了較好的教學成果. 下面結合“圓錐的側面積”的教學就數學實驗的開展以及相關注意點，來談一些筆者的做法與思考.

初中數學教學中數學實驗的價值

從嚴格定義的角度來看，數學實驗是通過動腦動手“做”數學的一種數學學習活動，是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等）在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操為特征的數學驗證或探究活動［1］. 在這樣的定義當中可以看出，數學實驗也就是借助相關工具在思維活動的參與驅動之下進行的具有實際操作特征的活動，同時也明確了數學實驗的最終目的是進行數學驗證或探究活動. 數學驗證面向已有結論，探究活動面向未知結論，而這兩者也就概括了初中數學教學的內涵. 認識數學實驗在初中數學教學中的價值，具體可以從以下三個方面來闡述.

第一，站在數學學科的角度看數學實驗，可以發現其價值在于塑造數學學科的全新形態. 對于大多數初中學生而言，他們所理解的數學學習就是抽象的數學符號與圖象的學習，在數學課堂上主要的任務就是學會運用這些符號，并且應用到習題和考試中. 實際上學習數學的形態并非如此，學過勾股定理的人都知道，從畢達哥拉斯研究地磚圖形開始，至今共出現過100多種證實勾股定理的方法，其中涉及的人除了數學家還有各個領域的人士，這是一段豐富多彩的歷史，這段歷史成了數學的本真形態. 但是由于種種原因，出現在初中學生面前的數學是高度抽象的，這使得數學的形象在學生的眼中被大大簡化了. 有了數學實驗之后，學生會發現原來數學學習也可以通過動手做的方式來完成，而要想讓動手做的過程變得更有質量，又離不開對學習內容的深度思考，如此構成的數學學習形態，就是動手做與動腦思考結合在一起、形象的手動加工對象與抽象的思維加工對象結合在一起、抽象的數學習題解答與高質量的問題解決結合在一起……如此，數學的形態會更加完整，學生的學習過程會更加精彩.

第二，站在學生學習的角度看數學實驗，可以發現其價值在于面對數學學習對象的時候，動手做成了一個重要的組成部分. 數學實驗中的動手做，不是簡單的根據固定的步驟去完成指令性的動作，而是具有探究與驗證意味和深度思維的動手做. 學生在數學課堂上，既有獲得數學知識的需要，又有發展自身知識運用能力的需要，還有發展自身數學學科核心素養的需要. 所有這些需要的滿足，都依賴于具體的學習過程，很顯然數學實驗是在傳統教學的基礎上開辟了一條新的途徑，學生可以在手腦并用的過程中滿足自己的數學學習需要，這不僅能夠促進學生的認知發展，還能夠促進學生的情感發展，是傳統教學方式無法替代的.

第三，站在教師教學的角度看數學實驗，可以發現其價值在于數學課堂上不再只是口頭的講授，更應當是賦予學生自主探究的時間與空間，是面向學生進行數學實驗的引導、組織及評價. 這對于初中傳統數學教學而言也是一種突破，教師只有在自身了解數學實驗的實質、準確預測數學實驗發展進程的前提下，才能讓學生真正參與到數學實驗當中去. 這對于教學而言也是一個重要的突破，如何在繼承優秀教學傳統的基礎上將數學實驗滲透其中，是初中數學教師教學中應當關注的問題.

初中數學教學中數學實驗的開展

通過上述分析可以發現，數學實驗不同于傳統的數學學習方式，它強調以學生動手實驗來探索數學結論、研究數學問題、體驗解題過程［2］. 在具體組織實施數學實驗的時候，既需要對教學內容以及學生的學習需要進行研究，又需要對數學實驗的過程進行必要的預設，在實驗之后還要進行恰如其分的評價. 只有這樣才能讓數學實驗貫穿學生學習的始終，成為學生建構數學知識的重要抓手.

“圓錐的側面積”這一內容對于初中學生而言有一定的難度，其原因之一在于盡管初中學的是平面幾何，但圓錐是一個立體圖形，學習圓錐的側面積，不是簡單地記住一個公式，而應當是在大腦中有了清晰的圓錐側面積的表象之后形成的關于側面積計算的完整理解. 因此，在掌握圓錐的側面積計算公式之前，生成一個完整的表象就顯得比較重要，而此時學生就可以借助數學實驗來完成表象的生成.

考慮到學生已掌握的知識，本節課在設計數學實驗的時候可以先進行兩個環節. 一是讓學生用準備好的半硬紙板做一個圓錐. 學生在這個環節有可能出現兩種選擇. 選擇之一就是用一個圓形的紙片，再畫出兩條半徑將圓形紙片分為兩個扇形并且剪去其中一個扇形，將剩下的扇形的兩條半徑對接到一起得到一個圓錐. 選擇之二就是用一個正方形的紙片相鄰兩邊對接在一起得到一個類似于錐形的物體，然后將這個物體的底面修剪平整得到圓錐. 學生的這兩種選擇實際上對應著不同的表現，做出前一種選擇的學生，大腦中就知道圓錐側面沿半徑剪開之后是一個扇形，而選擇后一種思路的學生，大腦中對圓錐的印象則相對模糊. 因此，在實驗環節教師要組織學生多重復圓錐展開與圓錐側面卷曲這兩個動作. 事實證明通過這種重復性的動手操作，可以讓學生大腦中的“圓錐側面”表象變得非常清晰，這也就為學生后續探究圓錐的側面積公式打下基礎.

由于學生已經認識到了圓錐的側面展開圖是一個扇形，因此探究圓錐的側面積，實際上就是探究該扇形的面積. 扇形作為圓的一部分，學生在探究該面積的時候，最直觀的判斷就是借助圓心角，然后利用圓心角與圓周角的比例來推導出圓錐的側面積計算方法. 在探究的過程中，教師先要尊重學生的這一判斷結果，然后給出新的條件. 假如知道圓錐的母線長為l，圓錐的底面圓半徑為r，那又應當如何計算圓錐的側面積呢？

教學實踐表明，如果學生僅僅是面對這樣一段文字來構思，困難還是比較大的. 但是如果能夠將相關的數據搬到剛剛所制作的圓錐上，那學生推理過程中面臨的困難要小得多. 實際上所謂的將數據搬到圓錐上，就是從“數”的角度去研究“形”，而且這樣的研究對象不是抽象的思維，而是實實在在的由自己動手制作出來的實物（如圖1所示）. 有了這樣的數學實驗操作的鋪墊，那么學生就可以獲得一個新的計算圓錐側面積的公式，即圓錐的側面積S=πrl.

從鞏固學生所學知識的角度來看本內容的教學，在學生獲得圓錐側面積計算公式之后，還可以設計一個實驗活動，筆者借鑒課本上的設計，從逆向思維的角度為學生設計了這樣一個實驗活動：利用手邊給出的硬紙板，制作一個側面積大約是60平方厘米的圓錐.

這實際上是一個具有開放性的數學問題，在只給出側面積大小的前提之下，學生必須去判斷母線長是多少、底面圓的半徑是多少，這樣才能制作出符合要求的圓錐. 很顯然這里有兩個未知數，學生有多種選擇. 這就保證了學生在完成數學實驗的時候，可以自主思考，而不必模仿他人. 學生思考的工具當然就是圓錐側面積的計算公式，根據S=πrl，學生要考慮r和l的選值. 當學生注意到這一點之后，教師可以再加一個小問題：要讓自己所制作出來的圓錐更加美觀，你在確定r和l取值的時候應當注意怎樣的要求？盡管這只是一個小小的問題，但卻可以大大激活學生進行數學實驗的興趣，為了滿足這一要求，學生就必須去嘗試. 于是，課堂上既有學生的自主思考與制作，又有自發的交流與討論，學生在完成實驗的過程中將圓錐側面積的公式運用得爐火純青，而圓錐側面的表象在學生的大腦當中也更加清晰與牢固. 這樣的教學效果自然是理想的，而這一教學效果的獲得與數學實驗有著極大的聯系.

數學教學中開展實驗的注意點

毫無疑問借助數學實驗來優化初中數學的教學過程，可以取得積極的成效. 在開展數學實驗的時候也有一些注意點，這是保證數學實驗取得成功的關鍵. 筆者在實踐的過程中，總結出這樣幾個注意點. 其一，教師設計數學實驗的時候，要以學生動手做的內容為重心. 數學實驗異于傳統教學的地方就在于有“做”的成分，這是學生的興趣所在，不能淡化，不能壓縮. 其二，教師在組織實施數學實驗的時候，要讓學生有足夠的思考空間. 有的學生喜歡先想后做，有的學生喜歡邊想邊做，也有的學生喜歡先做后想，不同的選擇背后有著不同的思維方式，教師要尊重學生的每一種選擇. 其三，教師在數學實驗之后要科學認真地評價. 不少學生在實驗的時候容易滿足于表面的興趣，要改變這樣的現狀，最好的辦法就是教師及時給出科學的評價. 教師可以通過表揚先進、提示不足的方法，來放大學生實驗過程中表現出來的優點，同時明確部分學生身上出現的不足，這樣可以讓不同層次的學生都有所收獲.

以上提到的三個注意點，在一個完整的數學實驗過程中不僅要同時出現，還要結合學生的具體情況有所側重，這樣就可以讓數學實驗真正成為學生學習與運用數學知識的重要推動力. 特別值得一提的是在三個注意點當中的科學評價，教師要引起高度重視. 初中數學實驗課堂教學評價的目的旨在改善教師教與學生學的行為，并更新實驗內容，評價的取向注重對數學實驗主體學生及其實驗過程、手腦的協同與數學實驗整體成效的評價. 評價過程是否科學，評價體系是否完善，反映了教師對數學實驗的理解程度，這也是教師基于數學實驗實現專業成長的重要臺階.

參考文獻：

［1］董林偉，孫朝仁. 初中數學實驗的理論研究與實踐探索［J］. 數學教育學報， 2014，23（06）：20-25.

［2］伍銀平，卜以樓. 初中數學實驗的教學誤區及矯正方法［J］. 教學與管理， 2015（22）：60-63.