圖形概念形成中直觀想象的運(yùn)用

李苗苗 吳曉敏

摘 要：直觀想象在圖形的認(rèn)識中有著重要的作用。圖形概念形成中直觀想象的運(yùn)用，可以借助感知與抽象的策略，具體有直觀描述、觀察理解、想象推理三個(gè)層次。由此，《平行與垂直》一課的教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷如下三個(gè)環(huán)節(jié)：由“畫”到“說”，借圖形特征發(fā)展直觀描述水平；由“一”到“多”，借圖形辨析發(fā)展觀察理解水平；由“聚”到“聯(lián)”，借圖形要素發(fā)展想象推理水平。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；直觀想象；圖形概念；平行與垂直

一、直觀想象與圖形的認(rèn)識

直觀想象是認(rèn)識事物的基本方式。作為直觀想象的重要載體，圖形是數(shù)學(xué)研究的基本對象之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用圖形可以簡單、直接地描述問題，探索和形成思路，尋找和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，記憶和理解知識以及建立良好直覺，把握本質(zhì)規(guī)律。

學(xué)生對圖形的直接感知是直觀的，但對圖形的特征描述等數(shù)學(xué)概念認(rèn)知則是抽象的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對空間圖形的認(rèn)識，往往是根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，在直接觀察的基礎(chǔ)上，加以想象、抽象的過程。簡言之，學(xué)生借助空間形式觀察、想象圖形的形狀大小、位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律，最終推理得到圖形的具體特征等抽象概念。

圖形是空間表征的重要形式，是直觀的載體、想象的源頭。由此可見，直觀想象的關(guān)鍵就是感知、發(fā)現(xiàn)圖形與分析、解讀圖形，進(jìn)而理解和掌握圖形的要義。因此，在圖形教學(xué)中，恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感知圖形、分析圖形，將圖形反映出的數(shù)量關(guān)系直觀化并進(jìn)行想象加工，是進(jìn)一步建構(gòu)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題、發(fā)展直觀想象能力的關(guān)鍵路徑之一。

二、策略要義

一是感知。感知是意識對內(nèi)外界信息覺察、感覺、注意、知覺的一系列過程。感知可以分為感覺過程和知覺過程。感覺能夠反映物體的屬性，如通過眼睛、耳朵等感官看、聽。知覺是把感覺到的物體的各個(gè)屬性有機(jī)結(jié)合起來，成為一個(gè)整體的過程。二是抽象。抽象是從眾多的事物中抽取出共同的本質(zhì)特征，舍棄非本質(zhì)特征的過程。具體地說，抽象就是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，對豐富的感性材料，通過去偽存真、去粗取精、由表及里地加工制作，形成概念、判斷、推理等思維形式，從而反映事物的本質(zhì)和規(guī)律的方法。［1］

學(xué)生通過對圖形的直觀感知，經(jīng)過大腦的加工想象，抽象出本質(zhì)含義，最終習(xí)得知識，發(fā)展能力，便是圖形概念形成中直觀想象運(yùn)用的一種策略。具體可以闡釋為直觀描述、觀察理解、想象推理三個(gè)層次。

直觀描述是指根據(jù)事物的外表形狀確認(rèn)和操作幾何對象，把圖形看成一個(gè)直觀的整體，將自己感受到的事物的形態(tài)與變化用語言表達(dá)出來，并在思維中形成視覺表象。

觀察理解是指對既有感知經(jīng)驗(yàn)的再現(xiàn)。觀察是知覺的高級形態(tài)，是有目的、有計(jì)劃、較持久的知覺過程。在直觀感受和語言描述后，通過對幾何圖形的觀察以及特征的分析、歸類，對圖形的性質(zhì)等有一定的理解與掌握。

想象推理是指在感知觀察幾何圖形變化發(fā)展的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷知識的擴(kuò)展、猜想、驗(yàn)證，推理得到圖形的變化趨勢、發(fā)展規(guī)律，并加工形成自己的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知的過程。

三、實(shí)踐案例

現(xiàn)以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊《平行與垂直》一課為例，具體闡述圖形概念形成中直觀想象運(yùn)用的感知與抽象策略。

本課的教學(xué)內(nèi)容主要是探究同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，它以認(rèn)識線和角等概念為基礎(chǔ)，是后續(xù)學(xué)習(xí)平行四邊形和梯形等內(nèi)容的基礎(chǔ)。基于對教材前后連貫以及學(xué)生直觀想象發(fā)展的思考，本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)可以這樣確定：借助直觀的實(shí)物或圖形，依托空間想象能力，探索同一平面內(nèi)兩條直線不同的位置關(guān)系，進(jìn)而理解和掌握平行概念與垂直概念，發(fā)展空間意識和直觀想象素養(yǎng)。

雖然教材在編排上結(jié)合了動手操作與生活情境，但總體來說，內(nèi)容的抽象性仍然較強(qiáng)，對學(xué)生的幾何直觀、空間觀念要求較高。由前測（結(jié)果如下頁表1所示）了解到，無論是對“平行”還是對“垂直”，學(xué)生的理解尚停留在表面，且有一些偏差。具體來說，多數(shù)學(xué)生雖然能畫圖表征平行，但認(rèn)識比較粗淺，表現(xiàn)為畫出的平行大多數(shù)是橫平的兩條線，偶爾會出現(xiàn)縱向、斜向的情況；部分學(xué)生只畫了一條水平的線，表明他們對平行的前概念是“平的線”。另外，多數(shù)學(xué)生不能畫圖表示垂直，錯(cuò)誤地將垂直理解為一條豎直往下的線等；而部分畫對的學(xué)生，也說不清楚什么是垂直。

基于以上對教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的分析，我們嘗試借助感知與抽象策略，逐步展開本課的教學(xué)。下面，以“平行”的教學(xué)為例具體說明。

（一）由“畫”到“說”，借圖形特征發(fā)展直觀描述水平

從直觀的圖形到關(guān)于特征的語言描述，是認(rèn)識事物、抽象概念的基礎(chǔ)。平行這樣的圖形概念在生活中不單獨(dú)存在，需要借助事物來表征。因此，學(xué)生需要有一個(gè)由經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知到數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展過程。

【教學(xué)片段1】

教師提出任務(wù)：你覺得什么是“平行”？請?jiān)诜礁窦埳袭嬕划嫛?/p>

學(xué)生完成后，教師呈現(xiàn)學(xué)生的作業(yè)（如圖1所示），并提出要求：請你根據(jù)自己的作品，同桌互相說一說什么是平行。

學(xué)生同桌交流后，教師組織全班反饋，并要求思考：把兩條直線無限延長，它們?nèi)匀黄叫袉幔恳龑?dǎo)學(xué)生想象“直線無限延長”的動態(tài)過程，隨后課件演示。

……

平行線是同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的一種表現(xiàn)。很多教師在教學(xué)時(shí)，會從研究兩條直線的位置關(guān)系入手。這里，由“借助方格畫平行線”入手，打破傳統(tǒng)“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)方式，采用喚起認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、完善改造經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式，不失為一種教學(xué)創(chuàng)新。以上教學(xué)過程體現(xiàn)了兩個(gè)層次的引導(dǎo)：一是引導(dǎo)學(xué)生畫“平行”，展示自身經(jīng)驗(yàn)中的圖形認(rèn)識水平，初步感知平行線的特點(diǎn)；二是引導(dǎo)學(xué)生用口頭語言描述“互相平行”，將具體的圖形意象提煉為語言意象，繼而對已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思辨和完善。

（二）由“一”到“多”，借圖形辨析發(fā)展觀察理解水平

觀察理解是數(shù)學(xué)思維形象化的表征，一般通過觀察、操作和描述等行為表現(xiàn)出來。為了更好地幫助學(xué)生認(rèn)識平行，要引導(dǎo)學(xué)生從更多的圖形中獲取觀察理解的經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)片段2】

教師結(jié)合學(xué)生初步獲取的經(jīng)驗(yàn)，組織學(xué)生完成下面的練習(xí)：

1.觀察圖2中的各個(gè)圖形，判斷哪些是平行線。

2.觀察正方體模型，判斷兩條直線的位置關(guān)系：先看同一平面上的兩條直線，再看不同平面上的兩條直線。

這里，從觀察平面圖形而后判斷到觀察立體圖形而后判斷的逐層推進(jìn)，均在引導(dǎo)學(xué)生觀察更多的平行線，豐富直觀感知經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，也在有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過交流探討，發(fā)展觀察理解水平。特別是對異面直線的判斷，既需要對同一平面上平行線概念的理解，又需要對不同平面上直線的想象推斷；是在直觀經(jīng)驗(yàn)較為豐富的基礎(chǔ)上的進(jìn)一步歷練，有意識地提高了認(rèn)識的難度。

（三）由“聚”到“聯(lián)”，借圖形關(guān)系發(fā)展想象推理水平

學(xué)生理解平行概念后，需要在更復(fù)雜的圖形背景中聯(lián)系相關(guān)概念（如垂直）進(jìn)行綜合應(yīng)用，從而借助圖形關(guān)系發(fā)展想象推理水平，使直覺思維與邏輯思維相互協(xié)調(diào)、相互融合。

【教學(xué)片段3】

教師提出以下問題，讓學(xué)生思考回答：

1.圖3中哪些線互相平行？請說明理由。

2.你在生活中見過平行嗎？想想其中蘊(yùn)含著什么道理？

問題1是數(shù)學(xué)概念的直接應(yīng)用，讓學(xué)生結(jié)合平行概念的要素，從眾多線段中尋找互相平行的位置關(guān)系。一是需要對平行概念的理解，二是需要借助圖形要素分析判斷兩條直線之間的位置關(guān)系。如線段AF與BC的平行關(guān)系，需要借助同時(shí)垂直于直線CG推理得出。

問題2是數(shù)學(xué)概念回歸生活的應(yīng)用，考查學(xué)生對平行概念掌握的深度和廣度以及發(fā)散思維。學(xué)生可能舉出直線跑道的分隔線、竹竿水平掉進(jìn)水里引起的水面波紋等例子，進(jìn)而思考（猜測）其背后的道理。這一過程中，不僅可以利用實(shí)物印證，而且可以不利用實(shí)物，完全通過想象來確認(rèn)和說明。

總之，圖形在生活中不是孤立存在的，而是依附于具體的事物展現(xiàn)出來的，因此，感知與抽象是認(rèn)識圖形的重要過程；當(dāng)然，對圖形的感知與抽象需要空間想象做支持，因此，認(rèn)識圖形的過程往往也是直觀想象應(yīng)用與發(fā)展的契機(jī)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 馮回祥.思維方法與數(shù)學(xué)教學(xué)［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2018：100.