數學問題解決中直觀想象的運用

凌璐予

摘 要：直觀想象是分析和解決數學問題的重要手段。數學問題解決中直觀想象的運用，可以融合轉化與建模的策略，經歷數形轉化、模型建立等過程，借助直觀模型，獲得解決實際問題的一般思路與方法。由此，《計算經過時間》一課的教學，可以引導學生經歷如下三個環節：自主轉化，初步建立問題解決的直觀模型；引導轉化，深度理解問題解決的直觀模型；多元轉化，變式豐富問題解決的直觀模型。

關鍵詞：小學數學；直觀想象；問題解決；計算經過時間

一、直觀想象與數學問題的解決

直觀想象可以建立數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，是分析和解決數學問題的重要手段。尤其是對以直觀形象思維為主的小學生來說，可以利用圖形簡單、直接地描述和刻畫數學問題（包括實際應用問題），借助幾何直觀和空間想象認識和理解問題，從而把握問題本質，形成解題思路與方法。特別是對比較復雜和抽象的數學問題來說，通過直觀想象來解決，能起到事半功倍的效果。

二、策略要義

一是轉化。轉化又稱化歸，即采用某種手段，把一個有待解決的問題轉變成已經解決或比較容易解決的問題，從而使原問題得以解決的一種策略。［1］二是建模。建模是指通過抽象、簡化，運用數學知識、語言，建立近似的數學模型（一般化、可遷移的數學本質），進而解決實際問題的一種策略。直觀想象支持下的數學問題解決中，轉化是建模的前提，建模是轉化的提煉，兩者相互作用。使用轉化與建模策略，一般要經歷“幾何直觀—數形轉化—數學抽象—模型建立—模型運用—方法內化”過程，通過以形助數、以形助形等轉化策略，利用直觀圖形表達抽象的數量關系，建立直觀的思維模型與形式模型，讓抽象的問題形象化，得到解決問題的一般思路與方法。

三、實踐案例

現以人教版小學數學三年級上冊第一單元《時、分、秒》的第二課時《計算經過時間》為例，具體闡述數學問題解決中直觀想象運用的轉化與建模策略。

“計算經過時間”是生活中常見的數學問題，包括不跨時、到下一個整時、跨時三種類型的計算。雖然教材循序漸進地編排問題類型，符合學生的認知規律，但是經過的時間不同于可視的長度，也不同于可感的質量，它是動態、抽象的，對以具體形象思維為主的三年級學生來說，具有一定的難度。課前，我們用三類問題的具體例子（每道題可以寫多種方法）對學生進行檢測，結果如表1所示。

可以看到，三道題的正確率逐漸下降，選擇列式方法的人數占比也明顯下降。這表明，多數學生還不會以“數學運算”這一純抽象的方法來解決“計算經過時間”問題，他們對時間點的認知強于對時間段的感知，因此，簡單地認為結束時刻與開始時刻的差就是經過的時間，出現“9：40-9：20=20（分）”“940-920=20（分）”這樣的錯誤表征方式。但是，給足學生思考的時間（想到幾種寫幾種）后，很多學生還是會用畫鐘面、時間尺的方式來外顯自己的思維過程。

因此，教學中，可以引導學生借助直觀想象支持下的轉化與建模策略，通過明確形與數（量）的聯系，實現抽象與形象、無感與可感之間的轉化，進而建立直觀模型，探索解決問題的思路與方法。

（一）自主轉化，初步建立問題解決的直觀模型

【教學活動1】 計算不跨時活動經過的時間

教師提出問題：“幸福嘉年華活動中的一些活動的時間安排是這樣的。跳跳球游玩時間為8：10—8：45。跳跳球可以玩多長時間？”多數學生不假思索地喊出：35分。教師請學生說說是怎樣得到的。學生說出算式：45-10=35（分）。教師又請學生用其他方法驗證這樣算對不對。很多學生用畫鐘面（如圖1所示）或時間尺（如圖2所示）的方法，5分5分地數出了經過的時間是35分。教師用課件動態演示學生畫圖數出經過時間的過程。

這一活動實現了兩個層面的目標：

一是基于前測發現的學生認知起點，抓住三年級學生的表現欲，讓學生計算跳跳球游玩經過的時間，激發學生探索的興趣，激活學生已有的經驗，促使學生自發使用多種方法理解什么是經過的時間，展現解決問題的過程。

二是在交流方法的過程中，學生將式轉化為形，溝通計算思維與圖形思維，通過畫圖（鐘面、時間尺）初步建立直觀模型，清楚地看到時間經過留下的痕跡，體驗到時間的長短，建立起“經過時間”的表象（并非時間點的相減，而是時間段的長度），從而真正理解“經過時間”，強化思維過程，解決計算問題。

（二）引導轉化，深度理解問題解決的直觀模型

【教學活動2】 計算跨時活動經過的時間

教師繼續提出問題：“降落傘游玩時間為8：45—9：20。降落傘可以玩多長時間？”學生嘗試解決后交流。有學生回答：45-20=25（分）。對此，有學生點頭贊同，有學生提出不同的想法以及相應的困難：應該是20-45，可是減不了。教師順勢提出問題：減不了怎么辦？有了之前的活動經驗，很多學生想到畫鐘面（如圖3所示）或時間尺（如圖4所示），借助整時化繁為簡，分兩段跳著數出了經過的時間是35分。由此，教師用課件在鐘面上動態拉出時間尺（如圖5所示），引導學生得到（理解）算式：60-45=15（分），15+20=35（分）。

這一活動在兩個層面做了思考：

一是創造性地處理教材，讓問題更具挑戰性。教材在通過例題讓學生計算7：30-7：45經過的時間后，給出“做一做”，讓學生計算8：40-9：00經過的時間。雖然計算8：40-9：00經過的時間是難點，60分需要學生想象出來，但是，根據前測結果，接近60%的學生能列式算出正確結果，可見多數學生知道9：00就是8：60。由此，學生并不能很好地感悟整時在計算經過時間中的重要性。于是，將9：00改為9：20，讓學生在驗證計算不跨時的經過時間可以用“分”直接相減后，嘗試計算跨時的經過時間，從而突破思維定式，發現問題本質，感受整時的重要性。這里，用“分”直接相減不夠減引發認知沖突，使學生不得不思考其他方法，特別是畫圖方法來解決問題。

二是差異化呈現學材，讓學生對直觀模型的認識更深刻。計算8：45—9：20經過的時間時，學生又想到了畫鐘面或時間尺的方法，從而對8：45—9：20分段轉化為8：45—9：00—9：20有了直觀的感知。此時，在鐘面上動態拉出時間尺，學生便會借助直觀模型，思考算式的列法與含義。在算式與圖形的充分溝通中，學生不僅理解了直觀模型的內涵，更明確了如何利用直觀模型分析和解決問題。

（三）多元轉化，變式豐富問題解決的直觀模型

【教學活動3】 跟進練習

教師出示跟進練習：“9：55—10：30經過了多長時間？10：40—11：15經過了多長時間？用喜歡的方法記錄思考過程。”有的學生用時間尺記錄計算過程，但更多學生沒有借助時間尺，而直接列式計算。交流反饋時發現，其實直接列式計算的學生心中也有一把無形的時間尺在幫助他們思考。

在學生理解計算經過時間的算理后，安排跟進練習讓學生熟練算法，用喜歡的方法把想法記錄下來，旨在鼓勵學生對問題進行多元轉化。學生能從畫有形的時間尺到“畫”無形的時間尺，表明他們真正理解了計算經過時間的方法本質。［2］

【教學活動4】 拓展練習

教師出示拓展練習：“義賣活動時間1：20-3：05，義賣活動經過了多長時間？用喜歡的方法記錄思考的過程。”學生出現了兩種不同的算法：（1）60-20=40（分），40+5=45（分）；（2）1小時=60分，60-20+60+5=105（分）。教師引導學生想象相應的時間尺，在對比中認識到：第一種算法是機械模仿之前練習的算法，分成兩段計算；第二種算法才真正理解了經過時間的實質，根據具體問題的特點分段計算。

跟進練習中時間段的“時”都是相鄰的，一成不變的題型易造成學生的機械模仿，因此在拓展練習中，設計時間段的“時”不相鄰，旨在幫助學生突破思維定式，從模仿到創造。由此，引導學生比較不同的算法，走向思維的深處，體會“計算經過時間”問題萬變不離其宗，都可以借助直觀想象化數為形、建立模型來解決。

總之，借助直觀想象，通過轉化與建模，可以很好地將抽象的時間形象化，凸顯思維的過程，明晰問題的本質，提高學生分析和解決實際問題的能力。

參考文獻：

［1］ 許瑞平.巧用轉化策略，優化數學思維［J］.江西教育，2021（3）：45-46.

［2］ 薛躍東.借助幾何直觀 解決實際問題——“求簡單的經過時間”教學片斷與思考［J］.小學數學教育，2019（1/2）：81.