以建模為主線聚焦核心素養

方舒祎　章建榮

摘要：文章以培養學生數學建模核心素養為例，選取北師大版高中數學必修二教材中的三角函數習題進行建模設計，使學生在整節課中充分參與數學建模的各個環節，促進學生對數學基礎知識的掌握和內化。

關鍵詞：三角函數；數學建模；核心素養

數學習題可以幫助學生鞏固課堂學習內容，是學生發展數學核心素養的重要途徑。因此，教師要在把握高中數學習題課的教學特點和核心內容的同時，對學生進行針對性引導，使學生能夠積極、主動地投入習題課的學習中，從而提高數學習題課的教學效果，發展和培養學生的數學思維，實現學生的全面發展。

數學建模是對現實問題進行數學抽象，要求用數學的眼光觀察實際問題，用數學的思維思考實際問題，用數學的語言提出問題，建立模型，檢驗結果，完善模型，最后達到運用數學模型解決實際問題的目的。基于此，筆者以培養學生數學建模核心素養為目的，進行習題課的教學設計。

筆者選取北師大版高中數學必修二教材中三角函數習題中的“貨船進出港時間問題”，并進行改編，在原題目的基礎上增加了適量符合實際問題的數據，幫助學生找到合適的數學模型。同時，筆者在原題目的基礎上增加了卸貨問題，使得問題情境更加符合現實情況。在教學過程中，筆者引導學生合作討論，開展探究式學習，并為學生準備坐標紙等教學工具，幫助學生厘清數學建模的主要環節，從而建立正確的三角函數模型。在這個過程中，學生能有效鍛煉分析數據、處理數據的能力，提高數學運算能力和數學語言表達能力，數學建模核心素養也能得到培養。

一、教學內容分析

“貨船進出港時間問題”是北師大版高中數學必修二教材第一章三角函數復習題中的問題，考查的是三角函數的簡單應用。三角函數作為刻畫周期變化規律的重要模型，是培養學生數學建模核心素養的有效載體。“三角函數的應用”是三角函數概念、圖象、性質等知識的應用和延續，筆者以潮汐現象作為引入，選擇學生能夠理解且較為熟悉的貨船進出港情境，通過數學建模的探究活動，提高學生的數學應用能力和數學建模核心素養，同時促進學生對三角函數相關知識的理解和運用，并為后期學習回歸分析奠定好基礎。

二、教學目標分析

基于教學內容和學生的學情，筆者設置本節課的教學目標如下：第一，結合實際案例，學生學會將實際問題抽象為三角函數模型，并用三角函數知識解決問題；第二，學生經歷完整的數學建模過程，明晰數學建模的基本流程，體驗三角函數的應用價值，感悟數學知識與生活之間的聯系。

三、教學重點與難點分析

本節課的教學重點為三角函數的建模與應用。本節課的教學難點為根據實際問題選擇合適的數學模型刻畫變量關系。

四、教學過程設計與實錄

（一）自然現象的情境導入

筆者播放視頻《錢塘江大潮》，由著名潮汐現象——錢塘江大潮引入新課。筆者再播放視頻《潮汐現象產生的原因》，讓學生了解這個神奇的自然現象產生的原因。

設計意圖：筆者以生活中的自然現象導入，調動學生學習的積極性，讓學生感受大自然的神奇和魅力，深化學生的愛國情懷。此外，學生通過科普視頻了解潮汐產生的原因，能促進學科間知識的交融，并了解到潮汐現象是一個周期現象，為后續的數學建模作準備。

（二）合作探究數學建模（課堂實錄）

1.聚焦問題，探究變量

筆者提出三個問題。問題1：通過視頻可以了解到潮汐現象一天出現幾次？有什么特征？問題2：這里有兩張港口在漲潮和退潮時的延時攝影圖片，請大家仔細觀察圖片，找一找在漲潮和退潮過程中有哪些量在改變？問題3：貨船應該選擇什么時候進港，什么時候出港？

設計意圖：在整個教學過程中，筆者引導學生用數學眼光看實際情境，用數學的思維思考問題；通過分析每天漲潮與退潮的次數，為后續數學建模提供依據；通過引導學生選擇合適的變量進行研究，方便后續建立符合情境的數學模型；通過分析問題得出為了避免擱淺，貨船要選擇合適的時間進出港，從而得出需要研究水深與時間的關系的結論，自然而然地進入如何解決實際問題的下一環節。根據這三個問題，教師將實際情境中的問題變成了研究數學變量間關系的問題，培養學生分析問題的能力。

2.收集數據，梳理變量

探究活動1：為了了解一天中某港口水深隨時間的變化需要收集哪些數據？在探究完成后，教師給出這個港口17個整點所對應的水深，如表1所示。

探究活動2：如何研究時刻與對應水深這兩個變量之間的關系？

設計意圖：筆者引導學生學會用數學思維分析變量關系，了解建立數學模型的前提是針對實際情景找出合適變量，然后針對變量收集數據，再根據數據分析變量關系。當學生得出變量間有函數關系后，筆者帶領學生回顧函數知識，得出運用圖象研究函數的結論。這個過程環環相扣，培養了學生分析問題、解決問題的能力。

3.圖象直觀，刻畫變量

在本環節，筆者向學生發放印有網格直角坐標系的學案，學生通過小組合作將給出的17組數據畫入該直角坐標系中，完成畫函數圖象中描點的環節，并請一個小組代表上臺展示。

設計意圖：學生利用圖形直觀感受到隨時間的變化，水深呈現“初始位置－漲潮－平衡位置－落潮－平衡位置”的兩次周期變化。

4.數據優化，模型擬合

探究活動3：如何擬合函數模型？

學生完成畫函數圖象過程中的連線環節后，思考兩個問題：第一，用直線將相鄰的兩點連接，用分段函數大致反映水深隨時間的變化可行嗎？第二：如何更準確地刻畫水深隨時刻的變化情況？

教師發放有49個數據的散點圖的紙張給各個小組，請學生再次進行連線，每個小組請一個學生展示圖象并說明理由，選擇y=Asin（ωt+φ）+h的函數來擬合水深與時間之間的函數關系。

設計意圖：這是數學建模環節最關鍵的一步，通過兩個思考問題，學生學會通過分析散點圖得出兩變量的變化趨勢，并緊扣周期性找到合適的函數模型，擬合兩變量之間的函數關系，明白三角函數是研究周期現象的重要模型。

5.數學建模，確定參數

學生合作探究完成參數的求解過程后，筆者請一個學生講述求解過程，并最后歸納數學建模的主要環節，即聚焦問題、探究變量；收集數據，梳理變量；圖象直觀，刻畫變量；數據優化，模型擬合；數學建模，確定參數。

設計意圖：在利用現實數據的時候，筆者合理地優化數據，方便計算和研究，提高學生的數學運算能力，在學生得到函數模型后，筆者帶領學生再梳理一遍數學建模的具體過程，再次感受數學建模思想，加深學生對數學建模的認識。

（三）學以致用，數形解模

實際應用1：一般情況下，船舶航行時船底與海底距離不小于4.5米時是安全的，如果貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，那么該貨船什么時間段能夠安全進港？

設計意圖：筆者讓學生感受三角函數的應用，體會數學應用于生活的過程。在解決問題的過程中，筆者始終引導學生運用數學語言來表示情境中的變量關系，將實際問題轉化為數學中的解不等式問題，并在解數學不等式的過程中，呈現出一題多解的過程，培養學生的發散思維。

實際應用2：對某條貨船而言，其相應吃水深度為7米，安全間隙是4.5米，該船在2∶00開始卸貨，12個小時內要卸完貨，吃水深度以0.375米/小時的速度減少，即便沒有卸完貨也要及時駛入深水域，該貨船應該在什么時刻停止卸貨？

設計意圖：本題需要選擇合適的函數模型來刻畫吃水深度關于時間的函數關系，再次數學建模，培養學生數學建模的核心素養。這個環節強調實際情境中的2∶00開始卸貨應該如何用數學語言表示，培養學生將實際問題轉化為數學問題來解決的能力，能提高學生分析問題、解決問題的能力。不僅如此，在解決數學問題時，學生能再次感受數形結合解決復雜函數不等式的解題方法。

（四）課堂小結

回顧整節課，學生先欣賞了自然現象，得出了實際問題，然后通過收集數據、分析數據、模型擬合進行數學建模，最后利用模型解決問題。整個過程蘊含了數形結合的數學思想，涉及的數學核心素養有數學建模、數學運算、邏輯推理。

（五）課后作業

筆者布置課后作業：“南昌之星”摩天輪總高度為160米，直徑為153米，同學們可以利用周末的時間去體驗一下。當坐上摩天輪后，你能大致計算出自己在不同時刻距離地面的高度嗎？請嘗試數學建模得出離地距離關于時間的函數模型。

五、課堂反思

筆者通過選取教材習題中的“貨船進出港時間問題”，讓學生感受數學建模思維形成的“數學化”與“再創造”過程。筆者對教材中的習題進行改編，不僅增加了數據數量，使學生充分感受兩變量之間的變化規律，還增加了卸貨時間問題，更加貼近現實生活，讓學生感受到數學來源于生活又應用于生活。在教學環節中，筆者為學生準備坐標紙，讓學生充分參與數據的整理環節，通過實際情況結合散點圖感受周期性，從而選擇合適的函數模型刻畫變量之間的關系。

在本節習題教學中，筆者采取分組合作探究教學法，使學生充分感受數學建模的主要過程，并且體驗三角函數的應用價值，感悟數學與生活的關聯性。

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基金項目：江西省教育科學 “十四五”規劃2022年度課題“高中數學‘一課四研教研范式的研究”的研究成果，項目編號：22PTZD035。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一中學）