數學實驗教學的五個“關注”

吳靜

摘要：數學實驗的本質是“做中學”，即通過對直觀材料的數學化操作，理解數學、解釋數學和建構數學，具有操作性、探究性和創造性等特點。小學數學教學中，為了更好地發揮數學實驗的作用與特性，需要關注實驗動機的引發、實驗方向的明晰、實驗思維的疏導、實驗習慣的培養和實驗成果的評價。

關鍵詞：小學數學；數學實驗；探索規律

數學實驗是為了獲得某個數學概念、探索某個數學規律或解決某個數學問題，借助一定的物質器材或技術手段，在思維活動的參與下進行數學探究的一種方式。數學實驗的本質是“做中學”，即通過對直觀材料的數學化操作，理解數學、解釋數學和建構數學，具有操作性、探究性和創造性等特點。筆者以為，為了更好地發揮數學實驗的作用與特性（尤其是在探索數學規律時），需要關注實驗動機、實驗方向、實驗思維、實驗習慣、實驗成果等方面。

一、關注實驗動機的引發

按理說，經過日常的課堂學習，學生已經積累了較為豐富的活動經驗，應該具有自覺運用實驗解決問題的意識。事實上，在遇到問題時，只有極少數的學生會想到實驗的方法。其根本原因是，學生未能在數學學習中深刻感受到數學實驗的價值。為此，教師要關注實驗動機的引發，從學生的學習實際出發，精心創設問題情境，促使學生產生認知沖突，讓學生在思考問題解決時產生使用數學實驗的內在需求。

（一）真問題啟發

真問題是指蘊含在真實情境中，能引發學生數學思考的問題，具有真實性、挑戰性和啟發性等特點。真問題能喚起學生主動探索的興趣，還由于情境中潛藏著很多重要信息，能夠讓學生產生運用實驗開展探究的需求。

例如，教學“表面涂色的正方體”時，教師可以出示8階（n階為“n×n×n”）表面涂色的正方體，并創設情境：“老師課前準備了一個表面涂了顏色的正方體，將它切割成了若干個同樣大的小正方體。結果，不小心碰倒散開了。你有辦法將它恢復成原來的樣子嗎？”學生在思考這個具有挑戰性的問題時，自然會產生還原正方體的強烈愿望，產生實驗的內在需求。

（二）“可視化”訴求

在探索“數與運算”中的規律時，由于研究對象過于抽象，學生容易缺乏研究動力。對此，在創設問題情境時，可通過變換問題背景、改變問題表述和呈現方式、調整研究對象的數量等方法，促使學生產生借助實驗進行“可視化”研究的訴求。

例如，計算“1/2+1/4+1/8+1/16”，算式的加數個數較少，學生可以直接通過通分計算得出答案，尋找計算規律的需求并不強烈。對此，教師增加加數個數，把題目改為“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128”，先讓學生感受到用“通分”這個常規方法計算結果有難度，并隨著加數的增多計算壓力越來越大。然后，教師適時提供“正方形”這一實驗工具助力學生思考，學生就會產生數形結合的“可視化”研究訴求，形成借助實驗探索規律的內驅力。

二、關注實驗方向的明晰

小學生盡管經驗不足，但對如何借助實驗探索規律有自己的想法，包括使用實驗方法、設計實驗流程以及選擇實驗工具和材料等。教師要為學生提供策劃實驗方案的機會，于關鍵處引領和點撥，幫助學生完成探究路線圖的設計，明晰實驗方向。

（一）規劃實驗路線

實驗不是一蹴而就的，通常需要經歷觀察、猜想、舉例和驗證等系列活動。教師不僅要幫助學生了解實驗的基本流程，還要讓學生掌握“從簡單入手研究”“邊舉例邊觀察邊猜想”等實驗技巧，規劃好實驗路線。

例如，探索“多邊形內角和”規律時，教師引導學生嘗試規劃實驗路線：先遵循由易到難的原則，以三角形為基礎，逐步找出四邊形、五邊形的內角和；在此基礎上，觀察思考、分析歸納，初步形成猜想；再通過求六邊形、七邊形等的內角和驗證猜想，進而發現規律。

（二）選擇實驗工具

實驗工具和材料是數學對象的物化載體，設計實驗方案時，還要考慮實驗工具和材料的選擇。

例如，教學“3的倍數特征”時，教師可以引導學生根據找2、5倍數特征的經驗，選擇百數表、計數器或方塊圖作為實驗材料。通過在百數表中圈數、在計數器上撥數等方法發現3的倍數特征，再借助方塊圖理解特征。

小學階段，對數學實驗工具的選擇沒有嚴格的要求，只要能夠凸顯數學對象的特點和變化規律，小棒、計數器、方塊圖、釘子板……甚至一張紙或一個圖形都可以。

（三）推敲實驗方法

實驗方法因人而異，也會隨著研究進程的深入而改變，但對于某些具有特定規律的探索，會有與之相契合的基本實驗方法。

例如，探索“三角形內角和”規律時，為驗證“三角形內角和是180°”這一猜想，教師組織學生通過小組討論確定實驗方法：可以采用量角器量角求和的方法，也可以借助“幾何畫板”軟件一邊改變三角形形狀一邊測算內角和，還可以用折紙、撕紙等方法。教學時，要為學生提供充足的實驗準備時間，讓學生精心選擇、推敲實驗方法。當然，實驗過程中還會出現各種情況，教師要引導學生及時調整和改變實驗方法。

三、關注實驗思維的疏導

教師要關注學生在實驗過程中可能遇到疑難問題，關注對學生實驗思維的疏導，及時為學生點撥、引航，排除思維障礙，助力學生順利完成實驗。

（一）變“爭論”為“共識”，優選方法

受知識經驗、思維方式和能力水平的限制，同樣的實驗條件，不同的學生會有不同的表現。教師要尊重學生的認知差異，并利用差異組織“爭論”，引導學生修正、優化方法，提高實驗的效度。

例如，探索“多邊形內角和”規律時，盡管學生在探索四邊形內角和規律時，積累了分三角形求內角和的經驗，但還不足以為探索任意多邊形內角和規律提供有力支撐。在探索五邊形內角和規律時，學生的實驗探究思路出現了“分三角形”和“分三角形+四邊形”兩種情況。而同樣是分三角形求內角和，有的從同一頂點出發向其他頂點有序連線，有的隨意連線。對此，教師如實呈現各種情況，暴露學生的問題，并圍繞“分幾種圖形”“怎么分三角形”兩個核心問題，組織學生爭論和選擇，最終獲得求多邊形內角和的一般方法，從而為后續得到多邊形內角和公式掃除障礙，同時幫助學生加深了對內角和意義的理解。

（二）從“生活”到“數學”，發現關系

數學實驗能幫助學生通過“做”感悟和發現內隱的、不易覺察的數學規律。教師要讓學生經歷“數學化”的過程，主動溝通現實和數學之間的聯系，將外在的操作活動轉化為內在的數學思考。

例如，教學“分數和除法的關系”時，考慮到大部分學生因缺乏等分物體而得不到整數結果的活動經驗，無法想象出“3塊餅平均分成4份，每份是多少塊”，教師讓學生用圓片代替餅進行實驗。當學生的思維發生偏離，出現了“將3塊餅平均分成12小份，每人拿3小份”的情況時，教師啟發學生結合生活經驗，主動將“分3小份”和“3塊餅一起分”勾連起來思考，讓學生認識到每人得到的餅就是“一塊餅的3/4，是3/4塊餅”，實現了思維的轉化和進階。

（三）變“集中”為“發散”，引發“創思”

小學生的思維源于動作，不同的實驗方式會積淀不同的操作經驗，獲得不同的數學理解。引導學生通過數學實驗學習數學知識，是讓學生積累“做”的經驗并進行數學的轉化，變“集中”為“發散”，實現數學知識的“再創造”。教師要尊重差異，讓學生根據自身的活動體驗，用自己的思維方式表達自己的“創思”。

例如，對于“照圖1這樣擺下去，擺第n個正方形需要用到多少根小棒？”這個問題，不同的學生在照樣擺正方形活動中的感知和體驗不同：可能是以第一個正方形為基準觀察小棒的變化規律，也可能是以第一根小棒為基準觀察小棒的變化規律。教師要放手讓學生基于自身的活動體驗，得到4+3（n-1、1+3n）等不同的規律表達。當然，最后教師要引導學生溝通兩種表達之間的聯系，幫助學生建立和完善認知體系。

（四）由“一題”到“一類”，構建模型

布魯納認知表征理論指出，學生要經由“動作表征—圖像表征—符號表征”三個階段，才能真正獲得對知識的理解。通過數學實驗學習數學知識同樣如此，教師要適時拆除外在的活動“支架”，引導學生由一道題轉向一類題，逐步建立清晰的表象，最終用抽象的符號表征知識，構建數學模型。

例如，教學“表面涂色的正方體”時，先讓學生通過觀察和操作，建立起 3階和4階正方體中3面、2面、1面和0面（沒有）涂色的小正方體個數和所在位置的清晰表象。在此基礎上，形成對 5階、6階正方體表面涂色情況的猜想，并通過實驗逐一加以檢驗，進一步固化表象，從而得到表面涂色的正方體的涂色規律：將表面涂色的正方體沿著棱長等分成n份切開后，3面涂色的小正方體有8個，2面涂色的小正方體有12（n-2）個，1面涂色的小正方體有6（n-2）²個，0面（沒有）涂色的小正方體有（n-2）³個。學生經歷表象操作的過程，將感性經驗上升為理性認知，不僅發現了規律，還能用數學的語言進行抽象表達，建構出數學模型。

四、關注實驗習慣的培養

學生借助實驗學習數學知識，獲得豐富的感性經驗。這些通過對實驗材料的觀察和操作形成的經驗需要經由數學思考和理性分析，才能獲得思維的提升。教師要及時組織學生回顧和反思實驗過程，對接“活動”和“思維”，由“結果”追溯“原因”，從而提升實驗品質，培養實驗習慣。

（一）反思數據，培養嚴謹求實的習慣

實驗結論來自實驗數據，而實驗數據往往與理想數據之間存在一定的差距。反思實驗數據，能幫助學生體會數學實驗的特點，深化對數學知識的認識，培養嚴謹求實的習慣。

例如，推導圓的周長公式時，學生通過實驗操作體會圓周的長和直徑的關系，發現測算出的圓周長和直徑的商并非一個固定的數，甚至出現極端數據。這些“異常數據”常常會成為學生學習的阻力，影響公式的得出。教師如果以此為契機，讓學生基于現象深入思考，不僅能幫助學生順利完成公式推導，還能積累數學實驗的基本經驗。教師不妨順勢提問：“算出的數據各不相同，你覺得周長和直徑的商會是一個固定的數嗎？出現不同數據的原因又是什么？”引導學生反思“異常數據”，進而認識到實驗結論受實驗材料、測量工具和操作方法等一系列因素的影響，出現誤差是正常現象。

（二）反思方法，培養追根溯源的習慣

古人云：“知其然，更要知其所以然。”事實上，每個方法規律背后都有原理，有些看似不同的方法規律之間存在共通的原理。對此，教師要根據需要，及時為學生提供實驗材料，幫助學生從現象追溯本源，把握方法之間的聯系，加深對規律本質的理解。

例如，當學生發現3的倍數特征和2、5的倍數特征“不同”時，教師不妨讓學生提出質疑并借助實驗發現特征背后的原理，從而溝通3的倍數特征和2、5的倍數特征之間的內在聯系。教師可提供方塊圖作為實驗材料，讓學生擺一擺、圈一圈、看一看，發現判斷3的倍數和2、5的倍數的方法本質上一樣的，都是先看十位，再看個位。以12為例，十位上的1代表10，10除以2沒有余數（除以5沒有余數）；個位上的2除以2沒有余數（除以5有余數）。10除以3余1；把十位余下的1個方塊和個位的2個方塊合并，除以3沒有余數。接著，由12推廣到其他的多位數，幫助學生養成用實驗探索規律本質的習慣。

（三）反思結論，培養一致化理解的習慣

借助數學實驗探究數學問題時，由于問題背景是開放的，同一數學現象還會得出不同的數學結論。在面對多個結論時，教師要引導學生借助實驗發現結論之間的關系，形成一致化的理解。

例如，探索“一一間隔排列”規律時，學生通過實驗初步發現一一間隔排列中的規律有多種情況：如直線排列，則“頭尾相同時，兩端物體個數比中間物體個數多1”“頭尾不同時，兩種物體個數同樣多”；如封閉曲線排列，則“兩種物體個數同樣多”。這意味著，關于一一間隔排列規律，學生要掌握三個不同的數學模型。對此，教師可以在學生得到排列規律后追問“能不能只記一種”，引導學生通過實驗操作，用“一一對應”的思想統一三個數學模型，認識到“首尾不同時，兩種物體正好一一對應”“首尾相同時，則一一對應后多出一個”，而封閉曲線排列的兩種物體變成直線排列后與首尾不同直線排列是一樣的。

五、關注實驗成果的評價

學生是否通過數學實驗理解了數學知識，能否將實驗探究的基本方法和操作技能等遷移至新情境，需要進行科學評估。為此，教師要設計相應的評價問題，考查學生運用數學實驗探究數學知識的意識和能力，并根據學生的表現相機引導，修正或完善對知識的理解，強化實驗探究要點。改造問題各要素，變換情境、內容和要求等，是常見的評價方式。

（一）改造背景結構，評估理解的深刻度

同樣的研究要素，同樣的實驗方式，在不同的問題背景結構下，會產生不同的數學規律。

例如，釘子板上多邊形的面積大小由邊上點子數和內部點子數兩個變量決定，且關系比較復雜。學生可能對規律的掌握“只得其形而未得其神”。對此，教師可以在學生找到規律后，改變釘子板的結構，將釘子板上每一個單位形狀由“□”改為“△”，讓學生利用剛獲得的探究經驗再次探索釘子板上多邊形的面積計算公式。這樣的“改造”，不僅能幫助學生固化實驗方法，還能讓學生感受到控制變量的實驗方法對于探索復雜規律的價值。

（二）改變研究對象，評估方法的靈活度

學生是天生的探索者，對于數量之間“變”與“不變”的規律充滿了好奇。教師可以通過改變研究對象，讓學生遷移應用得到的實驗結論、方法解決新的問題，從而評估學生思維的靈活度。

例如，在學生發現“3的倍數特征”后，教師提問“還有什么問題嗎”，進一步激活學生探究的熱情，同時針對學生提出的“還有哪些數的特征也和3的倍數特征一樣看各位上數的和”相機引導，讓學生對10以內未知倍數特征的數（4、6、7、8、9）進行實驗探究，進而發現9的倍數也具備相同的特征，強化二者之間的聯系。