數學史融入數學教學的若干思考

摘要：數學史之于數學教學的價值由數學史的具體內容決定，如數學思想發(fā)展史促進認識數學學科的發(fā)展規(guī)律，數學重大發(fā)現、發(fā)明的歷史背景形成教學的問題情境，數學問題研究的歷史過程促進體驗數學家的思維方法，有趣的歷史故事激發(fā)數學學習的內在動力等。數學史融入數學教學要重視對數學史進行認知分析、文化分析并結合學生的認知水平，也要重視數學史上的“情節(jié)”以及典型困難、失敗與錯誤，還要形成體系。數學史融入數學教學的基本策略包括先行組織、情境借用、故事再現、寓古于今等。

關鍵詞：數學史；數學教學；HPM

將數學史的相關材料自然地融入數學教學過程，是值得重視的課題。說其值得重視，一是其確實在促進學生深刻理解數學本質，提升數學教學效果方面，有著非常重要的意義；二是這個課題盡管研究時間并不晚，但更多的是相關研究者在做研究，研究成果的應用并不廣泛，對實際教學的影響并不突出，確實存在較多的難點需要突破。本文是筆者對數學史融入數學教學的若干思考。

一、數學史融入數學教學的價值

不少學者對數學史融入數學教學的價值（功能、作用）有過研究，并取得了很多成果。比如，汪曉勤教授從對教師、學生的作用兩個方面做了較為系統的闡述。［1-2］筆者認為，這方面的研究需要更加深入，因為它能夠決定數學史融入數學教學實踐路徑的選擇與拓展。數學史之于數學教學的價值由數學史的具體內容決定，因此，從數學史內容的類別方面展開研究是一條可行的思路。

（一）數學思想發(fā)展史促進認識數學學科的發(fā)展規(guī)律

數學思想發(fā)展史是數學學科發(fā)展的主線，體現了數學科學發(fā)展的脈絡。重要數學思想的發(fā)展脈絡理應成為數學教學的重要內容。因為知道了數學思想的前世今生，就能夠從整體上認識數學發(fā)展的規(guī)律，較為深刻地理解數學知識的本質。比如，從小學到高中，學生在初等代數的學習過程中，經歷了“數”從正整數到復數的完整建構過程。因此，在學習的過程中將歷史的過程有機再現，可以使學生對“數”的發(fā)展過程中經歷（蘊含）的數學觀念創(chuàng)新、數學哲學思想衍化、數學理性精神追求等有深刻的體驗。

（二）數學重大發(fā)現、發(fā)明的歷史背景形成教學的問題情境

數學發(fā)現、發(fā)明的歷史背景往往構成數學知識（思想）生長的推動力。數學教學如果不利用這個推動力，學生就無法真正經歷知識生成的真實思維過程。正如萊布尼茲所言：“了解重大發(fā)現，特別是那些絕非偶然，經過深思熟慮而得到的重大發(fā)展的真正起源是極為有益的。”［3］教學過程中，最好的問題情境就是數學的歷史背景，它是提升學生發(fā)現和提出問題能力、培養(yǎng)學生創(chuàng)新和創(chuàng)造能力的最好載體。而且，數學史中的背景最能體現學科融合，因為，數學的起點往往是自然、社會中的問題，這些問題本身就是綜合的，如微積分之于物理學，三角函數之于天文學。

（三）數學問題研究的歷史過程促進體驗數學家的思維方法

具體數學概念、方法等的歷史思維過程，特別是數學家研究相關問題的思維過程，數學內容形成的沿革（如不等號符號化的思維方式：從文字表示、形象化表現到至善至美的符號等）是設計問題、啟發(fā)思維的良好素材。可以這樣認為：數學史就是數學過程，它既能激發(fā)學生像數學家一樣思考，又能讓學生在經歷數學的再發(fā)現、再創(chuàng)造的過程中感受數學文化的力量。

（四）經典的數學問題形成完整的問題解決過程

經典的數學問題（如斐波那契數列問題、哥尼斯堡七橋問題、三等分角問題等）可以形成完整的問題解決過程（包括很多數學知識的發(fā)現與應用過程，且不“掐頭去尾燒中斷”）。其中蘊含數學家的思想方法，或創(chuàng)立新的數學分支，或創(chuàng)造新的數學方法，或揭示數學的本質。這些都是那些人為編制的各種訓練題所無法比擬的。將它們作為一個分支教學的背景性問題（初始問題）、一章內容的序言、學習過程中的啟發(fā)性材料以及拓展閱讀資料，都能對學生的學習起到很好的引導作用。

（五）有趣的歷史故事激發(fā)數學學習的內在動力

歷史故事（典故），包括重要數學發(fā)現的趣味性故事、傳說以及著名數學家的成長經歷、所獲成就等，都是激發(fā)學生對數學學科的學習興趣的重要素材。比如，笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的夢境、希帕索斯發(fā)現無理數而被投入大海的故事、希爾伯特旅館、集合悖論等，既可以激發(fā)學生對數學的好奇心，又能使學生為數學家追求真理、堅韌不拔的精神所感動，還能促進學生對數學的深刻理解。歷史故事具有較強的敘事性、情節(jié)性，能夠吸引學生，教學效果好。

特別值得一提的是，數學文獻，尤其是偉大數學家的原著，往往滲透了他們深邃的思想，體現出他們對客觀世界的深刻認識以及用數學語言刻畫自然和社會現象、規(guī)律的能力。向大師學習是培養(yǎng)具有數學天賦的學生的一條捷徑。

（六）數學文化史使理性精神與人文素養(yǎng)齊頭并進

數學是人類文化的組成部分，數學史與數學文化、數學史與人類文化有密切的聯系。通過數學史可以讓學生明白數學是什么，數學是怎樣產生的，數學可以干什么，數學為什么要證明，數學家是如何學習、研究的，數學家又是怎么走向數學學習、研究之路的（怎樣愛上數學的）。還可以由數學史連接初等數學與高等數學，從中管窺高等數學思想。當然，深層次認識數學史還有助于學生認識論與歷史觀的形成與發(fā)展。

二、數學史融入數學教學的難點

盡管很多教師都有在數學教學中融入數學史的意識，但是由于設計與實施時存在不少現實性的困難，導致這項工作難以常態(tài)化開展。

（一）缺少與數學教學內容相關的數學史料

一線教師熟悉的主要是祖沖之求圓周率、趙爽弦圖、楊輝三角、高斯算法、國際象棋上放麥粒等一些數學典故，另外在一些書籍（如汪曉勤教授的一些著作）、雜志上的文章中可以見到一些零散的數學史素材。但總的來說，與中小學數學教學內容相關的數學史料還是非常少的，更談不上系統性。教師沒有數學史料就如同廚師沒有食材，技藝再好也做不出好的食物。

由于本來就缺少或在歷史過程中遺失等原因，數學史料中很少有發(fā)現過程的記載，絕大多數是結論和證明，有些連證明都沒有。比如，中國古代的很多重要數學成果還需要現代數學家根據古代數學傳統，猜測可能的推導或證明思路——吳文俊教授就做了不少這方面的工作。只有極少數現代數學家曾經對自己的數學發(fā)現過程進行回溯，如龐加萊、哈密爾頓等。法國數學家雅克·阿達瑪在其著作《數學領域中的發(fā)明心理學》中介紹了幾個著名數學家回憶其數學發(fā)現（發(fā)明）的心理過程，但基本都不是中小學數學教學內容。

（二）缺少將數學史料從學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)的有效方法

數學史在數學教學中的應用研究還在初級階段，在理論體系和實施策略兩個方面都不成熟。多數情況下，數學史在數學教學中的應用就是故事敘述。

有數學家思維過程的史料在數學教學中的使用相對比較容易，大多數情況下可以直接使用。比如，牛頓對指數冪運算ax進行推廣的思維過程［4］，邦別利在一元三次方程求根公式的基礎上，由方程x3=15x+4的公式解法得到的根的形式，“迫使”他承認“負數可以開平方”這個從直觀上很難為人們所接受的觀點的一系列思維過程［5］，都可以移植到課堂上。

但是，大多數數學結論缺少發(fā)現過程的歷史記載。比如勾股定理，無論是中國古代的商高定理，還是古希臘的畢達哥拉斯定理，都只有結論，最多還有證明方法——有數百種之多。可是，“勾股定理是怎么發(fā)現的？”這個問題還是難以回答。有初中數學教材介紹，畢達哥拉斯觀察地磚發(fā)現，等腰直角三角形直角邊上的正方形和斜邊上的正方形的面積關系（如下頁圖1所示），進而發(fā)現一般直角三角形三邊的長度關系。從引導學生發(fā)現勾股定理的角度看，這當然無可厚非。但是，這個故事的可信度并不高，因為沒有充分的史實來證明這一點。中外數學史家都沒有找到畢達哥拉斯如何發(fā)現勾股定理的相關證據，只有一些猜測：畢達哥拉斯學派曾經研究過鋪地磚的問題，因此，他們有可能受此啟發(fā)而發(fā)現勾股定理。事實上，已經考證的史實是，公元前1700多年的漢謨拉比時代的巴比倫人就發(fā)現了勾股定理，并且畢達哥拉斯去過巴比倫。［6］梁宗巨先生認為：畢達哥拉斯很可能是從巴比倫人那里學來的，但從他們欣喜若狂的情況看，也不排除重新發(fā)現的可能性，或者是因為找到了證明的方法而興奮。

當然，有數學家思維過程的史料有時也不一定能夠直接用于數學教學。數學史料需要選擇、組合、改造，讓其更契合學生、貼合教學，有真問題、做真研究、傳真文化。這確實是個難點。

（三）歷史性與時代性難以有機整合

歷史時期不同，社會文化差異，如何在現代文化背景下合理、恰當地將數學史料用于數學教學，讓學生置身于歷史文化背景下，重溫數學家們的思維過程？這是不容易的。現在學生接觸的信息非常豐富，對不少內容在學習之前已有一定的了解（這就是文化背景對教學的影響）。眾多的科普讀物讓學生已經知道了一些數學結論，網絡上很多真假難辨的數學故事可能讓學生對數學產生誤解，如三角形內角和定理、等差數列求和公式及與其有關的高斯的故事等。這些都給數學教學過程的設計帶來困擾。此外，古代有價值的問題可能現在并無困難。比如，用不可達兩點的測距問題引入正弦定理和余弦定理的古代背景，因為紅外測距儀的出現而并不形成有價值的問題情境。再如三等分角問題，現在的學生很難理解其必要性。

還有，一些古代學派的哲學思想強烈影響著當時學者的數學觀，而這些哲學思想卻很難為現在的學生所理解。比如，畢達哥拉斯學派的“形數”是直觀地研究數列前若干項和的載體，在學習等差數列前n項和及高階等差數列問題時都很有啟發(fā)意義，但對當代的學生來說，很難說清楚“怎么想到研究這個東西的”。而且，古人的數學觀本身也有一些時代局限性。比如，古希臘人擅長用幾何方法研究數學問題，包括代數問題。他們研究正數的算術平均數與幾何平均數之間的關系之類的問題時，都是通過構造幾何圖形（如在半圓內構造直角三角形、拼接矩形等）說明的。［7］而有了實數理論之后，從代數式的恒等變形更容易得到相關結論。

（四）數學史上真實探究的長期性與數學教學追求的短期效益有沖突

在數學教學中運用數學史，通常要讓學生體驗當初數學家所經歷的真實的探究過程，進行真實的數學探究（從而完成數學建構），這就需要有足夠的教學時間做保證。這對急于進行解題訓練以滿足應試需要的師生而言，是不怎么愿意的。因此，有些教學過程即使運用了數學史料，也沒有讓數學史中的“情節(jié)”真正上演，而是將數學的結果用歷史的形式呈現，于是，數學課變成了歷史課，而且是只進行史實呈現的歷史課。

（五）現行教材固化了教師教學設計的思維

現行教材很少基于當初數學家的研究過程進行教學設計，即使運用了數學史，也大多以閱讀材料的方式呈現史料，并且“傳說”多于史實（據多個中外數學史家考證，就連高斯求前100個正整數和的故事的真實性，都不能得到證實）。教材對教學的示范作用是顯著的，尤其是現行教材，相對于過往的教材，內容更加具體，過程更加詳細，幾乎可以為教師教學直接使用。教材沒有在合理運用數學史方面作出應有的示范，也就難怪教師很少主動從數學史的角度思考教學過程的設計。

三、數學史融入數學教學應注意的問題

數學史料從學術形態(tài)到教育形態(tài)，不僅要強調故事性，更要重視歷史背景、歷史過程、思想方法、思維策略，體現、彰顯數學家的數學思想、數學精神，讓學生感受理性精神在數學創(chuàng)造中的巨大力量以及數學科學在促進人類文化發(fā)展中的巨大作用。

（一）重視對數學史進行認知分析

將數學史融入數學教學，僅知道與教學內容相關的數學史是遠遠不夠的，對數學史的認知分析很重要。因為數學史中的很多內容缺少完整的問題研究過程，能考證的細節(jié)非常欠缺，所以，數學家當初的認知思維需要通過合理的分析得到再現。此外，我們的學生與數學家畢竟存在多方面的差異，即使知道數學家研究的具體過程，也不一定適合現在的學生，也需要在對數學家的認知分析與對學生的認知分析的基礎上進行合理的設計。數學史認知分析的重要方法就是讀原著，因為其中蘊含了創(chuàng)造者的思想、思維。比如，教學“復數”，可以讀一下卡爾達諾的《大術》的第26章第2節(jié)《關于二次方程的虛數根》［8］和邦別利的《代數學》的第27章第1節(jié)《論虛數》［9］，再讀一讀納欣的《虛數的故事》中的相關內容［10］，從而設計出得到學生認同的虛數概念導入過程。

（二）重視對數學史進行文化分析

數學是文化的產物，常常受到當時環(huán)境和時代背景的影響。更多地了解這些方面的知識，有助于我們理解數學是如何與其他人類活動相適應的。比如，數概念的擴展過程與人類的社會生活密切相關（如自然數、分數、負數等），也與哲學、藝術等科學有緊密的聯系（如無理數），還為數學自身的知識生長需求所驅動（如復數、四元數等）。當然，其每一次擴展后又與其他學科（如物理）相結合，從而得到充分而深刻的應用，反過來又進一步為數的意義提供新的解釋（如復數的幾何意義、復數在物理學中的廣泛應用等）。

（三）學生的認知水平也很重要

數學史用于數學教學要與學生的認知能力相適應，符合認知傾向，不能以歷史替代學生思維過程的暴露。很多情況下，教學中選用的史料需要進行適當的裁剪、重組，以更具情境性、問題性的形式出現，與學生的思維起點、認知基礎相契合，從更高的數學觀點、用回溯的“追問”藝術，引導學生再發(fā)現、再創(chuàng)造。比如，對兩角和與差的余弦公式，數學史上有很多推導方法，單是幾何方法都非常多，如何找到適應學生認知水平的史料進行教學設計，需要認真推敲。特別是現代文化對學生的影響，是數學史融入數學教學必須關注的問題。對某個具體的數學內容，除了考慮當初數學家是在怎樣的背景下產生研究需求的，是如何進行研究的，還要考慮這個過程、思想、知識與方法在現實社會、生活、科技領域有哪些應用。

（四）重視收集與教學內容相關的數學史“情節(jié)”

數學家工作的具體情節(jié)是值得借鑒的寶貴資源，因為其中包含了怎么想到的、遇到了什么困難、是如何克服的等非常重要的細節(jié)，而且包含著數學創(chuàng)造、創(chuàng)新的源泉以及重要的數學思想方法和思維策略，從而可以成為課堂上學生活動“劇情”的底稿，也是培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)所必需的。比如，牛頓構造分數指數冪的思維過程對0指數冪、負指數冪、分數指數冪、實數指數冪的教學都是非常有指導意義的。有了數學史的滋潤，學生就不會為“0個a相乘、-1個a相乘究竟是什么意義？”而糾結，反而會對數學符號的價值、數學本質的統一性有深刻的認識。

（五）數學史上的典型困難、失敗與錯誤也很重要

不僅數學史上成功的研究可以為數學教學提供有益的啟示，困難、失敗與錯誤也是重要的教學資源，它們是體現數學思維過程完整性的必要補充，而且蘊含著豐富的數學思維訓練價值。了解一個概念的曲折歷史往往可以引導我們對相關的問題有深刻的理解。比如，在關于負數的基本概念形成后很長一段時間里，數學家們發(fā)現它們仍然很難處理，問題不在于如何利用這些數字來運算的規(guī)則，而在于這一概念本身，包括如何以有意義的方式解釋這些規(guī)則。歐拉就曾認為函數f（x）=xa2+x2與g（x）=a2x2+x4是同一個函數，于是對函數奇偶性的性質“一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數”產生了懷疑，并試圖對其加以進一步的限定。［11］理解這一點，有助于我們同情學生可能遇到的困難并產生共鳴。而了解這些困難在歷史上是如何解決的，也可以幫助學生找到克服困難的方法。再如，概率論研究初期，數學家們對古典概型的研究就存在較多的錯誤認識，并逐步經歷了從錯誤到有正確的思路但結論仍然錯誤，再到建立嚴謹的古典概型的過程。這個過程正是學生有可能經歷的認識過程。

（六）數學史融入數學教學要形成體系

數學史融入數學教學要納入整體設計，不是零散、孤立、點綴式的，而要具有立體、聯系和深刻性的特征，最好能完整地體現。數學史中，每一個具體的數學分支、具體的數學內容，其形成與獲得不是一蹴而就的，往往經歷了相當長的發(fā)展、演化過程。在這個過程中，也不是一個內容（知識點）本身在完善、嚴謹，而是整個數學體系、結構在完善、成型，只有體系自恰、嚴密，其部分才能準確、嚴謹。這是數學史融入數學教學要形成體系的根本原因。比如，教學“函數的性質”時，要考慮當初數學家研究的分別是哪些性質，為什么研究這些性質，是以怎樣的函數來進行研究的。

四、數學史融入數學教學的基本策略

汪曉勤教授總結出數學史融入數學教學的四種方式（附加式、復制式、順應式和重構式），并且形成了較多的實踐案例。［12-13］國外也有很多學者提出了他們的方式。比如，Tzanakis和Arcavi總結了數學史在數學教學中的三種運用方式：提供直接的歷史信息、借鑒歷史進行教學（發(fā)生教學法）、開發(fā)對數學及其社會文化背景的深刻認識。筆者這里想要提出的是將數學史融入數學課堂教學的自然過程中，讓數學史在發(fā)現與提出問題、分析與解決問題的完整過程中發(fā)揮重要作用的一些策略。

（一）先行組織：用數學思想史統攝章節(jié)、課時學習的內容和過程

在一章、一節(jié)或一課時的起始部分，將本章、本節(jié)或本課時內容的核心思想通過數學史呈現出來，用以統整一個階段的教學內容，將相應階段的教學都置于核心數學思想的引領下。

比如，在解析幾何這個數學分支的起始課，介紹笛卡兒、費馬創(chuàng)立解析幾何的初衷及過程，揭示解析幾何的核心思想：用代數方法研究幾何問題［所有問題都可以轉化為數學問題，數學（幾何）問題都可以利用方程表示，研究方程就可以知道問題的性質，從而解決所有的問題］，其關鍵在于兩個步驟，即將幾何圖形用方程表示和運用方程研究幾何圖形的性質。有了這個核心思想，直線、圓、圓錐曲線等都有了一致的研究方法和過程。［14］

（二）情境借用：引導學生重溫知識產生的歷史過程

數學知識是數學研究的產物，是將原始背景和曲折過程過濾、剔除后“純凈”的剩留物，而對教學更有價值的可能正是這些被過濾、剔除掉的過程性事物。因為，這些東西才能激發(fā)研究的興趣，體現研究的過程。

比如函數奇偶性的概念。為什么叫奇函數？為什么叫偶函數？教材上沒有說，只說了滿足什么樣條件的函數叫奇函數或偶函數。嚴謹的教學應該讓學生知道這個“為什么”。歷史上首次提出奇函數、偶函數概念的是歐拉。由于早期的函數局限于冪函數以及由其復合得到的函數，因此最早的關于奇函數、偶函數的討論都是針對冪函數以及相關復合函數而言的。歐拉提出“奇函數”“偶函數”之名顯然源于冪函數的指數或指數的分子的奇偶性：整數指數或分數指數（分母為大于1的奇數）的分子為偶數的冪函數為偶函數，整數指數或分數指數（分母為大于1的奇數）的分子為奇數的冪函數為奇函數。［15］

基于上述歷史過程，函數奇偶性的教學應該從特殊的冪函數入手，即從y=x、y=x2、y=x3、y=x-1等學生熟悉的冪函數（按教材順序，這時學生還沒有學習冪函數，但對這些特殊的冪函數有所了解）開始，考察其圖像的特征（暫時不能動手畫出的，可以用相關軟件，如“幾何畫板”畫出），探索函數滿足怎樣的條件時才能具有這樣的特征，并研究具有這樣的特征時函數解析式的結構特點，從而使概念中的“奇”“偶”形態(tài)呈現出來，讓學生自己都能作出這樣的命名。

（三）故事再現：使學生了解知識生成的合理性

教學中，需要使學生了解知識生成的合理性。在感性的、現實的素材很難為學生理解、接受時，要由數學本身的內在矛盾，通過理性精神的追求來消除困惑，了解合理性。但是，就學生的數學觀念系統、數學認知水平而言，有些數學內容還難以理解和認同。這時，可以直接提供歷史故事，形成認知沖突，進而了解合理性。

比如，在復數教學中，為了說明負數開平方的必要性（合理性），可以直接介紹意大利數學家邦別利用卡爾達諾公式求解三次方程x3=15x+4時，得到方程的三個根分別為-2+3，-2-3和32+-121+32--121，同時他通過觀察發(fā)現（現在利用信息技術作圖很容易看出）4是這個方程的解，所以他認為32+-121+32--121=4……

如前所述，對于發(fā)現、提出問題有較大難度的課題，也可以直接用故事的形式呈現史實，給出結論，再引導學生從結論出發(fā)進行回溯，探索當初數學家是怎么想到的。

（四）寓古于今：讓歷史性與時代性有機結合

一是用今天的數學知識結構和歷史的數學思想方法組織教學，從而克服歷史原型中的認知困難。比如，對數概念的產生以及對數表的構造，不管是部分數學史家認為的受三角函數積化和差的啟發(fā)，還是另一些數學史家認為的由阿基米德的等比數列與等差數列的關系想到將積、商轉化為和、差的思路［16-17］，都難以為中學生所理解。所以，現在通常的做法都是基于歐拉發(fā)現指數與對數的關系引進對數的概念（在納皮爾時代，這樣的關系并沒有被發(fā)現。或者說，創(chuàng)造對數時，還沒有研究指數函數）。筆者認為，這樣的做法是恰當的。不過，僅將“逆運算”作為引進對數的起因，并不符合數學的歷史過程，也削弱了引入對數的強大歷史動因，更反映不出對數在數學史上的地位和作用。因此，建議將轉化或降低運算級以提高運算效率作為提出課題的重要背景和目標鄭重地提出來，再結合指數冪中的指數將“比”化為“差”的功能，提出逆運算（由冪求指數）的目標要求。

二是用今天的情境背景呈現問題，以歷史的數學思想分析問題，或將歷史上的問題與今天的問題同時呈現，讓學生明晰它們本質上的一致性，再展開探索與建構。這樣，可將古今有機融合，使學生更容易理解問題，快捷地進入數學探究的過程。比如，目前的教材都是通過幾個例子（解析式、表格、圖像）引入，讓學生歸納它們的共同特征，從而建構函數的概念。這樣的方式，既沒有體現建立函數概念的必要性，又過于抽象——從怎樣的角度發(fā)現“共同特征”對學生而言是很有難度的。要引入函數的概念，就要讓學生感受變量之間的依賴關系，從而體會引進新概念的必要性。為此，可先提出問題：考古工作人員發(fā)現了一口很深的古井，從井口扔下石塊可以聽到其接觸井底的聲音，如何根據石塊降落的時間確定古井的深度呢？然后引導：偉大的科學家伽利略為研究物體下落的運動規(guī)律，設計過讓球沿一個平緩的斜面滾落的實驗。我們借助現代技術手段重溫一下伽利略的實驗：用定時攝像機和電子感應器記錄1秒、2秒、3秒……時物體的位移，從而建立位移與時間的關系s=4.9t2。為什么由這個關系式能夠根據時間確定古井的深度呢？分析：每個確定的t都對應唯一確定的s……［18］

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（石志群，江蘇省泰州市教研室，特級教師，正高級教師。全國優(yōu)秀教師，江蘇省有突出貢獻的中青年專家。曾獲江蘇省紅杉樹園丁獎。蘇教版高中數學教材副主編、分冊主編、核心編委。在省級以上刊物發(fā)表論文200多篇，其中核心期刊50多篇，被人大復印報刊資料《高中數學教與學》全文轉載35篇。）