“懂而不會”現象的成因及對策

王蓉暉

［摘 要］文章結合學生“懂而不會”的現象，分析學生思維障礙的成因，并提出應對“懂而不會”現象的策略。

［關鍵詞］懂而不會；思維障礙；初中數學

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0022-03

在數學教學中，學生“懂而不會”的現象普遍存在，表現為學生在學習新知識時，聽懂了教師所講的內容，但在做習題時舉步維艱。究其原因，一是教師要求的“懂知識”與學生理解的“懂知識”不是一回事，學生對知識點僅停留在表層理解，沒有把握問題的本質，沒有思考為什么要這樣做，為什么可以這樣做而不能那樣做；二是學生從聽懂到學會，要經歷三個階段，即套用公式、變式應用和靈活運用，而學生的“懂”只是處于套用公式階段，屬于低層次的思維模式。正是由于學生“懂”的低思維層次與解決問題的高思維層次之間存在巨大的差距，才產生了學生“懂而不會”的現象。只有深入分析學生思維障礙的成因，找到突破思維障礙的路徑，才能從根本上消除“懂而不會”的現象。

一、學生思維障礙形成的原因

（一）教師的一些教學行為不恰當

1.忽視個性差異

每個學生的成長經歷不同，思維方式也不同，如果教師只按自己的思維方式講課，沒有考慮學生的思維差異，沒有察覺學生的思維困境，就會導致一部分學生無法理解教師所講的內容，他們在獨立處理問題時，就會出現思維障礙。

2.忽視學生參與

在課堂教學中，學生需要動手操作、交流表達、思維參與等，而其中最重要的就是思維參與。如果教師在講課時，為了給學生多講幾道題，而不讓學生參與教學活動，那么學生將不會提出問題，也不會分析、解決問題。

3.忽視教材拓展

教材是重要的載體，但不是唯一的載體。一些教師認為教材絕對完美，不可挑戰，把教材中的每一課都照本宣科地講下來，這樣學生當然是興趣索然，思維水平也難以提高。

（二）學生的一些思維方式不正確

1.思維定式

一些學生對自己的解題思路深信不疑，不能根據情況的變化做出靈活的調整，這種思維定式會產生消極作用，阻礙學生創新思維的發展。當學生抱著固有的模式學習與思考時，就缺失了類比、聯想與遷移等思維，進而導致思維障礙。

2.思維離散

一些學生的學習思維不連貫，呈現間斷、分散的狀態，他們想到了這，就忘了那，不能把知識點串成串、形成面，進而不能構建知識體系。這種離散式思維會產生消極影響，也是導致學生產生思維障礙的原因之一。

3.思維惰性

“天才出于勤奮”，學生在面對問題時，必須靜下心來思考，如果學生產生了惰情思維，也會導致思維障礙的產生。

二、學生思維障礙形成的原理

布魯納的認知發展理論指出，學習知識的過程需要學生利用個體內部的認知結構，對“由外到內”的輸入信息進行整理加工，進而將其轉化為一種易于接受的形式加以儲存。即學生要吸納新知識，必須從原有的知識結構中提取相關舊知與新知進行對接。當新知與舊知發生相互作用與聯系時，學生原有的知識結構才能進行更新與完善，從而獲得新知，但這個過程并非是一次就能成功的。如果教師的教學方式不恰當，學生的思維習慣不好，就會造成學生原有的知識結構與新知識不相符，使新知與舊知之間沒有連接點，這樣新知就會被排斥在原有認知外，或被校正后同化，進而導致學生出現認知上的不足或理解上的偏差，這時就會出現“懂而不會”的現象。

三、突破學生思維障礙，應對“懂而不會”現象的策略

（一）立足認知特點，激發學習興趣

興趣是最好的老師。在數學教學中，教師應把握學生的認知基礎和認知規律，在尊重學生個體差異的基礎上，激發學生學習數學的興趣，激活學生的數學思維。

［案例1］“平行線的性質與判定”教學節選

不少七年級學生對平行線的性質與判定感到困惑，為此，筆者設計了如下問題，以幫助他們更好地掌握平行線的性質與判定。

問題1：平行線有哪些性質？平行線有哪些判定方法？

學生：平行線的性質有“兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補”。

學生：平行線的判定方法有“同位角相等（或內錯角相等，或同旁內角互補），兩直線平行”“平行于同一直線的兩條直線互相平行”“在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線互相平行”。

問題2：平行線的性質與平行線的判定有何區別與聯系？

學生：平行線的性質是由平行線推得角之間的關系，而平行線的判定是由角之間的關系推得平行線，它們都是探究平行線與角之間的關系。

問題3：你能否根據條件進行推理，得出結論，并在括號內注明理由？

已知：如圖1所示，[∠1=∠2]，[∠B+∠CDE=180°]。

求證：[AB∥CD]。

證明：∵[∠1=∠BFD]（對頂角相等），又∵[∠1=∠2]，∴[∠BFD=∠2]（等量代換），∴[BC∥DE]（）。∴[∠C+∠CDE=180°]（）。又∵[∠B+∠CDB=180°]，∴[∠B=∠C]，∴[AB∥CD]（）。

學生：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；內錯角相等，兩直線平行。

問題4：如圖2所示，[AD∥BC]，[E]、[F]分別在[DC]、[AB]的延長線上，[∠DCB=∠DAB]，[AE⊥EF]，[∠F=2∠EAF]。（1）試說明[DC∥AB]；（2）求[∠DEA]的度數。

學生：（1）∵[AD∥BC]，∴[∠DCB+∠D=180°]（兩直線平行，同旁內角互補），又∵[∠DCB=∠DAB]，∴[∠DAB+∠D=180°]，∴[DC∥AB]（同旁內角互補，兩直線平行）；

（2）∵[AE⊥EF]，∴[∠AEF=90°]，∴[∠F+∠EAF=90°]，∵[∠F=2∠EAF]，∴[∠EAF=30°]，∵[DC∥AB]，∴[∠DEA=∠EAF=30°]（兩直線平行，內錯角相等）。

問題1是讓學生了解最基本的知識點，問題2是讓學生厘清知識的易混點，問題3是讓學生學會在教師的引導下應用平行線的性質與判定方法，問題4是讓學生獨立解決問題。四個問題層層遞進，有序推進教學，使得學生的興趣被激發、思維被激活，避免學生產生思維障礙。

（二）深度剖析概念，建構概念體系

對于同一數學概念，從各個不同的側面去描述，有利于學生多視角認識數學概念，進而實現對數學對象本質特征的深度認識。教學中，教師可引導學生多視角理解數學概念，對數學概念全面透視，進而使學生形成完整的概念體系。

［案例2］“角平分線”教學節選

層次1：抓住定義，理解其中含義關鍵詞，如“從一個角的頂點”“射線”“相等的角”。學生明白，一個角的平分線是一條射線，而不是線段或直線，這條射線的端點就是角的頂點，該射線把原來的角分成兩個相等的角，從而深刻理解角平分線的內涵。

層次2：如何用圖形與符號表示角平分線的概念呢？如圖3所示，射線[OC]平分[∠AOB]，所以[∠AOC=∠BOC]，或者[∠AOC=∠BOC=12∠AOB]，或者[∠AOB=2∠AOC=2∠BOC]。這樣學生對角平分線就有了直觀的印象，還學會了簡單的推理。

層次3：由角平分線的定義嘗試定義角的三等分線、角的四等分線、角的[n]等分線。角的三等分線就是從一個角的頂點引出兩條射線，把這個角分成三個相等的角；角的四等分線就是從一個角的頂點引出三條射線，把這個角分成四個相等的角；角的[n]等分線就是從一個角的頂點引出[（n-1）]條射線，把這個角分成[n]個相等的角。這是對角平分線概念的延伸與擴展。

層次4：把角平分線與軸對稱、角平分線的性質有機結合，角是軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線，角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等，構成兩個全等直角三角形。等腰三角形的角平分線垂直平分底邊；兩直線平行，一組同位角的平分線互相平行；兩直線平行，一組內錯角的平分線互相平行；兩直線平行，一組同旁內角的平分線互相垂直。這里對與角平分線相關的知識點做了全面的總結與梳理。

學生對數學概念的理解層層深入，原有的認知結構不斷得到重組與完善，突破了由于概念理解不深入而形成的思維障礙。

（三）重視生成過程，深刻理解本質

讓學生親歷數學知識的生成、發展過程，有利于促進學生對數學知識的深度理解，使學生在知其所以然中實現對問題的快速解決。

［案例3］“一元二次方程根的判別式及根與系數關系的應用”教學節選

不解方程，寫出下列方程的兩根之和與兩根之積。

（1）[3x2+2x-3=0]；（2）[x2+x=6x+7]；（3）[3x2-4x=0]；（4）[4y2-4y+1=0]。

學生：（1）設[x1]、[x2]是一元二次方程[3x2+2x-3=0]的兩根，根據根與系數的關系得[x1+x2=-23]，[x1·x2=-1]；（2）方程化為一般形式，即[x2-5x-7=0]，設[x1]、[x2]是一元二次方程[x2-5x-7=0]的兩根，根據根與系數的關系得[x1+x2=5]，[x1·x2=-7]；（3）設[x1]、[x2]是一元二次方程[3x2-4x=0]的兩根，根據根與系數的關系得[x1+x2=43]，[x1·x2=0]；（4）設[y1]、[y2]是一元二次方程[4y2-4y+1=0]的兩根，根據根與系數的關系得[y1+y2=1]，[y1·y2=14]。

前3題是正確的，第4題是錯誤的，這是因為前3題都有實數根，而第4題沒有實數根。一元二次方程的兩根之和與兩根之積成立的前提是這個方程有實數根。學生為什么會忽略這個前提條件呢？這是因為他們對于根與系數關系的來源沒有深刻的理解。一元二次方程根與系數的來源：當[b2-4ac≥0]時，一元二次方程有兩個實數根，分別是[x1=-b+b2-4ac2a]，[x2=-b-b2-4ac2a]，計算[x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-ba，][x1·x2=ca]，所以一元二次方程成立的前提條件是[b2-4ac≥0]，因此在計算一元二次方程兩根之和與兩根之積之前，應首先考查根的判別式是否大于或等于0。

教學中，教師應讓學生親歷知識的生成、發展過程，使學生在過程性體驗中知其所以然，從而有效地消除學生的思維障礙。

（四）暴露易錯問題，消除思維定式

設置易錯問題，在學生犯錯后，展現學生的錯誤思維，剖析其成因并糾錯，這是消除思維定式的良好做法。需要注意的是，由于思維定式的影響，學生不免會陷入誤區，這就需要教師提醒學生，讓學生在自悟中實現思維的正遷移。

［案例4］“分式方程及其解法”教學節選

請利用學習過的“分式方程及其解法”解決下列問題：

（1）已知關于[x]的方程[2mx-1x+2=]1的解為負數，求[m]的取值范圍；

（2）若關于[x]的分式方程[3-2xx-3+2-nx3-x=-1]無解，求[n]的取值范圍。

錯解：（1）解關于[x]的分式方程得[x=32m-1]，因為方程有解，且解為負數，所以[2m-1<0]，[m<12]。

（2）分式方程去分母得[3-2x+nx-2=3-x]，整理得[（n-1）x=2]，因為方程無解，所以[2n-1=3]，即[n=53]。

剖析：分式方程的解是負數，說明分式方程有解，所以必須保證分式方程的根不是增根，即必須讓分式方程的根不能等于-2，否則求出的分式方程的根是增根，分式方程無解。分式方程無解可能有兩種情況，一是分式方程的根是增根，二是變形后的整式方程無解，而上述解答只考慮了一種情況，故錯誤。

正解：（1）解關于[x]的分式方程得[x=32m-1]，因為方程有解，且解為負數，所以[2m-1<0，32m-1≠-2，]

所以[m<12]且[m≠-14]。

（2）分式方程去分母得[3-2x+nx-2=3-x]，整理得[（n-1）x=2]，當[n-1=0]時，方程無解，此時[n=1]；當[n-1≠0]時，解得[x=2n-1]，要使方程無解，則有[2n-1=3]，即[n=53]。綜上，[n=1]或[n=53]。

數學是思維的體操。培養學生的數學思維是數學課堂教學的重要目標，要實現這一重要目標，突破學生的思維障礙是必不可少的程序。作為數學一線教師，應從教與學兩個方面研究數學學科，在完善學生的認知結構上下功夫，在培養學生的思維能力上下功夫，真正做到教學相長，破除學生思維障礙，消除學生“懂而不會”的現象。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?毛錫榮.數學教學中“懂而不會”現象的成因剖析與對策研究［J］.數學通報，2022，61（2）：31-34.

［2］ ?王童童.談高中數學概念教學中“懂而不會”的應對策略［J］.數學之友，2020（6）：35，40.

［3］ ?李文東.利用變式教學破解高三數學復習中“懂而不會”現象［J］.福建中學數學，2020（10）：25-27.

（責任編輯 黃桂堅）