數學史教育在高等學校中的特色與價值淺析

高翟 吳讓仲

［摘 要］ 基于數學史教育在高等學校中普遍薄弱甚至缺失的現狀，從若干角度分析數學史對數學、歷史及相關學科學習的正面促進作用，進一步闡述本科通識教育中數學史內容在學生知識體系的完善、科學精神的建立、思想人格的培養方面的重要意義，由此提出加強數學史課程建設的建議。最后根據教學經驗，給出公共選修課“數學史”課程的教學定位和內容設置方面的可行性方案。

［關鍵詞］ 數學史；通識教育；知識體系

［基金項目］ 2019年度教育部產學合作協同育人項目“通信工程軟件無線電師資培訓項目”（201902291010）；2021年度中國地質大學通識教育選修課項目“簡明自然科學史”（2021A61）

［作者簡介］ 高 翟（1983—），男，湖北武漢人，博士，中國地質大學機械與電子信息學院副教授，主要從事信息與通信工程研究；吳讓仲（1971—），男，湖北鄂州人，碩士，中國地質大學機械與電子信息學院講師，主要從事計算數學研究。

［中圖分類號］ G642.0 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2023）16-0023-05 ［收稿日期］ 2022-05-08

引言

數學是一門重要的基礎學科，數學教育幾乎貫穿了從初等教育到研究生教育的整個階段。然而與之形成鮮明對比的是，數學史教育起步晚且內容零散。同時，由于高考指揮棒的作用，數學史的內容極少被歸入此類選拔性考試的考點，所以在中學課堂上幾乎不涉及。

數學史內容兼具文科（歷史）和理科（數學）的色彩，但這樣的屬性除了使其在中等教育里不受重視，也讓它在高等教育領域的地位頗為尷尬。一方面，對于理工科專業而言，數學和數學史的地位懸殊：大學數學的科目多、權重大，考查特別深入細致；而數學史卻幾乎“缺席”，僅在部分高校的數學專業中作為選修內容出現。另一方面，歷史專業學生因數學基礎普遍薄弱，對數學知識點掌握和應用的深度有限，因而對數學史的研究大多停留在史料層面；而且歷史研究中常常將數學史作為自然科學史的一部分，但這樣的定位本身有偏差，其原因是數學從嚴格意義上說并不隸屬于自然科學［1］。以上兩方面的因素，造成數學史在高等教育中的推廣情況并不樂觀。

一、數學史教育的現狀和需求

中國的中等教育直到2005年才出現由全國中小學教材審定委員會專門審定通過的數學史教材；在此之前，數學史知識幾乎都在數學教材中相應的知識點后以閱讀材料的形式給出，內容十分簡略。據筆者對所在高校2021年春季學期本科一年級新生的抽樣調查，有高達93.3%的被調查者認為數學史知識的缺失“不影響對數學知識的掌握”，約86.7%的被調查者對數學史在當前數學教育中被邊緣化的情況表示“認同”或“可以理解”，而選擇“亟待調整”的問卷不足7%。由此可明顯地看出數學史教育在高中畢業生群體中被嚴重忽視的現狀。

如今高等教育普及化是中國社會的一大趨勢。在該趨勢下，通識教育在大學生培養中的地位日益凸顯，其中學科交叉是通識教育的重要特色之一。多學科融合既是全面提升學生素質的重要方面，也是一種孕育創新的途徑。數學史的特殊屬性使其在通識教育中的價值變得明顯，是進行學科融合的一項優質選擇。

二、數學史教育的價值

數學史在中等教育和高等教育中均可發揮其跨學科培養的作用。因為高等教育脫離了高考指揮棒的局限，又直接面向社會輸送人才，所以可供該學科發揮的余地較大，價值也更凸顯。數學史教育的價值，歸納起來有如下幾點。

（一）構建數學知識網絡

數學是一門累積性學科，具有嚴格的論證體系：在公理化體系的基礎上，新的結論必須經過已有結論的嚴格推理以確保其正確性［2］。數學發展到今天已經包含很多分支領域，即使不進行數學專業的研究，也必然涉及數目龐大的知識點。如此多的知識內容，在學習時很容易片面地、割裂地去對待。初等教育中的數學處于啟蒙階段，其有限且零散的知識點不便體現其系統性特征；但進入中等教育之后，數學知識逐漸以代數、幾何和三角三條清晰的主線呈現，這就要求學生必須開始系統地、關聯地吸收每項知識點。例如，初涉三角學時，解直角三角形常用到平面幾何中的勾股定理，使用勾股定理進行計算必然要以算術平方根知識為基礎，而代數中很多平方根形式的無理數在數軸上的精確定位又需要借助勾股定理完成［3］。這樣以勾股定理為媒介，便搭建出幾何與三角、幾何與代數相互關聯的例子。

到了高等教育階段，數學課程進一步細化，分支出多個領域，以多個課程全方位呈現。一般的工科專業除了“數學分析”（或“微積分”）、“高等代數”（或“線性代數”）、“概率與數理統計”等公共必修課外，還須面對“復變函數與積分變換”“解析幾何”“離散數學”“數學物理方程”“數理邏輯”“隨機過程”“數學建模”等近十門工程數學課程；理科專業（特別是數學、物理專業）的數學課程比工科專業更多。內容的迅速擴充使知識傳授的密度更高，角度也更全面。以積分為例，它的初步知識在“數學分析”課程中講授，而某些特殊的積分計算在“復變函數與積分變換”課程中進行更深入的探討，“解析幾何”課程又將積分計算應用于多種二次曲面的分析等［4-5］。

從如此多的角度來學習數學是必要的。從前沿性看，它是數學理論持續發展的動力，一些世界級難題的解決也是依靠綜合多分支的知識共同完成，如費馬大定理的證明就是綜合了代數與幾何多個分支領域的知識［6］；從實用性看，各類選拔性數學考試，如高考、研究生入學考試中的拉開成績差距的題目大多是綜合性強、需要同時使用多個知識點的問題，在這類題目上失分的重要原因之一是很多學生尚未構建好知識體系，不善于從多個角度、綜合多項知識處理問題，而這方面能力強的考生則容易脫穎而出。由此可見，將知識條理化、系統化應是數學教學的一個努力方向。客觀地講，構建知識網絡、培養觸類旁通的能力，對很多學生來說是有難度的。在這種情況之下，數學史提供了一條有效的途徑協助梳理數學知識。它一方面根據時間維度，從簡單到復雜，步步推理演化，闡釋某個數學分支的萌發與成形過程；另一方面根據空間維度，將世界各文明的數學發展進行橫向對比，明確數學在不同地域的特征，進而更清晰地認識很多數學概念的緣由。數學史通過這兩個維度將對應的數學知識點有機地聯系在一起，便于學生將已掌握的知識編織成網，觸類旁通；這對于從容應對數學考試或者利用數學工具解決其他方面的問題均大有裨益。

（二）提升對數學的興趣

一些學生從小學到大學（甚至研究生）全以題海戰術來應對數學的學習，這就容易造成一個錯覺：數學的價值似乎僅反映在一個個數學問題的解決之中，其實這是片面化的理解。如果僅僅拘泥于“解題”的層次來看待這門學科，將難以享受到數學的很多美感。2020年底，一組對筆者所在高校工科專業隨機抽取的110名本科四年級學生進行的調查表明，有接近1/3（31.8%）的學生對數學存在“畏懼”態度，他們之中超過一半（54.3%）認為造成這種態度的主要原因是“解題枯燥”或“興趣缺乏”。這項調查不論從學校層面，還是專業層面來看，被調查群體的數學能力明顯高于全國大學生的平均水平。由此不難想象，如果被調查群體擴展至更一般的高?；蛘吣依ㄎ氖奉悓I，調查得出的上述數值將會更高。這不禁促使我們思考，數學科目的學習時間如此之長，投入的精力如此之大，為何仍造成這么多學生對其望而卻步？

其實作為啟迪人類文明，伴隨人類智慧發展的重要理論，數學的價值早已遠遠超出了解題本身。如果能夠跳出此局囿，從另一個角度去認識數學，學習對應的知識點，也許能重新喚起很多人學習數學的信心，甚至進一步地發掘他們對數學的興趣，數學史就提供了這樣一個角度。例如，很多大一新生在初次接觸微積分時對相關的表述符號不適應，原因之一是微積分存在兩套符號。例如，表示函數y（x）的一階導數，既可以記為y（x），又可以記為dy

dx［7］。初學微積分時對引進這種復雜的符號系統感到費解是普遍現象，而該疑惑能在數學史課程中得到很好的解釋：作為微積分的兩位創立者，牛頓和萊布尼茨分別定義了各自的一套微積分表達方式，它們分別應用于彼時的英國和歐洲大陸；學生可以通過橫向比較這兩套符號，進一步認識到作為數學史上最偉大的符號大師之一，萊布尼茨通過精心設計相應的符號，極大地便利了人們對微積分的理解和運算，從而鞏固了微積分基礎知識及其規范化表達。更有一些學生由此對牛頓的微積分理論產生好奇，自行查閱他的相關著作，主動感受微積分的另一種表現方式；對他們而言，數學史從歷史人物的角度喚醒了他們的好奇心和求知欲，這些曾經晦澀難懂的微積分知識已然成為深入研究的興趣點。有了這樣的狀態，學習效率和知識的掌握程度都可得到很大提升，這也是數學史教育想達到的最理想結果。

（三）增強文化自信和民族自豪感

輝煌燦爛的世界四大古文明中，只有中華文明的歷史未曾中斷而延續至今，是所有中國人的驕傲。在五千年歷史長河里，中華民族在諸多領域為世界做出了令人矚目的貢獻，其中就包括數學。中國數學史是中國歷史的重要的組成部分，其中既有卓越的數學家、數學著作，也有頗具特色的數學故事、數學名題。例如，著名的孫子定理（國際上又稱之為中國剩余定理）出自南北朝時期的算術著作《孫子算經》，它在一千六百多年前就給出了某些一次同余方程組的解法，該成果遙遙領先于當時世界上的其他國家［8］；又如唐朝大中年間，青州（今山東境內）一帶出現通過比試解數學題來選拔官吏的事，可見數學在當時知識領域的地位。學習這些歷史內容，除了強化對應的數學知識之外，更能體會到先人的智慧和創造力，這對于提升民族自尊心、強化民族自豪感具有重要作用。

（四）融會貫通，提升認知高度

數學史除了與數學理論深度交融外，也具有強烈的歷史屬性，不同專業的學生都能從中獲益。對于理工類學生來說，學習數學史有助于其從一個側面加深對人類文明發展歷程的理解；而對于文史類學生而言，則可以通過數學史，運用自身擅長的歷史知識來拉近與數學的距離。正是由于兼具數學和歷史的雙重色彩，數學史在文科和理科之間起到了一個“杠桿”的作用，學生能夠利用這根“杠桿”以自己擅長的一側知識來促進薄弱一側知識的學習和掌握；并有機會將不同領域間的知識融會貫通，提升對數學、歷史乃至相關學科的認知高度。例如，宋元時期（960—1368年）是中國數學發展的一個高峰，其間涌現出許多優秀的數學家，如被稱為“宋元四大家”的楊輝、秦九韶、李冶和朱世杰；那么為何明朝以后中國數學的原創性貢獻迅速減少？單從數學的角度無法回答這一問題，但若聯系歷史知識答案則變得明朗——中國從明朝開始實施八股取士，數學基本脫離了人才選拔機制，故而社會地位降低，其發展自然受到抑制。這種狀況直接導致自明朝中后期開始，中國在數學和自然科學領域漸漸落后于西方，科技實力的落后造成國家整體實力下降；而與此同時，西方（特別是歐洲）對學術的開放和包容態度使其數學遙遙領先于世界其他地區。雖然我們不能將近代中國的衰落完全歸咎于明清兩朝對人才的選拔制度，但其中的歷史教訓不可謂不深刻。事實上，自近代以來，中國的數學家一直不甘于落后的狀況，開始大量借鑒西方數學；雖然過程曲折，但仍為當今中國數學的發展奠定了基礎。學生在學習數學史時如果能以類似的方法來思考問題，不僅有助于培養自身的跨學科思維能力，對一些關鍵性問題的理解能得到鞏固和升華，而且可以清晰地了解中國和西方數學水平的差距，從思想上激發學生為國家科學事業奮斗的動力。

（五）樹立榜樣，培養科學精神

很多數學概念、知識中包含人名。在數學發展的漫長歷史進程中，一系列關鍵的歷史人物總是特別引人注目。那些名字伴隨著他們的成就流傳千古，為后世所銘記。熟悉數學史中的人物能幫助我們理解其在數學領域的貢獻，不過其價值遠不止于此；在數學史課程的學習目標中，這些名家大師的生平及其研究過程帶來的啟示更值得品鑒。這里有幾個最具代表性的例子：（1）《原本》是古希臘最重要的數學著作，它的作者歐幾里得對幾何學的熱愛十分純粹，不帶任何功利性。當托勒密國王問他學習幾何是否有捷徑可走時，得到的回答是“幾何學無王者之路”，這是一種端正的學習和研究態度［9］。（2）中國古代數學家祖沖之僅用筆和算籌等原始工具，竟然將圓周率值精確到小數點后第7位，領先西方世界千余年，這體現出極大的細心和毅力［10］。（3）歐拉在雙目失明的情況下依然堅持科學研究，僅論文就發表了幾百篇，表現出其與命運抗爭的頑強意志［11］。（4）羅巴切夫斯基頂住學術保守勢力的巨大壓力，在開創新幾何領域的過程中堅持宣傳和捍衛自己的研究成果，其不畏權威、勇于開拓的品質最終得到世界的高度認可［12］。他的名字也因“羅氏幾何”（即雙曲幾何）而被后世銘記。

以上這些數學家以自身對數學的熱愛、推動數學發展的決心、天才的靈感和對科學精神的堅持而永載史冊，至今仍是激勵人們學習的優秀榜樣。數學史對數學家的立體刻畫可以讓學生從一個個生動的故事中得到啟迪，鼓舞學生沿著先賢探索的足跡繼續奮發前行。

三、“數學史”課程的可行性方案

高等學校的課程安排自主性強，在各門課程的師資配置、學時數、內容篩選等方面沒有統一的要求。不同高校實施時可因地制宜，根據授課條件、學生基礎、教學方式等因素來進行優化。這里根據筆者在“數學史”課程上的教學經驗，對一種適用面較廣的可行性方案進行討論。

（一）課程內容安排

數學史在整個人類知識體系中地位較為特殊：它既是數學的一個分支，也是科學史下屬的諸多類別之一；它不僅包括具體的數學內容，而且涉及歷史、哲學、文化、政治、經濟等社會科學與人文科學內容，是一個具有文理交叉特色的領域?！皵祵W史”豐富的內涵本應通過充足的課時系統性地講授，但高校一般在公共選修課上都有學時方面的限制。如筆者所在高校將此類課程限制在32學時以內，推薦時長僅為24學時左右。如此有限的課內時間只能支持“專題性選講”，即以該領域的少量知識點為中心進行一定程度的擴展，因此專題立足點的選擇極其重要。為了能夠較為全面、立體地刻畫出數學史的體系輪廓，需要三個“兼顧”：時間上兼顧古與今，空間上兼顧中與外，領域上兼顧相鄰課程。以空間上的兼顧為例，教學內容中既需要囊括西方數學的發展，又應當包含中國數學曾經的成就與現狀。前者占據了近現代數學成就的中心位置，其在數學史中的地位顯而易見；后者能讓學生更全面地了解中國歷史，更清晰地認識華夏先賢的智慧，由此對學生進行潛移默化的思想教育，故而同樣不可或缺。通過總結多輪教學實踐經驗，整門課程可設置8個專題，每個專題分配大約3學時，圍繞其核心內容作適當延伸，如表1所示。

（二）課程定位

高校數學專業和歷史學專業因其自身屬性，可能對“數學史”有較高要求，將該課程設置為較長學時的專業課（必修或選修）。而如果按照前文所述，以24學時左右的短學時來設計該課程，那么其適用面能覆蓋幾乎所有專業。“數學史”課程之所以受眾面廣，絕大部分學生都能夠選修，是因為它對于前導課程并無太多要求。一方面，完成義務教育階段的學生對中國歷史和世界歷史的主線已有基本了解，進入大學后學習新的歷史知識一般不存在障礙，甚至有額外的興趣。另一方面，數學作為高中“三大主科”之一，和語文、外語一樣是所有高中學生必修且高考必考的科目；即使是難度較低的高中文科（文史財經類）數學，其知識也能滿足修習短學時“數學史”的基本要求；況且截至2021年，已有部分省份的高考數學試卷不再分文理科，這意味著高中在文科數學方面的要求進一步提高。因此，大學本科各年級學生均可選修“數學史”，這門課和對應數學知識修習的先后順序完全可依據個人條件和喜好而定。對于個別數學基礎過于薄弱的學生，如果仍感到數學史中涉及高等數學的內容較難理解，則不妨先完成1～2個學期的本科數學課程（如“微積分”），學習后再選修這門課，對應的知識將更容易消化。

結語

既然“數學史”是一門文理交叉的課程，那么它的培養目標也就體現在文理兩個方面。從“文”的角度看，數學史增加了歷史的厚度，通過數學發展的歷程反映出人類智慧的進步、思維的創新，通過展示不同地域人們的思維特點來更全面地詮釋不同地域的文化，使文史專業的學生學有所獲。從“理”的角度看，數學史增添了數學的色彩，拉近了學生與數學的距離；特別是通過史料中數學人物的研究歷程，了解對應數學理論的來龍去脈，明確數學某一分支領域的成長過程及其知識點間的有機聯系，為學生展現出歷史上數學家對靈感的捕捉方法與對問題的思考模式，進而讓學生在效仿的基礎上有所啟發，為未來的研究工作做一定的鋪墊，這種鋪墊對理工專業的學生很有益處。在進行實際課堂教學時，可根據課堂內學生的專業分布特點制定不同側重的內容與講解方式，以學生擅長的背景知識作為引導消除畏難情緒，并在講解主干內容時有意識地填補學生的知識短板，力圖通過一輪完整的教學活動讓所有參與的學生都能感受到數學和歷史的交融，體會到“數學史”這門課程獨特的風格與魅力。

參考文獻

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Abstract： Based on the wide ignorance and even absence of mathematical history education in colleges and universities， this paper analyses the promotion brought by mathematical history on the study of mathematics， history and some other related courses from several points. Then the effects of this course in general education on improving knowledge system， establishing scientific spirit and cultivating personality are further stated， from which the suggestion of enhancing its curriculum construction is raised. According to teaching experiences， an applicable scheme of mathematical history as a public optional course is finally provided， including its settings on attribute and content.

Key words： mathematical history; general education; knowledge system