例談構(gòu)造法在2022年高考數(shù)學(xué)題的價值體現(xiàn)

劉遠來 李紅梅

摘要：構(gòu)造法是高中常用的一種數(shù)學(xué)解題方法，具有直觀性、創(chuàng)造性、靈活性強的特點.本文結(jié)合2022年高考數(shù)學(xué)題，從構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造坐標(biāo)系、構(gòu)造數(shù)列和構(gòu)造不等式四種模型分析構(gòu)造法對學(xué)生核心素養(yǎng)的考量，期望為教師在構(gòu)造法教學(xué)上帶來些許建議，以期提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；核心素養(yǎng)；創(chuàng)新意識；應(yīng)用意識

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出高中數(shù)學(xué)課程要以學(xué)生發(fā)展為本，培養(yǎng)科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)［1］.而當(dāng)前大部分學(xué)生在高考中的表現(xiàn)思維較為固化，創(chuàng)新能力略顯薄弱.構(gòu)造法是彰顯學(xué)生創(chuàng)造力的方式之一，適時適當(dāng)?shù)夭捎脴?gòu)造法，有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識，優(yōu)化學(xué)生認知結(jié)構(gòu)，達到綜合素質(zhì)的提升.因此，教師在教學(xué)中有必要講解構(gòu)造法在解題中的重要性，幫助學(xué)生掌握構(gòu)造法解題的數(shù)學(xué)方法和思維路徑.本文從函數(shù)、坐標(biāo)系、數(shù)列和不等式四個方面分析高考數(shù)學(xué)題構(gòu)造法的素養(yǎng)價值，希冀幫助教師更加全面理解構(gòu)造法，在構(gòu)造法教學(xué)的過程中幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1構(gòu)造法的概念

構(gòu)造法是根據(jù)題設(shè)的特點，用已知條件中的元素作為元件，已知的關(guān)系式為支架，在思維中構(gòu)造一種新的數(shù)學(xué)形式，從而使問題得到解決的一種方法［2］.即要善用已知的元素、關(guān)系式搭建未知到已知的橋梁，以致問題得以解決.從思維層面上說，構(gòu)造法練習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維；從認知層面上說，構(gòu)造法練習(xí)幫助學(xué)生主動在腦海中構(gòu)建知識網(wǎng)，并對每一個知識分支形成知識樹，從而靈活運用知識解決問題.

2構(gòu)造法在高考中的應(yīng)用

2.1構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)課程的主線之一，貫穿于整個高中生涯，在問題解決中發(fā)揮著重要作用.靈活運用函數(shù)的性質(zhì)、圖象，可提高解題效益.在面對高考題中數(shù)值比較大小問題、不等式問題、抽象函數(shù)求值問題均可以利用構(gòu)造思想將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，提升思維的寬度、廣度和速度.

2.1.1引參式構(gòu)造［3］

例1（2022年全國甲卷第12題）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，則（）

A.c>b>a

B.b>a>c

C.a>b>c

D.a>c>b

分析：題目看似是常數(shù)比較大小，本質(zhì)考查函數(shù)問題，將常數(shù)參數(shù)化，進而利用函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)方法進行比較大小.

解析：由a－b=3132－14=1－12·142－14，構(gòu)造函數(shù)F（x）=1－12x2－cosxx∈0，π2比較a和b的大小；由cb=4sin14cos14=tan1414構(gòu)造函數(shù)g（x）=tanxxx∈0，π2來比較b和c的大小.下證構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性.

對F（x）求導(dǎo)得F′（x）=－x+sinx，F(xiàn)″（x）=cosx-1≤0，因此g″（x）≤g″（0）=0，即F′（x）≤0，所以F（x）在［0，π2］單調(diào)遞減，故F（x）≤F（0）=0，因此1－12x2

對g（x）變形為f（x）=tanx－xx∈0，π2，f′（x）=sec2x－1<0，因此f（x）在0，π2上單調(diào)遞減，故g（x）≥g（0）=0，即tanx>x，因此tanxx>1，當(dāng)x=14時，tan1414>1，則4sin14cos14>1即c>b.綜上所述，c>b>a.

評析：此題是小題大做的創(chuàng)新題，是對學(xué)生創(chuàng)新性思維、數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力的考查.數(shù)值比較通常采取做差法或做商法，此題便從此思路出發(fā)，借助數(shù)字之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系構(gòu)造出函數(shù).通過將數(shù)值參數(shù)化，借助函數(shù)這一工具再對參數(shù)數(shù)值化，體現(xiàn)從特殊到一般再到特殊的解題策略［3］.

2.1.2特殊式構(gòu)造

例2（2022年新高考Ⅰ卷第12題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f32－2x，g（2+x）均為偶函數(shù)，則（）

A.f（0）=0

B.g－12=0

C.f（－1）=f（4）

D. g（-1）=g（2）

分析：此題是對抽象函數(shù)性質(zhì)的探究題.若從題設(shè)出發(fā)，循規(guī)蹈矩探究抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性，思維過程難度較大，耗時耗力.采取逆向思維構(gòu)造一個特殊函數(shù)滿足題意，本題便迎刃而解，效果顯著.

解析：通過分析g（x）=f′（x）和f32－2x和g（2+x）都是偶函數(shù)，由此可知所構(gòu)造函數(shù)需要滿足求導(dǎo)之后進行平移仍然可以形成偶函數(shù)這一特征，確定構(gòu)造特殊函數(shù)的方向為余弦函數(shù).首先取f（x）的基礎(chǔ)函數(shù)為cosx，但由于f32－2x是偶函數(shù)，故而進一步修改為f（x）=cosx－32，此時滿足f32－2x是偶函數(shù)，但g（x+2）=f′（x+2）=－sinx+12不是偶函數(shù).為使其為偶函數(shù)，只需對12變?yōu)棣?，最后將f（x）修改為f（x）=cosπx－32.

經(jīng)檢驗滿足題設(shè)條件.分別對四個選項進行驗證得B、C正確.

評析：此題以小見大，考查了學(xué)生化抽象為具體的邏輯推理能力和將舊知應(yīng)用于新知的遷移能力.對于抽象函數(shù)我們可以按照此類方法進行求解.第一步根據(jù)初始題設(shè)關(guān)鍵特征確定基礎(chǔ)函數(shù)；第二步，根據(jù)題設(shè)具體特征對基礎(chǔ)函數(shù)進行推理并修正；第三步，驗證所求特殊函數(shù)是否滿足題意.通過此類方法的練習(xí)，化抽象函數(shù)不抽象，將抽象再化具體，鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能.此類方法需要學(xué)生熟能生巧，方可在考試中脫穎而出.

2.2構(gòu)造坐標(biāo)系

坐標(biāo)系是以坐標(biāo)為紐帶，把幾何問題代數(shù)化，運用代數(shù)運算來研究幾何圖形的性質(zhì)，建立幾何和代數(shù)的聯(lián)系，以促進知識之間的結(jié)構(gòu)化、整體化、系統(tǒng)化.構(gòu)建坐標(biāo)系在維度上可分為構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系，對于不同維度的圖形題都可以利用坐標(biāo)系優(yōu)化解題路徑.

例3（2022年北京卷第10題）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1，則PA·PB的取值范圍是（）

A.［-5，3］

B.［-3，5］

C.［-6，4］

D.［-4，6］

分析：本題屬于解三角形和向量的幾何綜合題，如果只是從解三角形這一層面來建立和向量之間的關(guān)系，求解思路很難形成，且不易掌握.若構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題代數(shù)化，采取數(shù)形結(jié)合的方法，提高解題效率.

解析：以三角形的C點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，那么C（0，0），B（4，0），A（0，3）.

設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y）.

那么｜PC｜=x2+y2=1，說明點P在圓上運動.

PA=（－x，3－y），PB=（4－x，－y）.（以下略）

評析：此題考查學(xué)生知識結(jié)構(gòu)之間的連貫性，從不同的角度進行解題，對學(xué)生的創(chuàng)造力是一種考驗.構(gòu)建坐標(biāo)系實現(xiàn)向量和坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化，構(gòu)思巧妙，利用數(shù)形結(jié)合思想將向量問題轉(zhuǎn)化為截距問題，降低思考難度，優(yōu)化解題思路，另辟蹊徑.

2.3構(gòu)造數(shù)列

數(shù)列可認為是定義在正整數(shù)集合的函數(shù)，是按一定順序排列的一列數(shù)［4］.在實際問題中，從形式結(jié)構(gòu)等特點可選擇構(gòu)造等差或等比數(shù)列，其間可以運用數(shù)列的定義，逆用等差數(shù)列、等比數(shù)列及數(shù)列求和等性質(zhì)合理地解決數(shù)學(xué)難題，構(gòu)思巧妙，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.

例4（2022年全國甲卷第17題）記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和.已知2Snn+n=2an+1.證明：｛an｝是等差數(shù)列.

分析：此表達式是關(guān)于Sn，an和n這三項的關(guān)系式，為證｛an｝是等差數(shù)列，建立Sn和an的關(guān)系，即an=Sn－Sn－1.

解析：將2Snn+n=2an+1變形為2Sn=2nan+n－n2（①），

所以2Sn－1=2（n－1）an－1+（n－1）－（n－1）2（②）.

①-②得（2n－2）an－1－（2n－1）an=2n－1（n≥2，n∈N）

故而an－1－an=1（n≥2，n∈N），所以｛an｝是等差數(shù)列.

評析：此題解決的關(guān)鍵之處在于學(xué)生是否可以巧妙改寫題設(shè)條件為n-1項等式，并利用恒等式an=Sn－Sn－1作差建立an和an－1的關(guān)系式，得到等差數(shù)列定義達到證明等差數(shù)列的目的.在教學(xué)中應(yīng)選取在高考中代表性強的題目進行變式講解，注重構(gòu)造法的來龍去脈，促使學(xué)生更好地掌握數(shù)列知識本質(zhì).

2.4構(gòu)造不等式

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，所涉及的知識面較廣，相關(guān)的解題思路也較為靈活.在教學(xué)中需要和學(xué)生一起總結(jié)常用的不等式結(jié)論，拓寬解題思路，體會構(gòu)造不等式的優(yōu)勢，把握解題方向.

例5（2022年全國甲卷第21題）已知函數(shù)f（x）=exx－lnx+x－a，證明：若f（x）有兩個零點x1，x2，則x1x2<1.

分析：本題函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)構(gòu)成，是一道典型的函數(shù)同構(gòu)問題，利用同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性，并且有兩個相等的零點，可以得到一個新的函數(shù)關(guān)系式，并可利用積累的不等式結(jié)論加以證明.

解析：f（x）有兩個零點x1、x2，故f（x1）=f（x2），即ex1x1－lnx1+x1=ex2x2－lnx2+x2.由于x=lnex對上述等式變形得：ex1x1+lnex1x1=ex2x2+lnex2x2.由此可構(gòu)造函數(shù)為F（x）=t+lnt（t>0），那么Fex1x1=Fex2x2.以下略.

評析：本題的關(guān)鍵點在于學(xué)生是否可以合理構(gòu)造已知的不等式來求解題目，在此過程中注意要對使用的不等式進行證明.此類方法在圓錐曲線也同樣適用.另外，切線放縮也是證明導(dǎo)數(shù)問題的常用方法，利用已知的結(jié)論來求解問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的必經(jīng)之路.

3思考與建議

綜上所述，利用構(gòu)造法解決高考數(shù)學(xué)問題過程簡易，思維過程不易.對于從已知條件難以入手的問題，只需聯(lián)系所學(xué)知識將已知與結(jié)論相關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)學(xué)模型，抽象條件形象化，解題思路便簡單明了.總之，教師應(yīng)注重從高考題中挖掘構(gòu)造法解題素材，并在平時教學(xué)活動中潛移默化地滲透構(gòu)造法，對學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)有極大的益處［5］.

但在構(gòu)造法教學(xué)需要關(guān)注以下幾點建議：第一，教師在培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造法的過程中也要注重自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，教學(xué)相長，共同進步，善于總結(jié)，找尋構(gòu)造法的精髓和本質(zhì)所在.比如將其作為一題多解中的一種解法來講解.由于構(gòu)造法對解題思維的要求較高，教師最好在展示解題方法的過程中適當(dāng)暴露思維過程［6］；第二，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造法，讓學(xué)生在構(gòu)造中體會知識的應(yīng)用價值、提升素養(yǎng)水平，形成適合自身的解題風(fēng)格，在提升解題能力的同時，促進觀察能力、分析能力、創(chuàng)造能力等綜合能力的全面提升；第三，注意不要過分夸大構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題的作用，在教學(xué)時注意此類事項的發(fā)生［7］，不要給予學(xué)生過多壓力導(dǎo)致顧此失彼.

參考文獻：

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基金項目：西華師范大學(xué)英才計劃課題“教師資格考試制度與教師培養(yǎng)模式改革研究——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例”（項目編號：17YC378）；西華師范大學(xué)橫向項目課題：“中小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)研究”（項目編號：401589）；西華師范大學(xué)教育碩士優(yōu)秀案例教學(xué)研究項目：“兩步”怎么證明“無限”的命題——數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計與實施（項目編號：451029）；問題提出視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)——以任意三角函數(shù)為例（項目編號：451056）.