“繪”數(shù)學 促思維

陳艷飛

［摘 要］小學生思維處于由形象思維向抽象思維過渡的階段，在日常的教學中引導學生巧用畫圖方法解題，滲透畫圖策略、數(shù)形結(jié)合技巧，將抽象復雜的問題具體化、形象化、可視化，有助于提升學生的解題能力，促進學生數(shù)學思維能力的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］畫圖解題；數(shù)學思維；解題能力

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）14-0069-04

小學低年級的學生抽象思維、邏輯分析能力還不夠成熟，需要逐步培養(yǎng)和提升。筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，學生在解決問題的過程中，面對繁雜的文字或者遇到較抽象的題目，時常會出現(xiàn)題意理解錯誤、解題思路不清晰等情況。這些情況長期不解決，會使得學生學習的主動性降低、學習興趣減弱、學習能力下降。學生的學習應該是生動活潑、主動且富有個性的過程。因此，教師在教學中可巧用畫圖“繪”數(shù)學，幫助學生明確概念、理解題意、厘清邏輯關(guān)系、厘清數(shù)量關(guān)系、明確解題方向，從而得出解題策略，讓學生能站得高看得遠，數(shù)學思維更上一個臺階。

一、研究背景及現(xiàn)狀分析

在數(shù)學的學習中，數(shù)形結(jié)合能將抽象復雜的問題具體化、形象化，使得學生在解題時思路更加清晰，提升學生的解題能力。筆者就學生解題時的畫圖情況進行調(diào)研，采取分層抽樣方式對執(zhí)教學校的一至三年級學生進行抽樣調(diào)查，等比例選取了一至三年級共125名學生發(fā)放問卷（如圖1），收回問卷120份，回收率大于95%，調(diào)研數(shù)據(jù)具備參考價值。調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果見表1。

根據(jù)調(diào)查結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，大部分學生的畫圖解題意識較薄弱，認為畫圖并不能幫助自己解決問題，覺得畫圖煩瑣費時；還有學生覺得畫圖會顯得自己對知識理解得不夠好，久而久之就不喜歡畫圖了；只有少數(shù)學生認為畫圖能夠幫助梳理數(shù)學信息、厘清題意、提取關(guān)鍵信息、簡化問題，從而提高做題的效率。

畫圖解題的過程需要學生多種感官的共同參與。運用畫圖簡化問題，將一些文字描述直觀呈現(xiàn)，需要從抽象的問題中概括問題的本質(zhì)，這個過程需要學生長期的經(jīng)驗積累。調(diào)研結(jié)果顯示，導致學生不喜歡畫圖解題的主要原因有：學生接觸畫圖解題的例題較少，掌握的畫圖策略較少；學生的主動意識不夠，平時沒有養(yǎng)成畫圖習慣；學生的抽象思維能力有限，不能運用畫圖將問題直觀化；學生未能找到題型與畫圖的聯(lián)系，缺少畫圖技巧，使得畫圖作用不大。

二、運用畫圖策略提升學生解決問題能力的實踐與研究

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提到，“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣”“建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型”“利用圖表分析實際情境與數(shù)學問題，探索解決問題的思路”。畫圖與幾何直觀聯(lián)系密切，運用畫圖能搭建形象思維與抽象思維的橋梁，“以形助數(shù)、以數(shù)解形”形成數(shù)形結(jié)合，運用畫圖策略將抽象的概念內(nèi)涵、數(shù)量關(guān)系、數(shù)學規(guī)律可視化，將復雜的問題簡單化，可提升學生解題的成就感，增強學生學習數(shù)學的自信心。小學階段，學生的學習是一個循序漸進的過程。在日常的教學中，教師應不斷滲透畫圖意識，注重培養(yǎng)學生的畫圖習慣，提升學生運用畫圖方法解決數(shù)學問題的能力，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。

1.形成意識，運用畫圖策略解決排序問題

在小學低段數(shù)學教學中，學生主動畫圖的意識比較淡薄。大多數(shù)學生面對題目時往往是看著題目空想，當遇到文字較多、題意較難理解的題目時也只是多讀幾遍題目，這樣，學生容易出現(xiàn)思路不清、邏輯混亂等情況。長此以往，學生會逐漸失去學習這類題目的信心，削弱學習數(shù)學的興趣。對此，如果教師換個思路，在平時的教學中不斷滲透畫圖意識，在教學過程中引導學生將復雜的文字內(nèi)容轉(zhuǎn)換為直觀的圖形，培養(yǎng)學生畫圖能力，幫助學生體會畫圖解題的便捷，使學生樂意畫圖，進而提升學生畫圖的主動性，這類問題自然也就迎刃而解了。

【例1】教學問題：“12個小朋友排成一排，從左往右數(shù)，小明排在第7，小云排在第11，小明和小云之間有幾個小朋友？”

這個問題對于一年級的學生來說，直接通過思考得出答案是比較困難的。如果教師平時教學這類題型時常引導學生畫圖分析，那么學生看到這道題就會想到通過畫圖（如圖2）直觀表示出12個小朋友的位置關(guān)系。當學生學會通過畫圖解答這個問題后，之后再遇到類似的問題自然就會選擇用畫圖策略進行解答。

2.培養(yǎng)習慣，運用畫圖策略解決圖形周長問題

畫圖能夠有效地突出解題線索，直觀展示計算推理過程。培養(yǎng)學生的畫圖習慣，有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力。

【例2】教學問題：“（1）用兩個完全一樣的正方形拼一個長方形，長方形的周長比每個正方形多12厘米。每個正方形的周長是多少厘米？（2）張大爺打算用籬笆圍一個長方形果園，長10米、寬6米，其中一邊靠墻，需要多少米的籬笆？”

對于這類習題，抽象思維能力較弱的學生容易思路混亂，產(chǎn)生畏難情緒，但是，如果運用畫圖來解就能很直觀地得出結(jié)果，如圖3、圖4。

運用畫圖策略幫助學生拓展解題思路、梳理步驟、明確邏輯關(guān)系、提煉過程，學生能夠通過畫圖發(fā)現(xiàn)解題思路，找到圖形周長之間的關(guān)系，提出自己的思考。這有利于學生主動性思維、抽象思維的培養(yǎng)，有助于學生在探索畫圖解決問題的過程中初步形成幾何直觀和推理意識。

3.提升能力，運用畫圖策略厘清數(shù)量關(guān)系

喜愛畫圖是小朋友的天性，在數(shù)學學習中巧用畫圖，不但能增加學生學習的興趣，還能進一步激發(fā)學生內(nèi)在的學習動力，促進學生主動學習。運用畫圖把復雜的問題簡單化、煩瑣的文字圖像化、抽象的語言直觀化，有助于提升學生解決問題的能力。

【例3】教學問題：“小華有39元錢，如果小紅給小華14元，那么他們倆的錢數(shù)就相同了，小紅原來有多少元？”

面對這類贈予一定數(shù)量后求自身原來是多少的題型，如果學生讀題后只是在腦海里想象過程，對題目邏輯關(guān)系的理解就容易出錯，如果運用畫圖策略，解題思路就會更加清晰。

如圖5，可知小華原來有39元，加上小紅給的14元，就是39+14=53（元），此時小紅也有53元。求小紅原來有多少錢，只需要把小紅現(xiàn)有的錢加上14元即可，53+14=67（元）。

4.感受價值，運用畫圖策略化繁為簡高效解決實際問題

運用畫圖策略不僅能幫助學生厘清數(shù)量關(guān)系、明確概念本質(zhì)、探究數(shù)學規(guī)律，還能化繁為簡高效解決問題。通過畫圖，學生的多種感官能協(xié)同作用，對已學知識融會貫通，做到舉一反三，學生通過圖形能想到同一類題，還有這類題的解題思路和方法。

【例4】教學問題：“小紅家、小麗家和學校在同一條直路上，小紅家距離學校682米，小麗家距離學校743米。小紅家距離小麗家多少米？有幾種可能的情況？”

對于同一條直線上的三點之間的距離問題，畫圖更直觀，如圖6可明顯得出要分兩種情況。

【例5】教學問題：“喜迎新春，學校舉行了寫帶‘春字成語的比賽，小明寫了5個，小紅寫了4個，小明和小紅一共寫出了多少個帶‘春字的成語？”

如圖7，通過畫圖可以分析共同（相交）的部分是多少，不同的部分是哪些，幫助學生形成有序思考的數(shù)學思維。

對于集合類問題，可以畫出類似的圖形解答，提高學習的效率和答題準確率，使學生能舉一反三，增強學生的自信心，提高學生學習的興趣。

5.體會巧妙，運用畫圖策略將數(shù)學思維可視化

當學生面對難度較大的數(shù)學問題時，僅通過讀題難以厘清思路且無從下筆。此時，教師積極引導學生用畫圖策略幫助理解，讓學生深刻感受通過畫圖策略將抽象的難題變成“可視”的圖形的過程，體會活用畫圖策略能將復雜的問題簡單化、煩瑣的文字圖像化，幫助高效解決難題，進一步體會到畫圖的便捷性、重要性。

【例6】教學問題：“如果[a+b]=5，[ab]=4，求[a2+b2]的值？若[a+b]=9，[a2+b2]=65，求[ab]的值？”

對于這類題型，可巧用完全平方公式（[a±b]）[2]=[a2+b2±2ab]解題，很多學生并不能理解這個公式的推理過程，在使用時容易混淆。學生需要對這個公式理解透徹并能靈活運用，如圖8所示，可以借助畫圖幫助學生理解、記憶，這不但有助于學生更好地使用公式，更有利于學生利用公式變形巧妙地解決類似的數(shù)學問題。

三、研究心得

教師要提高學生主動畫圖解題的意識，引導學生分析問題時可參考例題圖形，在教學中潛移默化地滲透畫圖解題意識，注重學生畫圖解題能力的培養(yǎng)，重視畫圖策略的階段性教學。

低段數(shù)學教材中的圖形一般是實物圖、情境圖，圖片為主文字為輔，可見對于低段學生的畫圖能力的要求是學生能用自己喜歡的圖形表示題意并解決問題。

如何讓學生喜歡上運用畫圖去理解題意呢？針對小學生的心理特點，在低段數(shù)學的教學過程中，為提升學生畫圖解題的主觀意識以及培養(yǎng)學生畫圖解題的習慣，教師需要注意畫圖解題教學的趣味性，不要僅僅為了得到答案而畫圖，這樣會使整個畫圖過程顯得枯燥無味，而是要在畫圖中體現(xiàn)思維，這樣的畫圖才是有意義的，讓學生感受到畫圖的生動有趣，感受到數(shù)學源于生活，明白可以畫圖解決生活中的實際問題，從而幫助學生得到全面的發(fā)展。

教師滲透畫圖意識的同時需要及時對學生的畫圖策略給予恰當評價。教學低段學生時，可以引導學生在畫圖中增加自己喜歡的元素，讓學生結(jié)合例題、生活情境等進行畫圖改造，形式可以多種多樣。同時，對于學生的畫圖成果，教師也要及時給予評價，這有助于提升學生的畫圖積極性以及興趣。評價方式可以多種多樣，可以是教師的評價、同學的評價、自我的評價、家長的評價等。高效的評價可以強化學生的畫圖意識，有利于學生之間相互學習畫圖策略，幫組學生樹立信心，促進學生積極發(fā)展。

學生的天性都比較喜歡“畫”，學生將自己的理解、思考過程和思考結(jié)果通過畫圖展示出來，同時也將自己的數(shù)學思維體現(xiàn)出來。引導學生把數(shù)學畫出來，可以通過畫點子圖、線段圖、解題思路圖、小報等，去理解和表達自己眼中的數(shù)學知識。讓學生的思維可視化，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。學生的“畫”不僅僅是美術(shù)層面的畫，更是學生帶著數(shù)學思考的畫。

由于小學低段學生缺乏畫透視圖、線段圖、草圖等的日常練習，畫圖經(jīng)驗不足，畫圖能力較弱。平時教師需要加強畫圖策略的滲透，可以布置一些畫圖實踐作業(yè)，可以是手抄報、情境設計圖、數(shù)學小游戲設計等，看看學生的創(chuàng)意，這對他們的思維是一種鍛煉和啟發(fā)。

學生在學習數(shù)學的過程中遇到難理解的問題時，巧用畫圖策略可以幫助拓展思維，進行思維上的突破，從而找到解題的方法。教師要認識到這一點，在教學過程中潛移默化地滲透畫圖策略，適當?shù)夭扇—剟顧C制、游戲機制，讓學生將畫圖當作一種好玩的游戲，還可以讓學生根據(jù)自己的想法去設計主題為“生活與數(shù)學”的手抄報，結(jié)合畫圖進行題型歸類整理，讓學生樂于畫圖，從而培養(yǎng)學生的畫圖能力。

在低段數(shù)學的教學中，教師要結(jié)合教學目標，綜合學生的實際情況，引導學生通過畫圖將題目以更加直觀、簡單的形式呈現(xiàn)，從而使學生感受到畫圖的實用價值，培養(yǎng)學生的畫圖習慣，提升學生運用畫圖解決問題的能力，幫助學生形成不同的思維模式和解題的思路。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 陳燕.畫圖策略在數(shù)學教學中的運用[J].小學教學參考，2022（21）：8-10.

[2] 蔡夢婷.巧用畫圖繪活數(shù)學[J].小學教學參考，2021（32）：45-46.

[3] 于冬梅.以數(shù)形結(jié)合提升學生數(shù)學思維能力[J].中國教育學刊，2021（11）：107.

[4] 譚秋萍.“思”與“行”的橋梁：利用畫圖策略解決實際問題[J].小學教學研究，2022（2）：80-82.

（責編 楊偲培）