大膽猜想，小心求證

潘越

摘 要：在從數學史、數學經典問題中找尋猜想驗證的素材時，發現了“莫比烏斯環”。它是一種典型的拓撲圖形，學生對其剪、裁、折之后的狀態較難想象，必須通過實驗來求證自己的猜想，從而經歷猜想、求證、反思、提升的全過程。基于素材本身的特性，以及求證的方式契合小學生的思維水平，設計了《莫比烏斯環》拓展課，展示猜想與求證的思維力量。

關鍵詞：小學數學；猜想；求證；莫比烏斯環

弗賴登塔爾說：“真正的數學家常常憑借數學的直覺思維作出各種猜想，然后加以證實?！痹谡n堂中，教師也常引發學生提出猜想并嘗試求證，可有時發生得并不自然：學生往往已知結果，要么假裝猜想，要么佯裝舉幾個例子，這樣少了猜想的興趣，也沒了求證的驚喜。在實踐中，如何尋找到一個合適的內容，既可以充分激起學生猜想的欲望，又便于開展求證的活動，這是困擾一線教師的難題?；诖耍覀儗ｉT設計了一節《莫比烏斯環》拓展課。

一、課前思考

在從數學史、數學經典問題中找尋素材時，發現了“莫比烏斯環”。它制作簡單，就是把一根紙條一端翻轉180°后，兩端粘接起來做成的紙帶圈，但它有著神奇的特性，并在生活和生產中廣泛應用。這恰好為學生的大膽猜測提供了可能。莫比烏斯環是一種典型的拓撲圖形，學生對其剪、裁、折之后的狀態較難想象，必須通過實驗來求證。

學生的猜想和求證過程如果不夠順利、難以精彩，很大一部分原因是受限于他們的思維水平。在整個小學階段，學生逐步從形象思維過渡到抽象思維，但仍具有很大的“具體性”，要開展抽象的演繹推理是比較困難的。于是，就有了課堂中大量通過舉例來驗證的合情推理。關于“莫比烏斯環”的猜想，都可以通過實驗來求證，方便操作又直觀可見。

二、課堂實錄

【片段1】 嘗試與感受：初識莫比烏斯環的形態

（出示小螞蟻在普通紙環中吃面包的視頻。）

師 小螞蟻如果在紙環上一直爬，在不翻過邊緣的情況下能吃到面包嗎？

生 當然不能，小螞蟻和面包在不同的面上。

生 螞蟻在外面，而面包在里面，不翻過邊緣肯定吃不到。

師 你能制作一個紙環，讓小螞蟻在不翻過邊緣的情況下吃到面包嗎？

生 普通的紙環，就是兩頭對接。我就先做一個普通紙環，然后把紙條的一端擰一圈（翻轉180°）再對接，螞蟻就能吃到面包了。

生 我在兩端對接的時候，把藍色面和白色面接到一塊兒，這樣就把兩個面打通了，螞蟻就能吃到面包了。

師 真厲害！剛剛就有同學說了，我們制作的環叫作“莫比烏斯環”。它是由德國數學家莫比烏斯發現的。一天，他在玉米地里，看到了玉米葉的旋轉曲線，按照這樣的曲線做成了紙帶，就有了莫比烏斯環。今天，我們就一起來探索它的神奇。

［教學思考：本節課從小螞蟻吃面包的情境引入，提出一個挑戰，充分引起了學生研究的興趣。學生在動手操作中初識莫比烏斯環。積累的活動經驗，為之后的學習打下基礎。］

【片段2】 比較與深思：理解莫比烏斯環的特征

（學生4人小組合作完成任務。內容如圖1所示。）

做一做：制作普通紙環和莫比烏斯環各一個。

想一想：兩種環有什么區別？在莫比烏斯環中，螞蟻為什么能吃到面包？

1.在對比中理解兩個面如何變為一個面

生 我們制作了普通紙環和莫比烏斯環。它們的制作過程不同：普通紙環直接將兩端粘上，莫比烏斯環是將紙條旋轉了一圈之后粘上的。

生 我們發現普通紙環有兩個面，而且它們沒有交集。但我們在莫比烏斯環上畫了螞蟻吃到面包的軌跡，螞蟻先在白色的面上爬，爬著爬著，到了交界處就會爬上藍色的面，這兩個面是聯通的。

生 我想給大家總結一下：普通的紙環有兩個面，而莫比烏斯環把兩個面變成了一個面。

師 只有這一種做法嗎？

生 我感覺莫比烏斯環有很多很多種，不管怎么擰，只要藍色的面和白色的面相接就可以了，擰三圈、五圈、七圈……只要是奇數圈就可以。

生 對。我們組嘗試了擰兩圈的，白色面就又和白色面相接了。這樣，螞蟻還是只能爬一個面。擰三圈可以是因為藍色面和白色面又相接了。

師 討論得真充分！是的，只要是奇數圈，都符合莫比烏斯環的定義，它的本質就是將兩個面聯通。我們完成了一個看似不可能完成的挑戰！

［教學思考：莫比烏斯環的神奇源自它的特征——只有一個面。在這個環節中，學生通過做、畫、比等方式，充分經歷、體驗、感受、理解這一特征。］

2.在生活中尋找莫比烏斯環的影子

師 剛剛有一個同學提到，生活中好像做不出來莫比烏斯環，但我們就真實地做出了這樣的紙環。生活中有莫比烏斯環的應用嗎？

生 我們在游樂場中玩的過山車會做成莫比烏斯環，這樣比較刺激！

生 莫比烏斯環有旋轉，所以更刺激。但我想，這不僅僅是因為刺激，莫比烏斯環能轉完一圈之后又回到起點，下一次可以接著玩，比較省事。

生 我不同意。那做成普通環，像小螞蟻爬的那樣，也能回到起點呀！

生 我覺得做成莫比烏斯環比較劃算：都能回到起點，普通環只走了一面的路程，但莫比烏斯環能繞兩面的路程。用同樣的材料，莫比烏斯環能走的路程是普通環的兩倍。

師 “劃算”這個詞用得真好?。ǔ鍪緢D2）不僅僅是過山車，還有工廠中傳送用的皮帶也會做成莫比烏斯環。

生 這樣可以提高傳送帶的使用壽命。普通環只能磨損一面，很快就壞了，莫比烏斯環能讓兩面均勻磨損，使用壽命是普通環的兩倍。

生 我還發現，如果這樣看，莫比烏斯環特別像數學中“無限”的符號。如果小螞蟻在這個環里一直爬，會無窮無盡地一直循環。

師 真好！看來我們的生活中到處都充滿了數學的元素。（出示圖3）“可回收”的標志我們也隨處可見，你現在能在其中看到莫比烏斯環的影子嗎？

……

［教學思考：學生在一開始交流莫比烏斯環在生活中的應用時，話題是狹窄、單一的。當對過山車做了充分的討論之后，他們豁然開朗：數學就在身邊。這是拓展課可以帶給學生的新視角。學生在討論中，也進一步理解了莫比烏斯環只有一個面的特點。］

【片段3】 探究與深化：感受莫比烏斯環的神奇

1.嘗試大膽猜想與小心求證

師 將莫比烏斯環沿著中線剪開，會怎樣？

生 我猜會變成兩個環。

生 我感覺應該變成一個更大的莫比烏斯環。

生 我想可能是兩個套在一起的環。

生 我感覺很難想象，我們可以動手去求證一下。

（學生動手求證并交流。）

生 真的是一個大的莫比烏斯環。

生 我怎么感覺不太像莫比烏斯環呢？旋轉得有點多，有點像我們之前研究的擰兩圈后的環。

師 那怎么可以驗證它是不是莫比烏斯環？

生 我們可以從一個點畫起，看能不能繞完一圈。

生 我驗證過了，可以從一個點畫完回到這個點。而且，我看這個接口也是藍色和白色接在一起的。所以，應該就是莫比烏斯環。

生 我也驗證了。但大家看，雖然從一個點畫了一圈又回到了這個點，但把紙條翻一下，我們可以看到有一個面沒有畫到。而且，這個時候不能再看接口了：被剪開之后，有兩個接口，不準確了。

生 和我們剛剛的猜想都不一樣，太神奇了。

［教學思考：對一個較為經典的拓撲模型，學生依據經驗與感覺提出了不同的猜想。此時，學生是主動要求并且迫切想要動手求證的。剪開莫比烏斯環后，學生又一次根據經驗進行猜測，求證后紛紛驚嘆，看著像莫比烏斯環的紙帶竟然只是多擰了一圈的普通紙環。猜想與求證的過程一波三折，結果更是大相徑庭。這給學生帶來較強的沖擊，為建立科學嚴謹的“猜想—求證”思維模式打下了很好的基礎。］

2.在反思中開啟更為豐富的探索

師 同學們，再一次感嘆莫比烏斯環的神奇之后，我們簡單回顧一下這節課的探索。從開始嘗試制作到了解莫比烏斯環，尋找生活中的應用，隨后又進行實驗，能聊聊你的收獲嗎？

生 我覺得剛剛的實驗太讓我印象深刻了，猜想之后一定要通過實驗來求證。

生 對，尤其是最后證明它根本就不是一個莫比烏斯環。我們的求證要嚴謹，不能根據感覺，而要有理有據。

生 我之前一直以為莫比烏斯環是一個離生活很遠的模型，沒想到它竟然有這么多的應用。我感覺數學和生活的聯系很緊密。

師 是呀！其實我們的學習就是這樣，從猜想開始，再去求證，然后反思，就有了提升，又可以開始新的猜想，就像莫比烏斯環一樣不斷地前進。下課鈴聲響起不是我們研究的終點，甚至可以說只是我們研究的起點。關于神奇的莫比烏斯環，你還想提出什么樣的猜想？

生 把一分為二得到的大環再一分為二呢？

生 如果把莫比烏斯環沿著三等分線剪開呢？

生 四等分線呢？

生 什么情況下能剪出莫比烏斯環，什么情況下會剪出普通環，有規律嗎？

生 將多個莫比烏斯環連在一起，一塊兒剪，會得到什么？

……

［教學思考：適時停下回顧反思，學生的感悟是充分的，收獲是巨大的。將研究和學習的過程嵌入莫比烏斯環，幫助學生建立“猜想—求證—反思—提升”的研究范式。］

三、課后反思

（一）鼓勵大膽猜想：樂于猜、敢于猜、善于猜

猜想是創造性思維的起點，基于已有的經驗提出合理的猜想，能夠提升學生的數學思維和創造力。本節課給予學生充分的猜想空間，每一個環節的活動都從學生的猜想開始。

嘗試與感受環節，引導學生思考：小螞蟻在不翻過邊緣的情況下，能吃到面包嗎？鼓勵學生借由對普通紙環的認識突破常規思維，改變紙環的形狀。學生的思維得以發散，一些有趣的想法由此產生。

比較與深思環節，基于已經制造成功的莫比烏斯環，引導學生猜測：要使小螞蟻吃到面包，只有一種做法嗎？促使學生萌生“擰兩圈”“擰三圈”甚至“擰更多圈”的想法，從而更加深刻地理解莫比烏斯環將兩個面合成一個面的特征。基于研究的經驗，暢想“生活中有莫比烏斯環的應用嗎”。學生的生活經驗被激活，思維火花被點燃，創新的熱情也隨之喚醒。

探究與深化環節，提出：將莫比烏斯環沿著中線剪開，會怎樣？學生在感悟莫比烏斯環的神奇后，提出了不同的猜想，樂于猜，敢于猜，也更善于猜。在猜想的同時，早已按捺不住想要求證的欲望。

猜想活動貫通整個課堂，研究的知識與方法旁通曲暢。課堂的最后，學生意猶未盡，他們的猜想將從課堂延伸至課后。

（二）引導小心求證：勤動手、講依據、會推理

小學階段對莫比烏斯環奧秘求證的方法，基本離不開動手操作。本節課提供給學生動手實驗的紙條是教師精心設計的：紙條的兩面是不同的顏色，一面是藍色，另一面是白色，面包和小螞蟻分別在正反兩面。這為學生提供了研究的抓手以及語言描述的輔助。普通環的接口處，藍色面和藍色面對接，白色面和白色面對接，故有正反兩個面；而莫比烏斯環，藍色面和白色面交叉連接，打通兩個面的過程在學材中有了直觀的體現。也正是因為學具提供的抓手，學生才自發有了對莫比烏斯環的拓展研究，意識到擰奇數圈都可以將紙環的兩個面打通。這就是莫比烏斯環的本質。

隨后求證將莫比烏斯環沿中線剪開的過程，更是一波三折。剪開后的圖形看起來像是一個新的莫比烏斯環。但到底是不是呢？在大膽猜想的引領下，學生動手操作，將上一個環節現場習得的方法遷移至此；小心求證的過程講依據，隨后通過推理發現這個圖形是擰了兩圈的紙環，不符合莫比烏斯環的特征。學生經歷了完整的猜想、求證的過程，積累了數學活動的經驗，體驗了數學學習的思想與方法，自然地樹立了“大膽猜想，小心求證”的科學探究態度。

本節課的探索與深化環節，既形成了一次具體的“猜想—求證”實驗范式，同時引導學生停下來回顧反思，將研究和學習的過程嵌入莫比烏斯環中，感悟學習的過程常常是從猜想開始再去求證，在此基礎上反思、提升。

一節課的學習絕不是研究的終點，甚至應是研究的起點。這一節課對莫比烏斯環的研究也只是打開了一個大門。課后，鼓勵學生以小組為單位提出個性的猜想，記錄小組的研究過程并形成研究報告，在班級中匯報展示。從這節課不難看出，學生已經初步樹立了“大膽猜想，小心求證”的科學探究態度，也逐步形成了“總想發現點什么”的創新意識與科學探究的習慣。拓展課甚至每一節數學課，都應該帶給學生想要鉆研、熱愛思考的習慣，促進他們更有力地學。17-18，24-25，27-31，33，35-36，39，51，69，75，78-79，83-85