在數(shù)學教學中活用化歸思想三段論

俞妍

摘 要：化歸思想是數(shù)學學習過程中很重要的思想，教師要善于運用自主探索，動手實踐，合作交流，從而掌握化歸思想的內(nèi)涵.化歸的關(guān)鍵在于在學生頭腦中構(gòu)建知識框架，讓學生對已學的知識融會貫通，從而化未知為已知，化繁為簡，知易求難.

關(guān)鍵詞：自主探索;動手實踐;化歸思想;發(fā)散思維

化歸思想是一種基本且重要的數(shù)學思想，普遍存在于數(shù)學解題中，例如將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為生活中生動形象的活動經(jīng)驗，將陌生的知識轉(zhuǎn)化為已知的熟悉的知識，又或者是將抽象的知識直觀化.“新的數(shù)學方法和概念，常常比解決數(shù)學問題本身更重要.”，我國著名數(shù)學家華羅庚如是說.而教師要做的就是引導學生去創(chuàng)造，去實踐，尋求新方法，在豐富多彩的數(shù)學活動中，體會化歸的意義，掌握化歸的思想方法.我認為，化歸的三段論在于：掌握內(nèi)涵、培養(yǎng)意識、付諸實踐.本文將結(jié)合蘇教版七年級下冊“多邊形的內(nèi)角和”的教學探討如何在教學中滲透化歸思想.

1 深度解讀，掌握化歸內(nèi)涵

在教學過程中滲透化歸思想，要求教師自身深度解讀教材，掌握新舊知識的聯(lián)系，構(gòu)建知識體系，明白三點：為何化歸，如何化歸，如何讓學生主動化歸.

首先對教材進行解讀，本節(jié)課主要有兩個重要的知識點：多邊形的定義以及多邊形內(nèi)角和公式的探究.在學習多邊形定義時，先讓學生回憶三角形定義，類比總結(jié)四邊形定義，自然而然教會學生用類比、化歸的數(shù)學思想.當學生遺漏前提條件：在同一平面內(nèi)時，教師要學會讓學生動手操作，直觀地用教具展示何為在同一平面內(nèi)，從而強調(diào)，研究平面圖形時，是在同一平面內(nèi)這個前提條件下進行研究的.在學習多邊形內(nèi)角和公式之前，先帶領(lǐng)學生復習三角形內(nèi)角和是多少？如何得到的？讓學生清楚在小學里，我們是將一個三角形的三個角剪下來，頂點與頂點重合，邊與邊靠在一起，拼成了一個平角，得出“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論.進一步提出疑問：我們能不能也將四邊形的四個角剪下來，拼拼看是多少度？讓學生動手操作，形成程序性記憶.另外，還可以通過量一量的方法，讓學生量出任意四邊形的四個內(nèi)角，把四個角度加起來，驗證四個內(nèi)角和是不是360°.拋出問題：通過量一量，拼一拼的方法只能驗證有限的幾個四邊形的內(nèi)角和是360°，那么是不是所有的四邊形內(nèi)角和都是360°呢？如何來科學地證明呢？先讓學生動手操作，自己證明，適時引導：四邊形內(nèi)角和我們不會求，但是三角形內(nèi)角和我們已經(jīng)學習過了，同學們能不能找出他們之間的聯(lián)系？四邊形能不能分成三角形來計算內(nèi)角和呢？在教師引領(lǐng)學生用多種方法證明了四邊形內(nèi)角和之后，學生自主探究五邊形、六邊形內(nèi)角和，教師梳理思路，師生共同歸納總結(jié)出多邊形內(nèi)角和公式.化歸思想引領(lǐng)整堂課的教學活動，在化歸中獲取新知，也在化歸中學會探究.

對于七年級的學生而言，已經(jīng)具備一定的運用化歸思想學習、解題的經(jīng)驗，但還沒有形成系統(tǒng)的思維，運用而不自知.例如在學習圖形時，是從生活的具體物體中抽象出來的，再例如通過復習一元一次方程的概念，類比歸納得到了二元一次方程的概念.學生在學習過程中已經(jīng)在運用化歸思想了，有了一定的基礎(chǔ)，教師要善于對學生的方法進行總結(jié)，提出化歸的內(nèi)涵，讓學生明白化歸思想在數(shù)學中的普遍性和實用性，認識到已經(jīng)多次運用化歸思想解決問題，并且促使其能夠在今后的學習中主動去運用化歸思想.

2 巧妙引導，培養(yǎng)化歸意識

數(shù)學思想不是生拉硬套，在深度解讀教材以及學情分析之后，教師要合理安排教學活動，讓學生在教學活動中體會并運用化歸思想解決問題.托馬斯·胡德曾言：“一分鐘的思考抵過一小時的嘮叨.”數(shù)學思想方法的滲透在于將課堂還給學生，重視學生的主體地位，使之成為教學活動的中心，自主探究領(lǐng)會.而教師要做的就是合理安排活動，并引導其有目標、有方向地進行探究.

【片段一】

回顧復習三角形定義，類比總結(jié)四邊形定義，學生容易忽略一個前提：在同一平面內(nèi).教師請一位學生上來一起拼一個四邊形（拿出提前準備好的四把尺子）.學生拿兩把尺子擺好，教師拼上另外兩把，放在一個平面內(nèi).教師提問學生這是不是一個四邊形，接著將尺子向前折起一定角度，提問學生這還是不是四邊形？從而教師引導：探究平面圖形要在同一平面內(nèi).并請學生試著總結(jié)出多邊形的定義.

這個過程旨在讓學生通過動手實踐，以及復習舊知，得到多邊形的定義，從宏觀上認識多邊形，在學生腦海中形成關(guān)于圖形與幾何的知識框架.在這里，通過類比、歸納，初步滲透化歸思想，讓學生有一定的學習基礎(chǔ)，了解到需要運用舊知來解決新的問題，用已學的知識解決未知的問題.

【片段二】

通過復習，喚醒學生的舊知：三角形內(nèi)角和為180°，接著給出幾個四邊形，讓學生量一量他們的四個內(nèi)角，再將他們加起來，計算出每個四邊形的內(nèi)角和.通過量角器測量，學生發(fā)現(xiàn)這些四邊形的四個內(nèi)角加起來都是360°，由此得到猜想：四邊形內(nèi)角和為360°.教師提問：同學們還記得小學是如何得到三角形內(nèi)角和的嗎？學生能夠回憶起當時剪紙，把三個角剪下來，拼一拼.拼成了一個平角.教師引導學生模仿這種探究方法，也將四邊形的四個內(nèi)角剪下來，拼在一起，看看能拼成什么角？

學生在動手操作過程中，發(fā)現(xiàn)四個角剪下來剛好拼成了一個周角，學生已知周角是360°，從而進一步認為四邊形內(nèi)角和就是360°.

這時，教師總結(jié)并引導：分別通過量一量，拼一拼的方法初步證明了這些四邊形的內(nèi)角和是360°，那是不是所有四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？接下來老師給出一個任意的四邊形，如圖1所示如何證明一下它的內(nèi)角和是不是360°呢？同學們思考一下，能不能和已知的幾何圖形的內(nèi)角和聯(lián)系在一起呢？將證明方法寫下來，并與同桌討論，看看誰能想得又快又多.

學生1：連接AC.

連接AC以后就把四邊形的兩個內(nèi)角∠A和∠C分別分成了∠DAC+∠BAC，以及∠BCA+∠DCA，則四個內(nèi)角加起來就是（∠D+∠DAC+∠DCA）+（∠B+∠BAC+∠BCA）=180°×2=360°.

教師適當鼓勵并總結(jié)：很好，這里該生將四邊形ABCD的兩個內(nèi)角∠A和∠C轉(zhuǎn)化為了△ACD和△BCA的內(nèi)角，從而將這個四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了兩個三角形的內(nèi)角和.給出如下表格：

教師提問：還有其他的證明方法嗎？學生2回答：在AB上取一點E，連接DE、CE.（如圖3所示）

該生將四邊形分成了三個三角形.這時，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于△ADE、△DEC、△BEC的內(nèi)角和減去∠AEB.

教師總結(jié)：在四邊形的任意一條邊上隨機取一個點，與兩個角連線后進而將其分割為三個三角形，將四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三個三角形的內(nèi)角和再減去一個平角的問題，得到四邊形內(nèi)角和為180°×3-180°=360°.補充表格：

教師進一步引導：同學們思考一下，還有沒有別的方法分割？上面分別將四邊形分別分成了兩個、三個三角形，那能不能分成四個三角形？

學生3：在四邊形內(nèi)部取了一點O，連接AO、BO、CO、DO.

這里他將四邊形ABCD的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了△AOB、△COD、△AOD、△BOC的內(nèi)角和減去一個周角.

教師總結(jié)：可以看到分成的這四個三角形的內(nèi)角和加起來剛好是四邊形的內(nèi)角和加一個周角，所以只要將這四個三角形的內(nèi)角和加起來再減去一個周角就可以得到四邊形ABCD的內(nèi)角和.完善表格如下：

拋出問題：以上通過多種方法，實際上是不是分別在四邊形的邊上、頂點、內(nèi)部取點，將四邊形分成了若干個三角形？那同學們思考一下，可否在四邊形的外部取一點，也來試著證明一下四邊形的內(nèi)角和為360°呢？

學生動手操作并思考過后，教師提問：四邊形的內(nèi)角和是不是△COD、△AOD、△BOC的內(nèi)角和加起來呢？學生可以知道還要減去∠BAO、∠ABO、∠AOB，而三角和加起來剛好是△AOB的內(nèi)角和.這時就將要求的四邊形ABCD的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了三個三角形的內(nèi)角和，再減去一個三角形的內(nèi)角和.

接下來教師運用幾何畫板演示分別在四邊形頂點、內(nèi)部、邊上、外部取點的過程，在學生頭腦中留下一個生動直觀的動態(tài)過程.

以上教學片斷，注重學生探索的自主性，由教師引導，學生以“將四邊形拆分轉(zhuǎn)換成若個三角形來看，將原本不能解決的四邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成學過的三角形內(nèi)角和問題”為目標探索.在學生尋找解題方法的過程中，教師僅僅作為一個引路人，總結(jié)者，同時將課堂還給學生.給予學生啟發(fā)，讓學生自主探索學習，成為教學活動的主體和推動者.由此自發(fā)地感受并運用化歸思想，形成程序性記憶，并掌握它.

【片段三】

我們一起探究了四邊形內(nèi)角和，運用多種方法取點，將四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了三角形內(nèi)角和的問題.那么同學們能不能用同樣的方法，分割圖形，并由此計算出五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和呢？

學生在畫圖操作過程中，發(fā)現(xiàn)可以將五邊形分割成三個三角形，從而得到五邊形內(nèi)角和為180°×3=540°，同樣地，用分割轉(zhuǎn)化的方法，得到六邊形、七邊形的內(nèi)角和分別為180°×4=720°，以及180°×5=900°，從以上例子中找到規(guī)律：多邊形內(nèi)角和等于（邊數(shù)-2）×180°，因此可以總結(jié)公式：n邊形內(nèi)角和為180°×（n-2）.

鑒于以上關(guān)于四邊形內(nèi)角和的探究活動，學生已經(jīng)形成了運用化歸思想，將多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題的思維模式，在自主探究中，容易想到將五邊形、六邊形等多邊形分割成若干個三角形，從而求得多邊形內(nèi)角和.整堂課由化歸聯(lián)結(jié)，讓學生體會化歸思想的用處，并運用到以后的學習中去.

3 野蠻生長，注重化歸實踐

數(shù)學思想的滲透在于讓學生自主體驗，讓學生成為課堂的主人意味著教學活動可能不能完全按照教師的教學設(shè)計進行，學生可能會有一些出乎教師意料的想法，教師不能因為要按照設(shè)計好的活動進行教學而忽略的學生的想法，否則學生會在一次次的忽略中淡化自主探索的精神，變得缺少思考，完全機械地跟著教師走.相反，教師需要強化他們的想法，鼓勵他們勇于探索，讓課堂活起來.

【片段四】

教師對于四邊形內(nèi)角和探究的設(shè)計是：分別在四邊形頂點、邊上、內(nèi)部、外部取點，轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和的問題.但是在下去巡視的時候，看到一名平時不愛發(fā)言的女生用了一種教師沒有想到的方法，雖然課堂的時間所剩不多，但教師還是選擇鼓勵那位學生，讓她上來給大家講一講她的證明方法.教師用鼓勵的話語說道：這位同學平時不愛說話，很少發(fā)言，但老師看到今天她用了一種與眾不同的方法來證明，老師覺得很好，想讓她來給大家展示一下她的方法，同學們鼓鼓掌鼓勵鼓勵她.

這位學生有了一點自信，回答：我延長AD、BC交于E.那么∠ADC=∠E+∠ECD，∠BCD=∠E+∠EDC，這兩個角都是△ECD的外角.這時，教師鼓勵她：很好，你用到了三角形外角的知識，接著怎么做呢？

學生回答：∠A+∠B+∠ADC+∠BCD

=（∠A+∠B+∠E）+（∠EDC+∠E+∠ECD）

=180°×2

=360°.

教師總結(jié)該生實際上是將一個四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成兩個三角形的內(nèi)角和.表揚她在無形之中運用了化歸思想，將四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了三角形的內(nèi)角和來解決問題.

整堂課從多邊形的概念，到運用多種方法證明四邊形內(nèi)角和為360°，再到類比歸納出多邊形內(nèi)角和公式，以圖形的分割為主線，以化歸的數(shù)學思想為暗線，串聯(lián)起了整堂課的內(nèi)容，本節(jié)課始終圍繞已知的三角形知識，來探究得到多邊形的知識.本節(jié)課是一堂探究課，定位在于讓學生發(fā)散思維，多參與，多

討論，教師只是充當引導者、總結(jié)者的角色.在活躍的探究氛圍下，學生積極配合，甚至提出教師沒有想到的方法，教師也沒有為了趕進度而忽略學生的奇思妙想，做到了讓學生成為課堂的主人，在學生動手操作，自主歸納，合作交流中激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，同時感受、運用化歸等數(shù)學思想方法，并能體會這些方法的妙處，做到會用、巧用、主動去用.好的課堂是生成的課堂，一堂活力的數(shù)學課應該讓學生的思想野蠻生長，如此才能在數(shù)學世界里大放異彩.

化歸思想在數(shù)學教學中有著普遍的運用，教師在滲透化歸思想的過程中要抓住三段論，首先教師要深度解讀教材，熟悉知識框架，掌握化歸內(nèi)涵，接著培養(yǎng)學生的化歸意識，讓學生能夠主動想到去運用化歸的思想方法去解決問題，最后付諸實踐.熟練掌握化歸三段論，可以讓教師教學，以及學生學習、解題事半功倍.

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