單元整體視角下的問題鏈教學實踐與思考

摘? 要：數學教學要重視單元整體結構，強調知識的邏輯連貫，加強學習理論指導，增強數學活動經驗. 文章以“中點四邊形的探究”為例，就如何進行單元整體視角下的問題鏈教學進行簡要介紹.

關鍵詞：單元整體；問題鏈；中點四邊形

作者簡介：胡柳青（1973— ），男，高級教師，主要從事初中數學課堂教學與解題研究.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“教學建議”中指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯.《浙江省初中數學學科教學基本要求（2021版）》中指出，提倡開展基于核心素養的單元教學設計，在全章、單元整體基礎上進行課時教學設計，發展學生的數學素養. 課時教學對于把握與優化課堂活動進程具有重要意義，但是也存在如下不足：易使知識割裂，無法形成知識鏈和結構體系；過于重視知識技能，缺乏對情感態度的關注，難以提升學生的學科核心素養；易拘泥具體內容“就課論課”，忽視教學整體“高屋建瓴”. 單元整體教學倡導將學習內容置于整體結構之中，更多關注內容的本質、蘊含的思想及素養的提升，對于避免教師過于關注具體知識，拓寬教學視野和提升教學效率等具有重要作用. 現以浙教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊（以下統稱“浙教版教材”）“中點四邊形的探究”一課為例，談談筆者對運用問題鏈進行單元整體視角下的教學的實踐與思考.

一、背景介紹

中點四邊形是對初中階段四邊形知識的拓展，對其進行探究，既是對所學平行四邊形（包括特殊平行四邊形）內容的提升，也是對三角形中位線性質的鞏固. 在常規教學中，教師更多關注如何引導、學生能否理解，目標聚焦在中點四邊形問題的解決，以及進一步掌握特殊四邊形的性質與判定，而對于“中點四邊形是如何產生的，為什么要研究，中點四邊形是如何變化和發展的，怎樣去研究，如何通過中點四邊形讓學生體會和掌握研究幾何圖形的方法和策略，應該研究什么”這些隱含在學習過程中尤為重要的方法經驗，無法得以充分體現. 學生在小學階段已經了解了三角形與四邊形，在七年級和八年級上學期學習了平行線、三角形（特殊三角形）和全等三角形等知識，已經具備了一定的幾何直觀和邏輯推理能力，但演繹和歸納、類比推理等能力還有所欠缺，通過幾何直觀來發現和提出問題、歸納和形成猜想等能力也亟須加強.

二、教材分析

中點四邊形內容散見于浙教版教材第四章“平行四邊形”和第五章“特殊平行四邊形”. 在“4.5 三角形的中位線”一課安排例題證明一般四邊形的中點四邊形為平行四邊形（第99頁）；在“5.1 矩形”（第1課時）安排動手操作，在兩條對角線互相垂直的四邊形紙板中剪出矩形（第116頁）；在“5.2 菱形”（第2課時）要求探究三角形的兩條中位線與三角形的兩條邊所圍成的四邊形的形狀（第122頁），并在作業題中要求證明兩條對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形（第123頁）；最后，在“5.3 正方形”作業題中要求證明順次連接正方形四條邊上特殊位置的四個點構成正方形. 以上內容中包括例題、練習題、活動探究、動手操作，聚焦中位線，又不囿于中位線，從特殊到一般、從一般到特殊，形式多樣、內容豐富，是很好的學習材料. 但是，由于學習內容的時間跨度較大，學生對知識的整體結構較難把握. 因此，將上述內容整合為主題探究成為可能，也勢在必行.

三、教學設計

1. 教學目標

本節課的教學目標設置如下.

（1）通過對中點四邊形的探究，鞏固三角形中位線和特殊四邊形的性質、判定，發展學生的合情推理和演繹推理能力.

（2）經歷畫圖、猜測、驗證、歸納等活動，體會和掌握研究幾何圖形的方法和策略，感受聯想、分類、類比等數學思想.

（3）利用中點四邊形解決問題，培養學生善于發現、樂于思考、勇于創新的學習品質，激發學生的學習興趣.

2. 教學過程

（1）課題引入.

如圖1，順次連接△ABC各邊中點所得的△DEF叫做“中點三角形”. 它有什么特征？說說你的認識.

思考1：在圖1中，取DF，FE，ED的中點，得到新的中點三角形（如圖2），繼續取中點（如圖3），所得中點三角形與原三角形有什么聯系？

思考2：若將圖1中的△ABC變為特殊三角形，如等腰（直角）三角形，所得中點三角形與原三角形有什么聯系？

思考3：若F，E，D分別是△ABC三邊的三等分點（如圖4）、四等分點（如圖5）……，則△FED在形狀、周長、面積等方面與△ABC有什么聯系？

思考4：若將三角形變為四邊形、五邊形……時，所得中點多邊形在形狀、周長、面積等方面與原多邊形有什么聯系？

師生共同確定研究方向：選擇中點四邊形進行研究，探索中點四邊形與原四邊形的聯系.

【設計意圖】上課伊始，教師有意避開中位線問題，從知識整體結構入手，補充中點四邊形的上位概念——中點三角形，引發學生思考，并得出若干想法，因勢利導選取研究主題——中點四邊形. 這既為課堂的探究作了鋪墊，也符合幾何學習的一般過程，即先給出定義，再研究性質、判定，最后應用拓展. 如此處理，突出了學習目標的自然形成過程，提升了學生發現問題和提出問題的能力.

（2）活動探究.

類比中點三角形，順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形叫做“中點四邊形”. 對于中點四邊形，你覺得有哪些方面需要研究？

探究1：想象任意四邊形的中點四邊形是什么圖形？想象有困難的話，可以嘗試畫出一般四邊形的中點四邊形，并觀察其形狀.

針對探究1，教師提出以下問題引導學生思考.

問題1：如圖6，任意四邊形的中點四邊形是什么形狀的四邊形？如何證明？

問題2：中點四邊形與原四邊形是如何建立聯系的？

問題3：上述過程中，你是如何開展探索的？

【設計意圖】探究1的3個問題層層深入. 問題1強調知識的獲得，問題2強調本質的發現，問題3是活動經驗的總結. 師生共同歸納得到“想象—畫圖—觀察—猜想—驗證—歸納”的幾何研究的一般方法. 顯性化的是知識的獲取、本質的發現，更重要的是其中蘊含的數學思想和研究方法.

探究2：我們知道任意四邊形的中點四邊形一定是平行四邊形. 對此，你還有其他想要研究的問題嗎？

針對探究2，師生共同總結以下幾個思考方向.

思考1：由中點四邊形想到中點多邊形，中點多邊形在形狀、周長、面積等方面和原多邊形是否存在聯系？

思考2：由中點四邊形想到中點特殊四邊形，原四邊形為特殊四邊形時，其中點四邊形是否為特殊四邊形？

思考3：逆向思考，當中點四邊形為特殊四邊形時，原四邊形會是什么樣的四邊形？

師生共同確定研究方向：從一般到特殊，特殊四邊形的中點四邊形有何特征？反之，中點四邊形是特殊四邊形時，原四邊形又有什么特征？

針對以上研究方向，教師提出以下問題引導學生思考.

問題1：嘗試運用“想象—畫圖—觀察—猜想—驗證—歸納”的研究思路，探究原四邊形分別是平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形時，其中點四邊形分別是什么四邊形？填寫表1.

[一般四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 中點四邊形 ][表1]

問題2：原四邊形為矩形和等腰梯形時，其中點四邊形均為菱形. 對此，你有什么想法？中點四邊形為菱形時，原四邊形一定為矩形或等腰梯形嗎？

問題3：你能畫出一個不是菱形的四邊形，使得其中點四邊形是矩形嗎？中點四邊形是特殊四邊形時，探究原四邊形需滿足什么條件，填寫表2.

[中點四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 原四邊形 ][表2]

問題4：如圖7和圖8，你能運用其他方法來說明矩形（菱形）的中點四邊形是菱形（矩形）嗎？

【設計意圖】以上探究過程中，關注對象不同，理解角度不同，解決方法不同. 思考1是從特殊到一般，思考2是從一般到特殊，思考3是逆向思考，強調思維的深刻與變通. 問題1 ～ 3的解決，旨在提醒學生不能被事物的表面所迷惑，要透過現象明晰本質，即決定中點四邊形形狀的是原四邊形對角線的數量與位置關系. 對于問題4的解決思路，學生是容易想到的，轉換視角，回到矩形（菱形），利用勾股定理、三角形全等、等腰三角形等知識解決問題，強調知識學習的完備性和思維方法的多樣性. 教師要關注解法的自然生成，讓學生充分表達觀點和想法，主動且富有個性地學習.

探究3：與三角形相比較，四邊形中還有兩條特殊線段——對角線. 如果將對角線的中點納入研究范疇，你會如何思考？

針對探究3，師生共同確定以下幾個思考方向.

思考1：在四邊形中，取各邊和對角線中點，可以得到6個中點，這些中點可以構成多少個中點三角形、中點四邊形？你覺得哪些圖形有研究價值？

思考2：對于這些中點多邊形，你認為該如何進行研究？研究什么？

師生共同確定研究方向：依照上述方法，研究含對角線中點的中點四邊形形狀與原四邊形的聯系.

針對以上研究方向，教師提出以下問題引導學生思考.

問題1：如圖9，在四邊形ABCD中，E，F，G，H，P，Q分別是各邊和對角線的中點，可得到多少個中點平行四邊形？

問題2：如圖10，四邊形EQGP是平行四邊形嗎？你認為原四邊形滿足何種條件時，四邊形EQGP是菱形（矩形）？中點四邊形EQGP是否一定存在？原四邊形有何特征時，它不存在？

問題3：如圖11，對于中點四邊形HPFQ可以研究什么？說說你的想法.

【設計意圖】探究3的設計基于如下考慮. 第一，繼續滲透研究方法，首先研究圖形的基本元素，如邊和角，其次研究由邊角生成的新元素，如三角形的“四線”、四邊形的對角線等. 因此，研究四邊中點后，自然要研究對角線中點. 第二，從知識理解角度而言，學生雖然已經發現和掌握了中點四邊形的有關性質，但是仍然需要教師為學生創造落實“四基”、提高“四能”的機會，通過一題多法、多題化一，使學生理解問題的本質，提升學習能力.

探究4：上述研究中，我們利用中位線及特殊平行四邊形的性質解決了中點四邊形問題. 我們還在一次函數中研究過平行線，能否將中點四邊形放到平面直角坐標系中研究？

思考1：對于線段中點，你有哪些認識？知道線段兩個端點的坐標，你能否表示出它中點的坐標？

思考2：對于“兩直線平行”，你有哪些認識？能否利用直線上的兩點坐標求出直線解析式？若兩直線平行（或垂直），其解析式之間有什么聯系？

思考3：對于一般四邊形的中點四邊形形狀，能得到哪些結論？你可以證明嗎？你能判斷矩形（菱形）的中點四邊形的形狀并證明嗎？

師生共同確定研究方向：嘗試構建平面直角坐標系，求出相應直線的表達式（線段長度），利用解析法解決上述問題.

問題1：對于圖6，以點B為坐標原點，建立如圖12所示的平面直角坐標系. 設點A（a，b），D（c，d），C（e，0），求出中點E，F，G，H的坐標，并求出相應的直線解析式. 你發現了什么？

問題2：對于如圖7所示的矩形（如圖8所示的菱形），你會建立怎樣的平面直角坐標系并進行類似的研究？

【設計意圖】探究4的角度更加獨特，引導學生通過建立恰當的平面直角坐標系表示出中點坐標，利用待定系數法求得相應直線的解析式，最后通過斜率相同（或乘積為-1）得出兩直線平行（或垂直）；利用兩點間線段長度公式得出對應線段相等，從而確定中點四邊形形狀. 該過程引導學生從平面幾何走向解析幾何，從不同角度看待問題，對于拓寬學生的視野、發展學生的數學核心素養大有裨益.

（3）回顧總結.

回顧探究歷程，說說你對中點四邊形的認識，嘗試總結應該如何進行幾何圖形的研究.

問題：今天我們研究了中點四邊形，你可以通過如下幾個方面進行總結：① 我的收獲：數學知識，數學思想，數學問題研究方法；② 我的困惑；③ 我的想法.

師生歸納小結，得到圖13、表3和表4.

【設計意圖】回顧、歸納本節課的學習內容，重點關注知識、方法和經驗. 知識是學習的載體，方法和經驗是本質所在. 將小結設計成“數學日記”的形式，視時間情況也可以讓學生在課后完成，給學生充分思考、交流和總結的時間和空間.

（4）拓展引申.

問題1：觀察圖14 ～ 16，中點多邊形和原多邊形在周長、面積方面是否存在聯系？

學生提出猜想，教師運用幾何畫板軟件探索，并將結果用恰當方式表示出來.

問題2：本節課探究中點四邊形時利用了三角形中位線. 那么，這些圖形之間是否有一定的聯系呢？

教師利用幾何畫板軟件拖動四邊形頂點P，得到如下圖形：圖17和圖18是本節課研究的中點四邊形；圖19是三角形的中位線；圖20和圖21是兩種新圖形.

問題3：想象一下，若點P運動到與△ABC不在同一平面的某個位置上（如圖22），中點四邊形還存在嗎？會是平行四邊形、矩形、菱形嗎？

問題4：如圖23，如果是長方體，連接棱的中點（各面中心），又會產生哪些有趣的圖形和結論？你能運用今天所學的方法研究它們嗎？

【設計意圖】將問題“串”起來，讓學生帶著問題走進課堂，帶著更多問題走出課堂. 對于問題1，讓學生從多個維度研究中點四邊形，角度更加完整，拓寬學生視野. 通過問題2引導學生從二維平面到一維線段再到三維立體，深入對中點四邊形的研究，掌握知識本質. 學生通過深度、廣度研究，全面認識猜想或發現，生成新問題、獲得新發現、帶來新思考，走向“思考—發現—研究—解決—再思考—再發現—再研究—再解決……”的研究之路.

四、教學反思

1. 單元整體視角下的問題鏈教學，把握內容，思“課”之整體

數學知識具有嚴謹的結構體系和學習程序. 受學生認知水平限制，教材內容編排有時會將數學知識結構打亂重組，即所謂的螺旋式上升. 但學生可能會窺一斑而不知全豹. 教師需要弄清楚知識在數學體系中的地位與作用，領悟教材編寫線索與意圖，關注對教材內容的拓展與延伸，將散布于教材中“具有關聯性”的知識點進行串聯、整合、重構，形成相對完整的教學單元，實現單元教學上接下聯、貫通學科素養與課時目標的承上啟下的作用. 本節課將浙教版教材第四章和第五章中有關中點四邊形的內容整合在一起，從三角形中位線開始，研究一般四邊形、平行四邊形（特殊平行四邊形）的中點四邊形形狀與本質，適時拓展延伸，從平面幾何到解析幾何，從二維到一維再到三維，有效避免知識碎片化，讓學生獲得對數學知識的整體認知，以及幾何圖形研究的一般方法與經驗.

2. 單元整體視角下的問題鏈教學，精練于例題，思“題”之深廣

初中階段的數學課堂教學應該有一定的廣度和深度. 廣度體現知識容量與范圍，深度表現數學思想與方法. 單元整體視角下的問題鏈教學中，學生對知識的掌握、方法的提升、思想的領悟都凝聚于例、習題中. 首先，例題中蘊含的知識要素是主干知識和重要思想，不要旁逸斜出、主次不分；其次，例題中隱含的知識含量充足，可以適當拓展，進行豐富和必要的發散與提升；最后，例題中包含的知識種類豐富，既有基礎知識、基本技能，又有基本思想方法和基本活動經驗. 教學中，教師要對所選例、習題精細打磨，關聯教學目標，強化核心思想，保證最終解決的問題具有很高的價值. 本節課從最基礎的問題開始探究，先研究一般四邊形的中點四邊形，然后將其特殊化為矩形（菱形、正方形），又一般化到關注形成本質（對角線的位置與數量關系），接著從靜到動，從平面到立體，引導學生經歷想象、畫圖、觀察、猜測、驗證、歸納、拓展的過程，環環相扣、層層遞進的問題鏈引發學生持續思考，不斷激活具體經驗，達成對知識與方法的深度理解.

3. 單元整體視角下的問題鏈教學，得法于學習，觀“教”之本色

數學教學是學生的學與教師的教的有效統一. 單元整體視角下的問題鏈教學強調“學生之本位”，還“課堂之本色”. 學生是數學活動的主體，教師通過創設問題鏈引導他們發現、探究、交流、歸納，有效梳理知識與方法，發展數學核心素養. 在教學中，教師還可以嘗試引導學生參與變式、編題，提出一些富有探究價值的問題，使得其對知識的理解更為全面、更加透徹，讓不同層次的學生有不同程度的理解，讓個性相異的學生表達獨特的思考路徑，讓學生的疑惑引發教師思考，將被動灌輸轉變為主動探究. 本節課中，通過創設有效的問題情境，引導學生充分思考，師生共同確定研究方向，經歷了類比、猜想、驗證、推理、引申的過程. 在這個過程中，問題是學生自己提出的，研究路徑是學生自己設計的，結論是學生自己探索的，學生感受到數學是如此有趣、有用，數學學習是如此有成就感. 唯有如此，才能讓核心知識的教學和重要思想的培養落到實處，才能真正激發學生的數學學習興趣，激發創新意識，提高數學核心素養.

參考文獻：

［1］唐恒鈞，張維忠. 數學問題鏈教學的理論與實踐［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.

［2］波利亞. 怎樣解題［M］. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2002.

［3］章建躍. 章建躍數學教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.