數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根與源

郭慧清

摘? 要：課例“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”對(duì)如何在課堂上發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)進(jìn)行了富有啟發(fā)性的教學(xué)實(shí)踐. 結(jié)合課例，探討教學(xué)內(nèi)容中的概念原理、思想方法與核心素養(yǎng)之間的關(guān)系，并對(duì)如何利用這種關(guān)系發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行分析，期望所得認(rèn)識(shí)對(duì)一線教師實(shí)施高中新課程的教學(xué)有所啟示．

關(guān)鍵詞：極值與導(dǎo)數(shù)；概念原理；思想方法；核心素養(yǎng)

在高中數(shù)學(xué)新課程實(shí)施中，除了強(qiáng)調(diào)“四基”“四能”的教學(xué)外，特別重視在課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 但是，一線教師對(duì)以下問(wèn)題普遍存在疑惑：如何理解具體教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與教學(xué)內(nèi)容中的概念原理、思想方法之間是怎樣的關(guān)系？如何在日常課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？下面結(jié)合課例“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”，談?wù)劰P者在這方面的認(rèn)識(shí).

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一日之功，必須通過(guò)課堂教學(xué)中的日積月累. 因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅是整個(gè)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標(biāo)，也是單元的教學(xué)目標(biāo)，更要通過(guò)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)來(lái)體現(xiàn).

“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”一課給出的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）學(xué)生能借助函數(shù)圖象的變化感知“波峰”“波谷”“單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)”，生成極值的概念，體會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

（2）通過(guò)三次多項(xiàng)式函數(shù)的極值判斷，師生共同規(guī)范解答過(guò)程，學(xué)生能夠歸納利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法和步驟，領(lǐng)悟函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

（3）通過(guò)判斷函數(shù)[fx=x3]是否有極值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具或者數(shù)形結(jié)合方法，理解函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件和充分條件，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

（4）通過(guò)具體實(shí)例感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的意義. 通過(guò)群山起伏建立“勇攀高峰”的信心；通過(guò)“遠(yuǎn)近高低各不同”樹立全面看待事物的世界觀；通過(guò)“只緣身在此山中”體會(huì)極值與最值、局部與整體的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的全局觀，落實(shí)立德樹人的育人目標(biāo).

從上述教學(xué)目標(biāo)中，我們看到執(zhí)教教師對(duì)利用課堂教學(xué)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有充分的認(rèn)識(shí)，比較全面地給出了與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

從嚴(yán)格意義上講，每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容都會(huì)涉及《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》給出的六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的大部分，但從一節(jié)課的教學(xué)實(shí)際出發(fā)，我們認(rèn)為應(yīng)該選取與教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系最密切的、對(duì)學(xué)生的發(fā)展最有效的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)列入課時(shí)教學(xué)目標(biāo).

例如，“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”一課，通過(guò)滑雪運(yùn)動(dòng)員的滑雪路徑、跳水運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的軌跡、桂林山水等實(shí)例抽象出有升有降的函數(shù)圖象，并由此看到圖象的升降有“分界點(diǎn)”，較好地從實(shí)際情境中抽象出了極值的概念，這一過(guò)程是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要機(jī)會(huì)；利用函數(shù)圖象的升降與導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在思考、交流與辨析中建立極值與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，較好地發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；在利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算獲取函數(shù)極值點(diǎn)和函數(shù)極值的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 所以選取數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算列進(jìn)教學(xué)目標(biāo)是恰當(dāng)?shù)?，其他?shù)學(xué)核心素養(yǎng)雖然也有涉及，但不必列入課時(shí)教學(xué)目標(biāo).

因此，筆者建議將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)調(diào)整為以下三個(gè).

（1）從實(shí)際情境中抽象出具有升降的函數(shù)圖象，通過(guò)觀察函數(shù)圖象的升降及其“分界點(diǎn)”的特征，歸納和抽象出函數(shù)極大（?。┲蹈拍?，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、歸納和類比思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

（2）通過(guò)具體可導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化，發(fā)現(xiàn)并證明用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本原理，并通過(guò)實(shí)例明確基本原理中的條件是函數(shù)存在極值的充分條件，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

（3）通過(guò)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本原理求具體函數(shù)的極值，歸納、整理求極值的步驟，體會(huì)算法思想，感悟數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理之間的關(guān)系，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

二、概念原理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根，思想方法是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的源

數(shù)學(xué)知識(shí)是有層次的. 沒(méi)有數(shù)學(xué)概念，就不會(huì)有數(shù)學(xué)原理；沒(méi)有數(shù)學(xué)概念與原理，就不能形成解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想與方法；沒(méi)有數(shù)學(xué)思想與方法，就不可能讓人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以發(fā)展. 任何數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容都會(huì)涉及不同層次的數(shù)學(xué)內(nèi)容. 我們?cè)谠O(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)并進(jìn)行課堂具體教學(xué)實(shí)施時(shí)，應(yīng)該充分注意到要使數(shù)學(xué)的思想與方法寓于數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)原理的發(fā)現(xiàn)與證明及運(yùn)用數(shù)學(xué)概念與原理解決具體問(wèn)題之中. 同樣，當(dāng)一個(gè)人理解了數(shù)學(xué)的概念與原理，掌握了一定的數(shù)學(xué)思想與方法，他的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也隨之得以發(fā)展. 因此，數(shù)學(xué)概念與原理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根，數(shù)學(xué)思想與方法是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的源. 當(dāng)我們進(jìn)行某個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，首先，應(yīng)該分清其中的概念原理、思想方法，以及所涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；其次，應(yīng)該設(shè)法將發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)寓于具體的數(shù)學(xué)概念與原理、思想與方法的教學(xué)之中. 只有這樣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才不會(huì)成為一句空話，才能使數(shù)學(xué)育人成為現(xiàn)實(shí).

在“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”一課中，數(shù)學(xué)內(nèi)容的層次如下.

概念：極大（?。┲?，極大（小）值點(diǎn).

原理：若導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)（左負(fù)右正），則該零點(diǎn)是函數(shù)的極大（?。┲迭c(diǎn).

思想方法：數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、歸納與類比思想、轉(zhuǎn)化思想.

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

在“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”一課中，執(zhí)教教師通過(guò)建立極值的概念的教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生充分體會(huì)歸納與類比思想；在尋求極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想；在利用導(dǎo)數(shù)求極值的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生歸納解題步驟，重視算法思想. 在此基礎(chǔ)上，將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)滲透在歸納與類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想與轉(zhuǎn)化思想的提升過(guò)程中，較好地達(dá)成了教學(xué)目標(biāo).

三、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)與前提

基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是“四基”之一，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)與前提. 學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念與原理，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想與方法，都是在一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)中得以實(shí)現(xiàn)的. 很難想象，一個(gè)沒(méi)有多少數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的人會(huì)有很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”一課在安排學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)方面是出色的，舉例如下.

學(xué)生建立極值與極值點(diǎn)的概念，是在觀察、歸納跳水運(yùn)動(dòng)員的空中運(yùn)動(dòng)軌跡、滑雪運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)路徑和桂林山水等抽象出來(lái)的函數(shù)圖象，并在分析其特征的基礎(chǔ)上經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)—?dú)w納—概括—抽象”完成的，這一過(guò)程幫助學(xué)生積累了建立數(shù)學(xué)概念的經(jīng)驗(yàn).

在學(xué)生有了極值與極值點(diǎn)的概念后，教師安排了數(shù)學(xué)活動(dòng)：如圖1，函數(shù)定義在閉區(qū)間[x1，x8]上，圖中哪些是極大值點(diǎn)？哪些是極小值點(diǎn)？在這一數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)[x1]是不是極大值點(diǎn)進(jìn)行了充分的討論，增加了概念辨析的經(jīng)驗(yàn).

在尋求可導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否為極值點(diǎn)時(shí)，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)交流活動(dòng)得出如圖2和圖3所示的圖文信息，不僅明確了用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本原理，還讓學(xué)生積累了利用數(shù)形結(jié)合思想建立直觀與抽象之間聯(lián)系的經(jīng)驗(yàn)，有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

在獲得了用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本原理后，執(zhí)教教師安排了以下數(shù)學(xué)活動(dòng).

判斷下列函數(shù)是否有極值. 如果有，求出極值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.

（1）[fx=2]；

（2）[fx=2x-3]；

（3）[fx=6x2-x-2]；

（4）[fx=sinx].

這一活動(dòng)讓學(xué)生用新方法解決“老問(wèn)題”，讓學(xué)生積累了建立系統(tǒng)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn).

執(zhí)教教師在學(xué)生完成“判斷函數(shù)[fx=13x3-4x+4]是否有極值，如果有，求出極值”這一例題的基礎(chǔ)上，安排學(xué)生自行寫出求解步驟并交流，讓學(xué)生積累了寫算法步驟的經(jīng)驗(yàn)，并深入體會(huì)算法思想，有利于發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

在學(xué)生得出[fx=13x3-4x+4]的單調(diào)性、極值等性質(zhì)后，執(zhí)教教師安排學(xué)生畫出函數(shù)[fx=13x3-4x+4]的圖象（如圖4），這一活動(dòng)不僅讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展了直觀想象素養(yǎng)，也為學(xué)生利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)積累了經(jīng)驗(yàn).

執(zhí)教教師利用信息技術(shù)收集學(xué)生課堂思維信息，改進(jìn)只靠“提問(wèn)”“黑板板書”等傳統(tǒng)方式收集信息的方式，不僅為點(diǎn)評(píng)學(xué)生存在的問(wèn)題帶來(lái)了便利，也增加了學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的時(shí)間與機(jī)會(huì).

“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”一課的教學(xué)中豐富有效的學(xué)生活動(dòng)，不僅使學(xué)生積累了較多的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也啟發(fā)我們認(rèn)識(shí)這是落實(shí)“發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”這一教學(xué)目標(biāo)的重要途徑.

我們從“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”一課中看到：發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不應(yīng)該只是課程理念，也不能只停留在口頭上；發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅是高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，也是單元教學(xué)目標(biāo)，更應(yīng)該滲透在日常課堂教學(xué)中，使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展成為日積月累的過(guò)程. 如果能夠處理好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)概念與原理及數(shù)學(xué)思想與方法之間的關(guān)系，合理安排學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，那么發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就會(huì)成為一個(gè)自然而有效的過(guò)程.

參考文獻(xiàn)：

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［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.