澳大利亞小學路標數學教材的框架、特點與啟示

邱麗

摘要：教材是落實培育學生核心素養的重要橋梁和工具。新方案、新數學課標的頒布意味著亟需對數學教材進行修訂。作為在國際上有較高教育水準的國家，澳大利亞在數學教材的編制方面有著十分豐富的經驗。對澳大利亞Signpost Maths小學數學教材進行深入分析發現其具有學習導向的教材內容編排、梯度分明的教材習題設計、功能各異的特色圖標設置特點。鑒于此，我國新一輪數學教材編寫應注重以學生為使用主體進行教材編寫、加強教材內部習題編制的梯度性設計、增加教材內部輔助性學習元素的使用。

關鍵詞：澳大利亞；小學數學；教材；核心素養

2022年4月21日教育部印發了《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《數學課標》），《數學課標》的出臺意味著需要進行新一輪的數學教材改革，以落實《數學課標》的新理念與新要求。作為在國際上有較高教育水準的國家，澳大利亞在數學教材的編制方面有著十分豐富的經驗。它山之石可以攻玉，本研究遂選取了在澳大利亞被廣為使用的由Pearson出版集團出版的教材《Australian Signpost Maths》（以下簡稱“路標數學”）進行深入分析，以為我國小學數學教材的編寫和修訂提供參考。

一、澳大利亞Signpost Maths小學數學教材的框架

1.澳大利亞Signpost Maths小學數學教材簡介

路標數學由四類數學教材組成，分別為學生活動用書（Student Books）、教師用書（Teacher’s Books）、習題冊（Mental Books）、網站（Website）。學生活動用書類似于我國小學生所使用的數學教科書，是學生數學課上的主要學習材料。教師用書和我國的教師教學用書類似，能為教師授課提供指導性意見。習題冊和我國數學教材的配套練習冊類似，不同的是習題冊用于對前兩周學生活動用書中相關數學學習內容的復習。網站是一個集數學工具、數學游戲、數學測試等數學資源于一體的開放性線上平臺，可供班級、學習小組、個人使用。由于我國小學生在課堂教學中多是借助數學教科書來進行學習，所以本文的路標數學特指學生活動用書。

2.澳大利亞Signpost Maths小學數學教材的內容組成

路標數學由三大板塊構成：前言、學習內容、答案和測試卷。前言部分的內容主要包括路標數學的介紹、目錄、教學時間安排建議、交叉引用內容、詞匯表五大部分。通過閱讀前言部分可以對路標數學有一個整體的感知。學習內容部分是路標數學的主體部分，包括數與代數（Number and Algebra）、測量與幾何（Measurement and Geometry）、統計與概率（Statistics and Probability）三大板塊。在一、二年級時，4課組成一個單元，單元內容由上述三個板塊的內容混合搭配。二年級以后，單元的劃分由學習內容的類型而定，共被分為數與代數A、數與代數B、測量與幾何A、測量與幾何B、統計與概率五個單元。路標數學的最后一個板塊由答案和測試卷組成。答案是針對路標數學書上每一課的問題制定的參考性答案。測試卷共計8套，在前言的目錄中標注出了建議實施測試的時間。

3.澳大利亞Signpost Maths小學數學教材的編寫線索

路標數學圍繞“七大核心素養”與“四大數學能力”對數與代數、測量與幾何、統計與概率三大板塊的內容進行選材與組織。在核心素養方面，澳大利亞聯邦教育部于2022年4月通過的《澳大利亞課程9.0版修訂版》明確指出了各學習領域（數學、語言、英語、科學、健康與體育、人文與社會科學、藝術、技術）均需要培養的七個核心素養，分別為：讀寫素養（Literacy）、算術素養（Numeracy）、信息與技術素養（Digital Literacy）、批判性和創新性思維（Critical and Creative Thinking）、個人與社交能力（Personal and Social Capability）、道德倫理理解（Ethical Understanding）、跨文化理解（Intercultural Understanding）。任何一個核心素養“都不是某一學習領域的單獨任務，而是各項學習領域共同配合的結果”[ ]。就數學學習領域更為有利培養的核心素養而言，《澳大利亞數學課程標準（9.0版本）》（以下簡稱《澳洲課標》）指出數學學習領域在培養讀寫素養、算術素養、信息與技術素養、批判性和創新性思維、道德倫理理解方面更有優勢。數學學習領域培養上述五大核心素養的具體方式見表1。路標數學通過呈現相應的情景、問題等來輔助教師培育學生的核心素養，每一冊路標數學均體現了核心素養的培養要求。

在數學能力方面，《澳洲課標》明確提出要培養理解（Understanding）、熟練（Fluency）、問題解決（Problem Solving）和推理（Reasoning）四大數學能力。對于“理解”能力和“問題解決”能力，路標數學以圖標的形式進行明確標注。如，“CONCEPT”圖標表示此處有重要的規則和觀念，需要學生充分理解，對應的是“理解”能力；“ACTIVITY”圖標和“INVESTIGATION”圖標表示此處需要學生運用概念和策略來探尋問題解決的方案，對應的是“問題解決”能力。對于“熟練”能力，路標數學學習內容板塊的每一頁都會以直接的文字問題、圖表等內容來培養學生的“熟練”能力。對于“推理”能力，路標數學學習內容板塊將會以真實情境下的復雜問題對學生的“推理”能力進行培養與考察。

表1 數學學習領域培養五大核心素養的方式

二、澳大利亞Signpost Maths小學數學教材的特點

通過對路標數學進行深入分析，發現路標數學具有以下三大顯著特點。

1.學習導向的教材內容編排

教材內容編排的“學習導向”是指教材能夠成為“激發學生學習、引導學生學習的重要材料”[ ]。就課堂教學而言，教材不僅是“教”的材料，更是“學”的材料。作為“教”的材料，教材服務于教師的“教”理所應當。但實際上教材更應該作為“學”的材料，因為學生核心素養的發展只能依靠自身的學習，教師“教”的起點與歸宿均是學生本身。我國著名教育家葉圣陶先生曾言：“凡為教，目的在達到不需要教”[ ]，即“教是為了不教”。學習導向的教材內容編排有利于培養學生的自學能力，促進學生核心素養的發展。

具體而言，路標數學學習導向的教材內容編排主要體現在以下三方面。第一，板塊化和階梯化的知識內容編排。板塊化的知識內容編排是指路標數學的主要學習內容依次可以分為數與代數A、數與代數B、測量與幾何A、測量與幾何B、統計與概率五個板塊。階梯化的知識內容編排是指從該板塊的第一頁（一頁為一個學習內容或知識點）到最后一頁，學習內容的難度逐漸攀升。路標數學板塊化和階梯化的知識內容編排一方面展現了某一方面的數學知識發展的脈絡與結構；另一方面為學有余力想要課后繼續學習路標數學的學生提供了清晰的線索。第二，配套的習題答案。學生擁有習題答案便于學生及時地發現自己的作業何處有錯，繼而進行糾正。只有在及時的、適當的“練習-出錯-糾正”的循環下，學生做習題才有意義。第三，診斷性測試卷的設置。八套診斷性測試卷能夠對學生在某一階段內的學習情況進行總體的考察與評估，從而及時幫助學生發現自身在數學學習上的薄弱之處，繼而有利于學生后期進行針對性地查缺補漏。

2.梯度分明的教材習題設計

由于路標數學的一頁就是一個新的學習內容或知識點，所以路標數學的典型例題和習題鑲嵌于一體。圍繞典型例題背后的知識點所設計的習題具有明晰的梯度。梯度的設置圍繞理解、熟練、問題解決和推理四大數學能力展開。接下來以三年級路標數學中的“圖形復習”一課（Shapes Revision）為例，展示路標數學中習題設計的梯度。該頁開頭呈現了正方形、長方形、正六邊形、圓形、三角形、菱形六張圖片。圍繞這六幅圖片，路標數學共設計了六個習題。第一題直接考察學生是否認識圖形，如“圓對應的是哪幅圖片？”。第二題間接考察學生是否認識圖形，如“三條邊的是哪個圖形？”此二者對應的數學能力皆是“理解”能力。第三題考察學生是否掌握了上述圖形的特征，如“每條邊都相等的圖形是哪一個？”第四題考察學生是否能在組合圖形中找出學過的圖形，如“房子是由（三角形）和（長方形）組成”。此二者對應的數學能力皆是“熟練”能力。第五題呈現了一副由多種圖形組合而成的圖片，要求學生找出在該幅圖片中正方形使用的數量、圓形使用的數量、長方形使用的數量、三角形使用的數量，并要求學生利用學過的圖形畫一幅圖畫。與此同時，該題還注有醒目的“ACTIVITY”圖標。由此可知，該題對應的數學能力是“問題解決”能力。就此例可推知，路標數學習題的設置，采用“小步子原則”進行設計，由易到難，梯度分明，逐步培養學生的數學能力。

3.功能各異的特色圖標設置

路標數學的輔助性圖標可分為反饋型、提示型、娛樂型三類。反饋型圖標每頁都有，其實質是一個“交通信號燈”圖標，共有紅、黃、綠三種顏色。反饋型圖標是學生對此課學習情況的一種自我評價，在“紅色”下面打鉤表示“沒有掌握此課內容”，在“黃色”下面打鉤表示“基本掌握此課內容”，在“綠色”下面打鉤表示“完全掌握此課內容”。反饋型圖標不僅能培養學生的自我反思能力，還有助于教師及時了解學生的學習情況，便于教師在后期教學中及時地進行個別輔導。提示型圖標有“CONCEPT”、“ACTIVITY”、“INVESTIGATION”和“ICT”四種，用來提示或強調教材中某內容的特點、需求。前三種在前文已有介紹，不再重復。“ICT”圖標用來指出或強調教材中的某內容可以使用電腦、計算機或其他電子設備。如，在五年級路標數學的“因素和倍數”（Factors and Multiples）一課中，有“ICT”圖標的地方就明確要求使用計算機去探尋“36，42，48，（），（），（），（），（），（）……”題目的答案。娛樂型圖標一般用于數學游戲和數學謎題中，具有激發學生學習數學的興趣、激勵學生參加數學活動、緩解學生學習數學的疲勞等作用。

三、啟示

由對路標數學編寫特點的深入分析可知，我國新一輪數學教材改革應注重以學生為使用主體進行教材編寫、加強教材內部習題編制的梯度性設計、增加教材內部輔助性學習元素的使用。

1.注重以學生為使用主體進行教材編寫

數學教材真正的使用主體是學生，應以學生為使用主體進行教材的謀篇布局。這就要求數學教材的編寫貼合學生的實際身心發展狀況、能力水平、相關需求等。從路標數學的知識點編排、答案的設置等內容均可以看出路標數學將其使用主體定位為學生，教材完全可以為學生自學使用。反觀我國使用人數較多的人教版、北師大版等數學教材，其在知識的編排上雖是圍繞數與代數、圖形與幾何、統計與概率三大板塊進行設計，但每一板塊的知識卻是錯落分布。如，在人教版三年級下冊的數學教材中，數與代數板塊的內容分布在第二、四、六、七單元；圖形與幾何板塊的內容分布在第一、五單元。上述編排不利于學生把握某內容板塊內知識發展的脈絡，對學生的自學造成了一定的阻礙。此外，我國幾乎所有的數學教材都沒有參考答案，這就導致多數情況下學生只能“等待”教師公布答案，而不是自己及時的去訂正。顯然，這并不是學生作為數學教材使用主體的應有表現。其實，學生作為主體使用教材的研究在國外頗多，我國新一輪數學教材編寫應“扎根本土，借鑒國際成果，促進數學教科書使用研究中的主體由教師向學生過渡的優質轉型和良性發展”[ ]。

2.加強教材內部習題編制的梯度性設計

數學教材內部習題的作用不僅在于幫助學生鞏固新知，也在于“培養能力、開拓思維、熟練技能”[ ]，這是數學教材內部習題編制的應有之意。從路標數學教材內部習題的編制來看，其編制圍繞理解、熟練、問題解決和推理四大數學能力，分別設計相應難度的習題。從開始的“理解”等級，到最終的“推理”等級，習題編制的過程環環相扣，習題編制的難度步步上升。由此可以看出，學生對數學知識的學習是一個從感性認識到理性認識再到實踐加深的良性循環。我國《數學課標》中強調要培育學生的核心素養，而核心素養“牽涉到不僅‘知曉什么’，而且在現實的問題情境中‘能做什么’的問題。”[ ]這就自然而然地要求編者在數學教材內部習題的編制過程中，不僅考察學生對知識的理解、掌握，還應考察學生在復雜的真實問題情境下的問題解決能力。具體而言，在我國新一輪數學教材內部習題的編制過程中應加強習題的梯度設計，從最底層的知識層面的設計，逐步上升到素養層面的設計。就具體的梯度設置而言，我國應扎根本土，辯證地學習、參考澳大利亞等教育強國在數學教材內部習題編制上的梯度設計思想。

3.增加教材內部輔助性學習元素的使用

數學教材內部的輔助性學習元素是指多樣化的圖標、字體、典型人物的提示等能夠減輕學生認知負荷、提供學習線索的助學性支架系統。以路標數學為例，圖標是路標數學中使用最多的輔助性學習元素，共分為反饋型、提示型、娛樂型三類。不同類型的圖標有著各自特定的功能，其綜合使用能夠大大降低學生學習路標數學的難度。此外，從衛生學的角度看，簡潔明了卻意蘊豐富的圖標等輔助性學習元素能夠減輕學生的思維疲勞，促進學生的身心健康發展。我國新一輪的數學教材編寫也應該豐富輔助性學習元素的使用。如，在圖標方面，可根據實際需求設置“交通燈”、“拇指圖”、“標簽圖”等各類表意明確、使用方便的圖標；在字體方面，可對學生在數學學習中接觸到的相關概念、定理等進行加粗設計，并將其置于特定的圖形之中；在人物的提示方面，可編制有特定作用的人物角色來推動學生的數學學習不斷向前發展，等等。

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責任編輯；白文軍