從“數(shù)學本質”視角看“三角形中位線”

廣州市花都區(qū)教育發(fā)展研究院(510800) 王進

新課標(2022 版)強調以學生發(fā)展為本,以核心素養(yǎng)為導向,要求整體把握教學內容,強化數(shù)學本質的理解.本次課標修訂中的課程內容架構,呈現(xiàn)實施以“大概念”、“大單元”理念為主要理論支撐的課堂教學設計.“核心素養(yǎng)”、“核心知識”、“大單元設計”等一系列在課標中高頻出現(xiàn)的詞匯,其共同指向的就是要抓住學科的本質,數(shù)學課堂教學需要從零散概念中,理清數(shù)學知識的內在邏輯,提煉出數(shù)學的本質問題,這樣才能將能設計出符合學生深度學習需求的數(shù)學課堂[1].筆者在執(zhí)教“三角形的中位線”一課時,基于數(shù)學知識內在邏輯,基于深度學習需要,基于數(shù)學知識本質,從“數(shù)學本質”分析為切入點,理清“三角形的中位線”知識的內在邏輯,設計數(shù)學味濃、邏輯性強、注重素養(yǎng)的深度學習課堂.

1 數(shù)學本質一: 三角形中位線是“三角形”和“平行四邊形”的“橋梁”

我們認識特殊圖形的邏輯往往是: 由整體到局部、化未知為已知,在平行四邊形的學習中我們是由定義推導出平行四邊形的性質和常用判定.在研究過程中,我們往往做輔助線的方法將平行四邊形轉化為三角形.反之三角形我們可以通過“中位線”的分割,找到三個平行四邊形.所以其數(shù)學本質為: 平行四邊形轉化為三角形易研究;三角形用中位線分割可轉化為平行四邊形(而且也分割成四個全等三角形)[2].

1.1 基于數(shù)學本質的探究活動一: 引入三角形中位線的定義

1.1.1 聯(lián)系實際與舊知: 回顧平行四邊形的研究思路

師問: 前幾節(jié)課我們研究哪些知識?

答: 研究了平行四邊形的定義、性質、判定

師問: 在由平行四邊形推導其性質和常用判定時,我們往會作怎樣的輔助線? (可提示: 如何由“兩邊平行”推導到“兩邊相等”的)

答: 作對角線來構建全等三角形

師總結: 在研究平行四邊形時往往轉化為三角形來研究

1.1.2 畫圖感受,發(fā)現(xiàn)問題

(1)畫一畫: 按要求畫圖.①把平行四邊形面積兩等份;②把平行四邊形面積四等份;

學生常用等分方法一:

學生常用等分方法二:

【對比以上方法】

讓學生分析利弊: 大部分學生都會選擇連對角線,這樣是利用平行四邊形圖形特點,較容易操作,而分割成平行四邊形需要取中點、平移線段,相對麻煩.

以上研究結論: 平行四邊形轉化為三角形是常用、可行、易操作的研究問題方式.

1.1.3 引導學生逆向思考

(1)今天我們來逆向思考,你能否將三角形分割成面積兩等份和四等份?

(2)畫一畫: 按要求在以下畫圖區(qū)畫出圖形

【學生常有的分割方式】

面積兩等分

面積四等分

面積四等分

教師引導: 能否分成四個形狀和面積都一樣的圖形? (如上圖)

總結在研究平行四邊形時往往會轉化成三角形,因為轉化為三角形后易研究,而三角形中位線的可將其分成四個全等的三角形,這里可以找到三個平行四邊形,這種分割是對三角形的一種完美的分割.

1.1.4 給出三角形中位線定義

如上右圖,ΔABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,連接DE.像DE這樣,連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2 數(shù)學本質二: 三角形中位線的研究是從局部(三角形)回歸到整體(平行四邊形),呈現(xiàn)了數(shù)學問題的對立和統(tǒng)一

三角形中位線既是對三角形的特殊線段的研究,也是將三角形的問題回歸到平行四邊形問題的一種路徑.如下圖方式一: 三角形的三條中位線完美的分割成四個全等的三角形,同時也得到三個平行四邊形,方式二: 一條中位線分割成一個三角形和一個梯形,可拼成一個平行四邊形.之前是“整體”到“局部”,現(xiàn)在是“局部”到“整體”,這也體現(xiàn)了數(shù)學問題的對立與統(tǒng)一.

方式一:

可得.ADFE、.BFED、.DFCE.

方式二:

可得.ADFE,.DFC B.

2.1 基于數(shù)學本質的探究活動二: 探索三角形中位線定理

教師提問: 觀察DE為ΔABC的中位線,DE與哪條線段存在特殊關系?

教師引導學生: 兩條線段的關系往往可以從“位置”與“數(shù)量”思考.

2.1.1 提出數(shù)學問題

如圖: 在ΔABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,

求證:DE//BC,DE=

2.1.2 思路自然生成

思路一: 從平行入手

經(jīng)驗告訴我們“判別平行”往往從“角相等”(同位角、內錯角、同旁內角)來入手,而證明角相等可通過證全等,但此時的同位角(如: ∠ADE與∠B)所在的ΔADE與ΔABC并不全等,需其他思路.

思路二: 從線段長短入手

長線段與短線段的倍數(shù)關系,可將長線段截短或將短線段延長,構建全等三角形,證明線段相等.

①將長線段截短(如圖思路二①)此時又多了一條中位線,證全等的難度增加.

②將短線段延長(如圖思路二②),可構建易證的全等三角形,可理解為將ΔADE旋轉至梯形DBCE右側,構建出平行四邊形,是可行的方法.

2.1.3 嚴格規(guī)范論證

證明如圖,延長DE到F,使DE=EF,連接CF.

∵AE=CE,∠1=∠2,

∴ΔABC∽=ΔCDA(SAS),

∴∠3=∠F,AD=CF,

∴CF//BD,又∵AD=BD,∴CF=BD,

∴四邊形BCFD是平行四邊形,∴DF//BC,DF=BC.

∴DE//BC,DE=

3 數(shù)學本質三: 中位線定理提供了證明線段平行和線段成倍分關系的根據(jù)

對于三角形(這個三條線段圍成的閉合圖形)內部線段的研究,我們研究的順序是: 三角形三邊(線段兩端都在頂點),再到三角形內的特殊線段及中線、高、角平分線(線段一端為頂點,另一端在邊上),再到三角形中位線(兩端均在邊上).中位線定理也就是為“兩端均在邊上中點”這一特殊情況提供了推理位置關系、數(shù)量比例關系的根據(jù).

3.1 基于數(shù)學本質的探究活動三: 三角形中位線定理的運用

【鞏固新知】已知: 如圖,在ΔABC中,中線BD、CE相交于O,點F、G分別是OB、OC的中點.求證: 四邊形EFGD是平行四邊形.

【思路生成】

4 反思與總結

數(shù)學知識方面: 學了三角形中位線定理及其運用數(shù)學素養(yǎng)方面(四個一): ①一個技能: 證明線段平行和線段成倍分關系的方式根據(jù).②一個方式: 觀察、猜想、論證是研究數(shù)學問題常用的方法.③一個思想: 轉化思想.將三角形的問題轉化為平行四邊形來解決.④一個道理: 數(shù)學問題的對立與統(tǒng)一.研究圖形往往從整體(平行四邊形)到局部(三角形),也可以由局部(三角形及其中位線)回歸整體(平行四邊形).

5 .結束語

新課標(2022 版)實施后,對于教師的數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)要求更高了,我們需理清數(shù)學內在邏輯,抓住數(shù)學本質,才能在零散概念中提煉出核心問題來,共同構成學科的有機整體;才能有效引導學生發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決數(shù)學問題;才能將有限的、深層次的重要觀念進行有意義的聯(lián)結;才能讓學生真正經(jīng)歷深度學習,最終落實學生的核心素養(yǎng)[3].