問題引領促生成，深度探究助理解

［摘? 要］ 文章以“組合數”一課為例，以目標明確、層層遞進的問題串為導向，設計教學情境，引導學生主動探究并深度學習，在“三新”背景下嘗試課堂問題引領教學.

［關鍵詞］ 問題串；問題情境；類比；數學探究

增強問題意識是新課程六大教學理念之一，“問題”是數學的“心臟”，在學生思維的最近發展區設計合適的問題，有助于學生理解概念、發現規律，有助于學生了解知識的來龍去脈，有助于學生強化問題意識、發展探索精神. 在教學設計時，教師應根據教學目標、教學內容、教學重點及難點，把主要學習內容轉化成教學問題. 特別需要注意的是，教師應站在學生的角度設計問題，把需要講解的知識內容轉換成一個個合理有序、層層遞進的問題，同時設計適當的發散性問題，培養學生的求異思維和創新能力.

在實際教學中，課堂時間（長度）有限，在不能改變課堂時間（長度）的條件下，只有想法改變課堂的“寬度”和“深度”，那么如何去改變呢？筆者認為，如果將問題與數學探究有機地結合在一起，可以實現改變，因為這有助于學生發現問題、分析問題、解決問題，促進學生對知識的理解與掌握. 下文以人教A版選擇性必修第三冊“組合數”一課為例，闡述筆者的思考.

內容解析

“組合”是學習“排列”后的第二個重要且特殊的計數模型. 本節課充分發揮問題導向與引領的作用，以及學生的主體性作用，設法營建平等、和諧、開放的教學環境，充分挖掘學生的學習潛能，使學生在自主探究、合作交流的過程中，發現數學本質，積極主動地構建新知. 滲透“轉化與化歸”“分類討論”“特殊到一般”“類比”等數學思想方法，使學生構建新知的同時提升數學能力與數學學科素養.

1. 教材分析

本節課的教學內容是《普通高中教科書·數學選擇性必修第三冊》第六章第二節的“組合數”，主要包含組合數的定義、組合數公式、組合數的性質，是分類加法與分步乘法計數原理、排列知識的延續，也為后續研究二項式定理、二項式系數的性質、等可能事件概率做鋪墊.

2. 學情分析

通過前面的學習，兩個計數原理，排列、組合的概念，大部分學生已經比較熟悉了，他們能清楚地辨析組合與排列問題，能熟練運用兩個計數原理、排列數的計算公式，能借助列舉法處理元素個數較少的組合問題. 通過簡單應用，學生積累了一些處理計數問題的經驗：先分類后分步、先取后排、先特殊后一般. 這為本節課的順利推進提供了有利條件.

3. 教學目標

基于上述教材分析及學情分析，制定如下教學目標：

（1）采用類比的方法探究得到組合數的定義及符號表示，理解組合數的定義.

（2）借助排列與組合的關系推導兩個組合數公式，在應用公式的過程中體會兩者的差異并掌握公式特點及使用條件，同時發現組合數的兩個性質并進行簡單的證明與應用.

（3）通過生活實例抽象出數學模型，通過類比的方法，特殊到一般以及分類與整合的數學思想，提升學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學素養，讓學生充分感受數學源于生活又服務于生活，增強學生應用數學的意識.

4. 教學重難點

教學重點：組合數的定義、組合數公式、組合數的性質.

教學難點：組合數公式的推導.

教學過程

1. 創設情境，導入新課

每年一屆的校運會馬上就要開始了，根據學校安排，要在各班的非運動員中招募志愿者參加志愿服務活動.

問題1 高二（6）班有非運動員12人，從中招募3名志愿者分別參加跳遠、跳高、鉛球的志愿活動，請問有幾種不同的方法？

師生活動：提問個別學生，其他同學聆聽，教師總結歸納，共同抽象出排列模型，回憶排列數公式.

設計意圖 一方面從身邊的生活創設數學問題情境，激發學生學習的興趣與積極性，同時讓學生感受數學源于生活又服務于生活；另一方面回顧上節課學習的排列的概念及計數方法.

問題2 高二（6）班有非運動員12人，從中招募3名志愿者，請問有幾種不同的方法？

師生活動：教師啟發學生思考問題1與問題2的區別與聯系，引導學生回顧組合的定義.

設計意圖 通過設計容易產生混淆的問題，引發學生認知沖突，促使學生尋找一種新的計數方法，激發學生的求知欲，從而引出新課.

追問1：這是一個什么問題？結果能用列舉法表示嗎？

師生活動：師生通過分析得出這是一個組合問題，但很少有學生能列出正確答案，原因是12這個數太大，一一列舉很煩瑣，不容易得出結果. 由于列舉法適合處理元素較少的組合問題，隨著元素個數的增加，操作越來越麻煩，因此教師提出了追問2.

追問2：有沒有更便捷的方法？能否像排列數公式那樣，找到可以求解所有組合問題的公式呢？

設計意圖 列舉法不能列舉所有組合問題的結果，需要引入新的計數方法，使學生明白引入新知的必要性.

2. 類比探究，構建概念

問題3 排列與組合是兩個平行概念，能否用類比的方法進行探究？（用PPT展示排列數的定義）從哪些方面進行類比探究呢？

師生活動：教師引導學生回顧上節課學習排列時的知識點，共同分析得出可以從定義、計數方法、符號表示、公式、應用等方面進行類比探究.

追問1：組合與組合數是同一概念嗎？

師生活動：學生回答“不同，可以從特殊情況加以分析”.

追問2：如果問題2的結果用C來表示，那么結果是多少呢？

設計意圖 教師引導學生用類比的方法對組合進行探究，既回顧了排列的相關內容，又為組合的探究指明了方向. 培養學生觀察、思考、分析能力，以及抽象概括能力.

3. 合作交流，探究公式

問題4 通過辨析排列與組合的概念知道，排列是“既選又排”，而組合是“只選不排”，能否利用這個關系，結合分步乘法計數原理，推導組合數公式呢？即C等于多少？

師生活動：（1）探討研究方案：從特殊到一般的思想以及排列與組合的關系入手，探究組合數公式.

（2）制定探究過程：分成6個小組進行探究（組內進行交流、討論、合作）. 具體安排如下：第1、第2小組從3個不同元素中取出2個元素，探究組合數與排列數的關系；第3、第4小組從4個不同元素中取出3個元素，探究組合數與排列數的關系；第5、第6小組從5個不同元素中取出3個元素，探究組合數與排列數的關系.

（3）展示探究成果.

（4）歸納猜想證明.

（5）分析公式特點.

師生活動：每個小組派一個代表就本小組的探究結果與全班同學一起分享、交流（邊投影結果邊解說），教師適時提問、點評、總結. 當學生分組展示完C與A，C與A，C與A的關系后，教師追問如下.

追問1：這三個特殊情形能否推廣到更一般的情況呢？結論是什么？（A=CA）

追問2：這個結論有什么實際意義呢？

追問3：通過前面的學習，知道排列數公式有兩個，那么組合數公式有幾個呢？

師生活動：教師引導學生歸納結論A=CA，通過分步乘法計數原理解釋此公式的實際意義，通過變形得到組合數公式有兩個，共同分析兩個公式的特點、規定及使用條件.

設計意圖 讓學生體會用特殊到一般思想解決問題的思路，通過小組分工、交流探討、合作學習，鍛煉學生的合作精神及集體意識；通過給足思考的時間以及上臺交流的舞臺與空間，培養學生的數學語言組織能力、交流表達能力、歸納猜想能力、推理論證能力，以及思考問題、分析問題、解決問題的能力，最終實現“用數學的眼光觀察世界”“用數學的思維思考世界”“用數學的語言表達世界”.

4. 公式應用，探究性質

例1 計算下列式子的值.

（1）C；（2）C；（3）C；（4）C.

師生活動：學生獨立完成計算后，教師逐個提問，學生回答，最后教師總結“計算C與C采用乘積公式更好，計算C與C采用階乘公式更好”，并引導學生理解階乘公式的計算技巧及約分特點.

設計意圖 讓學生熟悉組合數公式的特點，并應用組合數公式解決簡單問題，鞏固組合數公式的同時為引出組合數的性質1做鋪墊.

問題5 觀察計算結果，同學們發現了什么？能解釋你的發現嗎？

生：如果兩個組合數上標的兩個數之和等于下標，那么這兩個組合數相等.

師：用數學符號怎么表示呢？

生：C=C.

追問：剛才從兩組特殊的組合數猜想到C=C，同學們能證明這個式子嗎？

師生活動：學生分組交流后派代表匯報如下，從組合數的意義來看，從n個不同元素中取出m個元素與從n個不同元素中取出剩下的n減m個元素是一一對應的，所以組合數相等. 從組合數公式入手，我們采用階乘公式來驗證（投影解題過程）. 最后教師進行評價.

設計意圖 引導學生學會觀察、發現規律，進一步培養學生觀察、歸納、猜想以及推理論證等能力.

問題6 （1）計算C+C的值；

（2）已知C=C，求n的值.

設計意圖 通過變式題組訓練，一方面強化組合數公式的應用，訓練從常數到單變量，由淺入深，層層遞進；另一方面鞏固組合數的性質1，再次體會其大化小、繁化簡的轉化功能.

問題7 從含有班長的12名志愿者中招募3名志愿者，有幾種不同的方法？

追問1：從含有班長的12名志愿者中招募3名志愿者，若班長必須參加，有幾種不同的方法？

追問2：從含有班長的12名志愿者中招募3名志愿者，若班長不能參加，有幾種不同的方法？

設計意圖 利用組合知識解決生活中的實際問題，一方面讓學生再次體會數學源于生活又服務于生活的理念，另一方面讓學生初步嘗試解決特殊條件下的組合問題，在此基礎上掌握此類問題的解決方法，為引出組合數的性質2做鋪墊.

問題8 上述三個問題之間有何聯系？同學們能嘗試寫出幾個類似的特殊結論嗎？

問題9 這些結論能推廣到一般的形式嗎？是什么？同學們能否證明它們呢？

師生活動：學生派代表發言，針對問題8，學生得出如C=C+C，C=C+C的結論，教師補充、說明、評價，師生共同分析其合理性. 針對問題9，學生得出多種形式的結論，如C=C+C，C=C+C，教師及時肯定這些結論都是正確的，公式的本質是一樣的，只是呈現的形式不同，書本上習慣用前者來表示.

設計意圖 培養學生觀察、歸納、類比、分析等能力，培養學生大膽質疑的學習習慣，以及辯證統一的思維能力，讓學生明白歸納猜想的結論未必正確，要進行推理證明.

5. 課堂小結，理解升華

問題10 本節課我們重點學習了哪些知識、方法、數學思想？

教學反思

1. 以問題串為導向，設計教學情境，課堂生成水到渠成，課堂效率事半功倍

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》倡導教師要善于設計適當的問題串幫助學生探究新知，理解新知，設法突破學習障礙，從而更好地掌握新知. 筆者認為，的確如此，要創造性地使用教材，就應該善于設計問題，掐點地提出問題，好的問題能激發學生思考，引導學生深度學習. 因此，問題串的設計是決定教學效果的主要因素，尤其是能突出重點、突破難點、突顯關鍵點的問題串的設計，是上好一節課的關鍵.

本節課共設計了10個大問題，在一些大問題下又設計了若干個追問. 追問是考慮學生的個體差異，依據學情和課堂的進展、學生的疑惑而設計的. 追問要以解決或深入理解問題為目的，體現問題的驅動性、啟發性、關聯性. 本節課以層層遞進的問題串為導向，不斷向學生提供參與數學活動的機會，加上教師適當引導，幫助學生在自主探究與合作交流的過程中真正理解和掌握本節課內容，很好地體現了“以學生為主體，教師為主導”的新課程理念，切實做到了“學生為學習的主人，教師為組織者、引導者、參與者”，起到了事半功倍的效果.

2.以生活中熟悉的例子創設問題情境，自然、切題，富有生活氣息

“問題”被喻為數學的“心臟”，在數學教學過程中，教師精心設計數學問題，創設問題情境，以數學問題為前提組織教學是非常重要的. 它是激發學生積極思考、掌握知識，培養學生數學能力的重要手段，是教師輸出信息并獲得反饋信息的重要途徑.

本節課通過創設“校運會志愿者”這一學生熟悉的生活情境，趁機提出所要探究的數學問題，讓學生從身邊的數學知識入手，體會數學源于生活又服務于生活的課程理念，激發學生學習的興趣與積極性，為探究新知做足了準備. 同時提出的問題讓學生產生認知沖突，激發他們的數學思維，既引導學生回顧上節課學習的排列知識、組合的定義，又自然地引入新知.

3.以公式探究為明線，思想方法、能力素養為暗線，分層探究，深度理解

本節課始終圍繞組合數公式進行探究，注重啟發學生的思維，激發學生自主探究. 在教學中，教師拋出一個問題后不要急著給出答案，舍得給學生想的時間、說的機會，等個別學生說完后繼續傾聽其他學生不同的想法，讓學生的思維過程充分暴露出來后再進行補充、歸納、點評. 例如，在組合數公式的推導中，教師給學生提供了口頭表達、上臺展示、小組討論、合作交流的機會，為學生搭建了展示思維過程的舞臺. 在知識的生成過程中，可以利用特殊到一般的方法引導學生探究，例如，組合數公式、組合數性質的探究，都是先引導學生從較小的組合數與排列數入手，再計算較大的組合數，最后計算一般的帶字母的組合數C.從特殊到一般，從具體到抽象，遵循知識的發生發展規律，符合學生的認知規律. 盡量做到問題層層遞進、由淺入深，在知識的理解過程中滲透轉化與化歸、特殊到一般、分類討論等重要數學思想方法，從而提升學生的數學學科素養.

作者簡介：黃金明（1982—），本科學歷，高級教師，從事中學數學教學與研究工作，曾獲第八屆全國數學教師優秀課觀摩大賽全國一等獎、教育部“部級優課”、福建省第二屆教師教學技能大賽三明市第一名等榮譽，三明市教學名師培養對象，三明市學科帶頭人.

基金項目：三明市2023年度“名師名校長培養對象”專項課題“大單元教學背景下‘高中數學單元起始課教學校本研究”（ZXKTM-2331）.