直觀想象的水平表征與發展路徑

【編者按】 直觀想象是數學學科核心素養的重要表現之一。它本質上是一種基于圖形展開想象的思維能力，但它不僅體現在“圖形與幾何”領域的學習中，還蘊含在利用“圖形與幾何”領域的知識，理解其他領域的知識，解決各種數學問題的過程中。近一年多來，費嶺峰老師帶領的團隊圍繞“直觀想象”這一主題開展了一系列研究，既對直觀想象的內涵及水平表征做了深入剖析，還就針對相關學習內容運用直觀想象的策略要點方面總結了一些經驗，形成了一些典型案例。本期《專題研究》欄目刊發的5篇文章，是他們這一階段研究成果的集中呈現。

摘 要：直觀想象是基于數學學習的內容特點、過程方法提出的數學核心素養之一。其內涵可以從事物感知的方法、概念理解的手段與問題解決的策略等三個維度來解讀。其發展可以劃分為感受描述、直觀分析與想象構建等三個水平。其發展路徑包括：在圖形概念的形成中感知與抽象，在圖形運動的學習中變化與比較，在數概念的建構中借形理解，在數學問題的解決中轉化與建模。

關鍵詞：小學數學；直觀想象；幾何直觀；空間想象；圖形

直觀想象作為高中階段的數學核心素養，是基于高中數學學習的內容特點、過程方法提出的，指“借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養”［1］；在小學階段，可以分解為幾何直觀和空間觀念［2］。考慮到“幾何直觀”與“空間觀念”的聯系，我們整體關注“直觀想象”，結合小學數學的內容，嘗試在課標闡述的基礎上，厘清水平表征，明晰發展路徑。

一、直觀想象的內涵解讀

從詞語的組成上看，直觀是指通過感官直接接觸到事物、感受到形象的感性認知方式；想象是指基于某種信息材料，在腦海中浮現出新的形象的思維方式。直觀與想象合起來就是借助直接感受到的事物的某些要素，經過大腦處理形成新的形象的認識事物方式。也可以說，直觀想象“本質上是一種基于圖形展開想象的思維能力”［3］。

具體而言，可以從三個維度加以解讀：

（一）作為事物感知的方法

數學與生活密切相關。許多數學知識來源于生活，是在對生活現象的觀察與對現實問題的解決中逐步抽象而來的。因此，對事物的感知是數學學習的起點。學生也正是在對事物的感知中，真切感受到數學知識的學習與生活經驗、對生活現象的認識存在著密不可分的聯系。在數學學習中，常?？梢浴敖柚鷰缀沃庇^和空間想象感知事物的形態與變化”，從而獲取知識、解決問題。

比如，在探索解決如“在一條長100米的道路一邊每隔5米種一棵樹，至少需要幾棵樹”這樣的問題時，可以借助直觀形象的線段圖來分析、厘清情境內容；在觀察感受到“教室地面的面積大約是60平方米”后，可以推斷“學校操場的面積大約是多少平方米”；等等。當然，小學階段許多幾何圖形的形狀、大小，都可以看作是在對生活中的物體觀察感知的基礎上抽象概括而成的，在感悟事與形之間、形與形之間、形與數之間等關系時也會經歷這一過程。

（二）作為概念理解的手段

數學概念一般具有高度的抽象性，這給學生的理解帶來一定的難度。于是，我們可以“利用空間形式特別是圖形，理解數學問題”。比如三角形高的定義：“從三角形的一個頂點到它的對邊作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對邊叫作三角形的底?！比绻麅H靠文字，學生對定義中的“頂點”“對邊”與“線段”等關鍵詞的理解還是相對抽象的。如果結合一個畫有高的三角形圖（如人教版小學數學四年級下冊第61頁的圖，可以畫1條高，更好的是畫3條高），學生便很容易理解三角形高的含義。

事實上，直觀想象手段的運用還經常會出現在“數與代數”領域內容的學習中。比如，對于分數、小數等數概念，一般會結合生活情境與直觀圖形，幫助學生認識與理解其含義。當然，像乘法分配律這樣相對抽象的數學規律同樣可以借助直觀想象的手段來認識與理解。

（三）作為問題解決的策略

“利用空間形式特別是圖形”，還可以“解決數學問題”。事實上，“畫數學”已經成為幫助學生分析與解決數學問題的重要手段。

“平行四邊形面積”的學習就是一個典型的例子。學生探索平行四邊形面積計算方法的過程中，出現了兩種典型方法：一是通過剪拼將平行四邊形轉化成一個與其同底等高的長方形，然后用“長×寬”計算長方形的面積，因為這里的長就是平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高，因此平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算；二是通過拉動將平行四邊形轉化成一個四邊長度不變的長方形，然后用“長×寬”計算長方形的面積，因為這里的長和寬就是平行四邊形的鄰邊，因此平行四邊形的面積可以用“鄰邊相乘”來計算。兩種方法看似都有道理，但是相互矛盾。這時，可以引導學生通過想象、結合畫圖，完整呈現轉化過程，分析發現：“鄰邊相乘”的方法是錯誤的，因為在拉動的過程中圖形的面積擴大了；而“底×高”的方法是正確的，因為在割補的過程中圖形的面積沒有變。

二、直觀想象的水平表征

基于直觀想象內涵中的關鍵詞“直觀”“想象”“感知”“理解”“解決”等，可以結合數學活動、學習發展的過程，把直觀想象素養劃分為三個水平。

（一）水平一：感受描述

這是直接觀察獲得感性經驗的第一步，是直觀想象素養發展的基礎水平。此水平具體表現為：能夠將通過感官感受到的事物的形態與變化用語言表述出來。比如，看到某個裝零食的長方體的盒子，知道像盒子那種形狀的圖形就是長方體，并能夠描述出長方體的基本特征：6個面，每個面都是長方形，相對面的形狀、大小看起來是相同的；兩個面相交的地方有一條邊，相對邊的長度是相等的。從認識事物的水平來看，“感受描述”層次的直觀想象還是對感受到的“事物的形態與變化”的最直接反應，等同于認知能力水平的“直感”。而從思維過程來說，“感受描述”需要經歷信息的輸入與輸出的轉換，即將感官感受到的信息經過加工，用數學語言表達出來，因此，在直觀想象素養的發展中有著重要的定向作用。

（二）水平二：直觀分析

此水平的表現是：在前一水平直觀感受積累了豐富的“事物的形態與變化”經驗的基礎上，對感受到的“事物的形態與變化”有一定程度的理解與分析。這個階段既有感官經驗的再現，更有自身理解狀態的展現。實際表現一般會出現兩種情況：一種以圖形的認識為學習目標，即基于圖形的形態特征，對圖形的性質等有一定的理解與掌握；還有一種是將圖形作為理解與分析的手段，過程中也會有結合圖形特征的描述，但重點關注非圖形事物的本質或關系。前者如“圓的認識”學習中，學生通過對一個紙片圓的操作探索，如采用折一折、量一量、畫一畫等方式探究，發現一個圓中的所有半徑都相等，所有直徑也都相等。后者一般體現在借形理解的內容中，如數的概念，無論是低年段認識整數，還是中高年段認識分數、小數，教材一般都會在基于現實場景的“實際量”的基礎上，以圖形符號等引導學生認識具體的“數”，從而幫助學生建構數與量、數與形的關系，更加立體地理解數的概念。

（三）水平三：想象構建

發展直觀想象素養的基礎是直觀感受，而最終目標則是能夠借助直觀與想象，經歷對數學知識的抽象、理解，建立分析、解決數學問題的基本路徑。其中，想象構建是要求較高的一種表現，即在積累了相應的形的經驗、數與形的聯系以及一些物體的空間位置關系的認識的基礎上，借助形的特征，分析數學知識之間的內在聯系，形成一定的結構化認識能力。當然，這樣的認識水平一般體現在數學抽象、數學推理、數學建模等綜合運用知識，形成高階思維水平的數學活動中。比如，學生有了長方形、正方形、平行四邊形和三角形、梯形等平面圖形的面積計算經驗后，通過一種圖形的面積計算方法［如“梯形面積=（上底+下底）×高÷2”］勾連起這幾種平面圖形的面積計算方法之間的關系。這一活動因為有相應的圖形特征的回憶，也需要圖形動態變化的想象與思考；有相應的幾何直觀的經驗再現，也需要一定的空間想象作為支持，綜合性較強，顯然是學生直觀想象素養較高水平的體現。

三、直觀想象的發展路徑

直觀想象素養，需要在日常數學知識學習、問題解決的過程中，有策略、有路徑地發展。根據直觀想象的內涵，它首先可運用于“圖形與幾何”領域（關注空間形式）知識的學習，其次可運用于“數與代數”領域和“統計與概率”領域（從根本上看，關注的都是數量關系）知識的學習中，此外可廣泛地運用于數學問題的解決中。具體地，在“圖形與幾何”領域知識的學習中，對“圖形的認識”，運用直觀想象的關鍵是感知與抽象；對“圖形的運動”，運用直觀想象的關鍵是變化與比較。在“數與代數”領域知識的學習中，運用直觀想象的關鍵是借形理解。在數學問題的解決中，運用直觀想象的關鍵是轉化與建模。由此，我們提出直觀想象素養發展的四條重要路徑。需要指出的是，因為分類標準不完全一致，這四條路徑可能會有一定程度的交叉，但是，它們顯然有各自的側重。

（一）在圖形概念的形成中感知與抽象

這是基于圖形認識內容的直觀想象素養發展路徑。嚴格意義上講，數學中的幾何圖形在生活中都是借助“物”而存在的。比如，學生看到的長方體、正方體一般都是以生活用品的形式出現的：長方體形狀的餅干盒，正方體形狀的魔方，等等。平面圖形更不會獨立存在，而是數學抽象的結果。實際教學中，教師引導學生認識這些圖形時，一般也會借助生活中的物品，組織相應的動手操作活動，引導學生通過一定的觀察，在發現的基礎上，歸納出相應圖形的特征。這樣“看得見、摸得著、構得成”的過程，就是數學學習中典型的感知與抽象過程，也是發展直觀想象素養的重要過程。

作為圖形概念形成的基礎，感知與抽象是數學學習過程性目標達成以及數學活動經驗獲得的必要過程。實際學習中，對事物的“感知”是必要的基礎性活動，一般需要經歷“單一物”的感知、“多個物”的感知以及共性特質的關聯梳理等三個認識層次。而“抽象”一般會表現出兩種不同的維度：一是直接抽象出圖形，如長方體、正方體、圓柱、圓錐等，便是基于生活中一些物品的共性特質抽象得出的立體圖形；二是感悟圖形之間的關系，如有了立體圖形面的特點的感知，通過描畫的過程抽象出相應的平面圖形。具體如長方體中的某個面，因其是四邊形，且4個角都是直角，所以依照這個面描畫下來的圖形就是長方形；如果這個圖形中的4條邊也正好相等，那么這個長方形就比較特殊，是正方形。這個過程中，便蘊含著平面圖形與立體圖形的關系，以及平面圖形內部之間的關系。

（二）在圖形運動的學習中變化與比較

靜態觀察、單獨認識當然是數學學習的一種基本方式，但在運動變化中學習數學更能幫助學生系統建構數學知識，有利于學生形成整體思維。直觀想象便蘊含著動靜結合的價值。典型例子如“點動成線，線動成面，面動成體”，由此我們很容易認識到點、線、面、體之間的關系，還可以體會到圖形的認識離不開對圖形基本要素的把握。

在圖形運動的學習中，直觀想象素養的發展核心是基于動態變化，通過相互比較，把握數學知識中“變”與“不變”的實質。這一過程一般表現為兩種形式：一是研究對象整體的運動，二是研究對象某些要素的運動。當然，不管哪一類運動，都會有圖形的形態變化吸引學生做深入的研究。前者如第一學段中“認識立體圖形”的學習：學生在觀察的基礎上，借助操作活動，結合運動特征，對立體圖形的一些要素有感性認知，如長方體、正方體、三棱柱等幾何體的面是平的，可以在一個平面上作平移運動；由圓柱與球可以在平面上滾動，能夠感受到圓柱有一個曲面，球是曲面圖形。這樣的操作比較活動不僅使學生初步認識了長方體、正方體、圓柱等立體圖形，還能讓學生體會到這些立體圖形之間的不同之處。后者如上文在直觀想象水平三中所舉的例子：利用動點規律，溝通幾種平面圖形面積計算公式之間的聯系，為學生從整體上認識平面圖形面積，掌握面積計算方法提供幫助。

（三）在數概念的建構中借形理解

數學知識中，數與形的關系是密不可分的。這不僅僅表現在數學知識的結構上，也表現在數學學習的過程中。數形結合是學生認識數或認識形時常用的學習方法。借助形的支撐，理解數的含義、把握數之間的關系，形成數概念結構，已經成為一線教師的共識。

當然，從直觀想象的意義來看，借形理解既是手段，又是目的。數學概念的建立，需要“多通道”“多結構”“立體”實現。所謂“多通道”，即手到、眼到、心到地多種感官參與學習過程，在動一動、看一看、想一想等活動中豐富感性經驗，從而讓抽象的數學知識形象起來、生動起來，變得可感、可悟、可用。所謂“多結構”，則指向數學知識的不同表征方式，既可以是純數學的表達，也可以是物象的表示，還可以是符號化及圖形的表征。比如，乘法分配律的學習中，“一套衣服”“一對課桌椅”是物象表征，兩個長方形的組合是圖形表征，字母表達式則是符號表征，雖然載體不同，但內在結構卻是一樣的。最后的“立體”體現在學習的進程中，因為有通道的多元、結構的多樣，形成知識的過程便不是線性的，也不是平面的，而是多維度、多向度的。這也正是借形理解助力學生數概念建構的意義所在。

（四）在數學問題的解決中轉化與建模

在解決數學問題時，直觀想象一般是與轉化、建模等數學基本方法整合在一起應用的，特別注重“圖形的轉化”與“模型的建立”，以形成相應的解題方法與相關的活動經驗。實踐中，可以運用于不同領域內容的學習，常表現為轉化得到兩種不同層次的直觀模型：一種為思維模型，表現為動態化的、過程性的；另一種為形式模型，表現為工具化的、結果性的。無論哪一種模型，其建構的目的均指向數學問題的解決。

“轉化”的思維模型可以表述為思考問題的過程，即我們平時經常說的化歸思想，有化難為易、化繁為簡、化新為舊等。從直觀想象的意義上看，這種轉化的過程一般通過圖形的運動變化來實現，比如平面圖形面積計算方法的探索、圖形特征的認識與性質的理解，等等。

“轉化”的形式模型更多為簡約的、結構化的法則、公式等求解典型問題的工具。模型的獲取很多會蘊含在典型問題的探索過程中，目的在于為解決相似的問題提供幫助。比如，對于上文談到的“植樹問題”，可以通過例題的解決初步梳理出三種結構（兩端都種，一端種、一端不種，兩端都不種），借助圖形的直觀明晰不同問題的結構特點，從而形成相應的解決策略。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：6.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：7.

［3］ 徐德同，錢云祥.基于質量監測的初中學生直觀想象發展狀況的調查研究［J］.數學教育學報，2017（1）：22.