“問題鏈”引領單元探究　起始課搭建思維臺階

楊會蘭　王丹陽

摘 要：在新課程改革的背景下，數學教學應以提升數學核心素養作為教學設計的根本出發點。“立體幾何初步”章起始課的目的便是讓學生對立體幾何有一個大致的了解，激發學生的學習興趣。通過任務探究、誘導啟發、深度思考來引導學生積極投入數學活動。在增強學生應用數學意識的同時，也提高了立體幾何的趣味性，培養了學生的空間想象能力，強化了數學的教育功能。

關鍵詞：核心素養；章起始課；立體幾何

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2023）31-0115-04

一、 引言

《普通高中數學課程標準（2022年版）》指出，學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的價值觀念、必備品格和關鍵能力。《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》頒布后，“核心素養”成為普通高中新課程改革的最新要求。我們深知，數學核心素養的提升絕不是一蹴而就的，它是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的，我們要以知識為載體，在知識發生發展的過程中有意識、有側重地落實核心素養的培養。學科教學是實現教育目標，落實立德樹人的關鍵環節。對章起始課這種新課型，筆者在學習中探索，在探索中創新，探索出一套在學科育人理念下開展高中數學章起始課教學的新思路與新方法，希望通過章起始課的教學能夠提升學生的數學素養，讓章起始課充分發揮育人功能。

二、 章起始課概述

章起始內容的編寫體現了新課改的理念，在知識觀、學習觀上有所超越。數學章起始課是基于章節起始內容的數學課，有時又被稱為章引言課，從字面意義上理解就是指每一章的開場白，在教學中具有提綱挈領、承前啟后的作用。章起始內容包含了數學學習的核心知識、核心思想和核心研究方法，能夠幫助學生自主構建知識結構與認知結構。章建躍博士曾指出，高中數學章起始課要讓學生明確研究本章內容的基本套路，必須要有“交代問題背景、引入基本概念、構建研究藍圖”的大氣，不要對知識的具體細節做追究，要重點描述本章的內容框架和思想方法，使學生明確該章研究的“路線圖”。學科育人理念下高中數學章起始課的教學，能夠幫助學生更有效地了解數學的起源和發展，感受數學問題如何被發現和最終如何被解決的歷程，體會數學和社會發展如何相互影響，進而提高他們發現、提出、研究問題的能力，達到學會學習、研究的目的，提升學生的學科素養。

三、 具體闡述

近期，筆者參加了河南省優質課比賽，嘗試在大概念、大單元視角下對“立體幾何初步”一章進行單元整體設計，打磨出“立體幾何初步”的章起始課，并榮獲河南省優質課大賽一等獎。本文中，筆者重點描述本章的內容框架和思想方法，交代問題背景、引入基本概念；構建研究藍圖、明確研究路線，使學生學會學習、學會研究。在磨課的過程中，筆者深切地體會到學習數學就是學會發現數學，學會研究數學，學會創造數學。下面對本次賽課的過程做一回顧，對教學設計再次分析和反思，并對章起始課教學提出一些思考。

本節課是人教A版普通高中數學教科書必修第二冊第八章“立體幾何初步”的章起始課，是立體幾何這一章的“劇情簡介”。本節課教學內容全面、跨度大、概括性強，蘊含著豐富的數學思想方法和思維方式，是培養學生思維發展的契機，是對研究思路的顯化、遷移與致用。

立體幾何是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學分支，是培養學生空間想象、邏輯推理、數學運算能力的極佳內容，也是提升學生數學學科素養的重要板塊。立體幾何的章起始課，目的是讓學生對立體幾何有一個大致的了解，知道為什么要學習立體幾何，要學習哪些內容，以及怎樣學習立體幾何，提高學生學習立體幾何的興趣，以便后續能更順利地完成這一章的學習。學生在小學已經認識了一些立體圖形，在初中又有了平面幾何知識的鋪墊，具備了學習立體幾何的基本能力。但是，對立體幾何的學習需要具備一定的空間想象能力，從平面圖形到立體圖形，學生還是有諸多的不適應。甚至，平面內成立的一些結論還可能會對高中的學習造成負遷移。所以，在教學中，讓學生多觀察、多操作、多探究，才能讓學生突破難點，收獲滿滿。另外，類比平面幾何中的一些結論，得出立體幾何中的命題，并判斷真假、給出證明，也是克服負遷移的有效方法。

根據章起始課的功能和立體幾何的特點，本節課的教學目標如下：

1. 通過對現實世界中立體圖形的舉例，讓學生體會到立體幾何在實際生活中的重要性，了解學習立體幾何的必要性。

2. 通過視頻，介紹幾何之父歐幾里得和他的《幾何原本》，讓學生了解相關的數學文化，適時對學生進行立德樹人教育。

3. 通過對本章內容的介紹，讓學生了解本章的學習內容和學習順序，了解“整體→局部→整體”這種研究立體圖形的有效途徑。

4. 在解決問題的過程中提煉方法，初步建立空間概念，有意識地引導學生培養自己的空間想象、邏輯推理、數學抽象和數據分析等能力。

本節課有一明一暗兩條線。明線是圍繞長方體設置的“問題鏈”。暗線是本章的研究內容、研究順序和研究方法。依據知識發生發展的過程和學生的認知規律，在解決問題的過程中展開教學，讓學生在解決問題的過程中了解本章的學習內容和學習方法。

研究順序如下：

識長方體：將蛋糕盒抽象成長方體，通過研究蛋糕盒的結構特征，了解本章第一節內容“基本立體圖形”。

畫長方體：通過畫（識）長方體的直觀圖，介紹本章第二節內容“立體圖形的直觀圖”。

算長方體：通過計算長方體的表面積和體積，介紹本章第三節內容“簡單幾何體的表面積和體積”。

剖析長方體：通過研究長方體，得出構成空間圖形的基本元素。

剖析長方體的棱和面：通過研究長方體棱的位置關系，以及長方體棱和面之間的關系，介紹本章第四節以及后續內容“空間點、直線、平面之間的位置關系”。

長方體的截面問題：通過研究長方體的截面問題，培養學生的空間想象能力和動手操作能力。

長方體表面上的角和距離問題：通過求長方體一個面上角的問題，介紹將空間問題轉化為平面問題的第一種方法（將平面從空間中抽離出來）。通過求長方體表面上兩點的距離，介紹將空間問題轉化為平面問題的第二種方法（通過展開，將空間問題轉變成平面問題）。

用長方體：通過借助長方體直觀判斷命題的真假，介紹學習立體幾何的一般思路：直觀感知→操作確認→推理論證→度量計算。

另外，本節課的教學設計還有兩個亮點：一是情境教學，二是類比法。在整個教學過程中，盡可能地以蛋糕和蛋糕盒為情境進行教學，在研究“切蛋糕”“求長方體表面積和體積”“螞蟻吃蛋糕屑”等問題時，均是在實際情境中進行的；本節課始終引導學生類比平面幾何，學習立體幾何。通過類比平面內兩直線的位置關系，研究長方體12條棱的位置關系；從平面幾何的結論類比出立體幾何中的命題，滲透研究新問題的一般方法。

課堂上，筆者首先向學生展示了學習目標，這是為了讓學生明確本節課的學習內容，做到心中有數，有的放矢。然后帶領學生從熟悉的生日蛋糕及蛋糕盒入手，觀察思考，引入立體圖形及空間中物體的形狀、大小和位置關系。彰顯了立體幾何在解決實際問題中的廣泛應用，為后面的學習做鋪墊。筆者還播放了有關歐幾里得和《幾何原本》的視頻，通過視頻介紹，讓學生了解數學家歐幾里得和他的《幾何原本》，滲透數學文化，同時學習歐幾里得志向遠大、刻苦鉆研的精神，為祖國的繁榮發展貢獻自己的力量，滲透立德樹人的教育理念。

在教學的過程中，筆者設置了如下問題鏈：將一個蛋糕切3刀，最多能切成幾塊呢？（展示蛋糕圖片，師生共同探討，得出結論）→你認識哪些空間幾何體？（展示實物模型：圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、棱臺等，本章第一節的內容正是基本立體圖形）→你能將長方體直觀地在紙上展示出來嗎？（本章第二節的內容就是立體圖形直觀圖的畫法）→你會計算長方體的表面積和體積嗎？（本章第三節的內容是簡單幾何體的表面積和體積）→構成長方體的基本元素是什么？→構成空間圖形的基本元素是什么？→長方體各棱所在直線之間以及棱所在直線與長方體的六個面有哪些位置關系呢？（在立體幾何中，我們不僅要學習兩條直線的位置關系、直線和平面的位置關系，我們還會學習兩平面的位置關系，并重點研究兩種特殊的位置關系：平行和垂直。這幾個問題正是本章第四節、第五節的研究內容）→用一個平面去截長方體，截面可能是幾邊形？（以小組為單位，用提前準備的長方體模型，合作探究，然后展示探究結果，最后再由教師動畫演示，歸納總結）→在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，求∠D1AD的正切值是多少？（這個問題的本質是將面ADD1A1從空間中抽離出來，從而將空間問題轉化成平面問題，這樣就可以用平面幾何的知識進行解決）→如何求螞蟻在長方體表面爬行的最短路程？（將空間問題轉化為平面問題的另一種方法：展開成平面圖形）→如何判斷命題的真假？（類比平面幾何的結論，我們可以得到很多立體幾何中的命題。通過直觀感知、操作確認，基本可以判斷這些命題的真假。若是假命題，舉反例即可；若是真命題，就需要嚴謹地推理論證或度量計算）通過一連串的問題，引導學生了解本章的內容和結構，了解認識立體圖形的有效途徑，并從中初步體驗直觀感知和操作確認的研究思路，為高效學習本章內容做好鋪墊。在帶領學生探尋答案的過程中，潤物細無聲地培養了學生的空間想象能力，介紹了將空間問題轉化為平面問題的方法，提高了學生直觀想象、邏輯推理、數學抽象等學科素養，也帶領學生感受到了研究立體幾何的一般方法：直觀感知→操作確認→推理論證→度量計算。

本節課是按“為什么學習立體幾何？學習什么內容？怎么學立體幾何？”的順序展開的。然后由整體到局部，學習構成空間幾何體的基本元素點、直線、平面之間的位置關系，并重點研究了平行和垂直兩種特殊的位置關系。由整體到局部，再由局部到整體，這也是我們認識立體圖形的有效途徑。

在研課、磨課的過程中，筆者深刻地體會到“問題鏈”對引導思維路徑、拓展高階思維空間的功用。數學問題是培養學生問題意識、提高數學核心素養的前提。本節課通過切蛋糕、畫長方體蛋糕盒、求長方體蛋糕盒耗費材料等問題引入立體幾何中的“識長方體”“畫長方體”“算長方體”“剖析長方體”“用長方體”等內容，提高了立體幾何的趣味性，激發了學生學習立體幾何的熱情。好的問題啟智增慧，在探究的焦點處巧妙設置問題，不僅有利于學生知識的自然增長，拓展高階思維空間，調動思維發展，還能讓學生獲得積極的情感體驗。

明暗兩線的貫穿是數學知識情景化的體現，這也是將數學知識轉化為數學素養的重要途徑。本節課有一明一暗兩條線。明線是不斷挖掘長方體的載體功能，通過改變元素的呈現方式，圍繞長方體不斷提出9個問題。這9個問題環環相扣、逐步深入。暗線是本章的研究內容、研究順序和研究方法。明線暗線縱橫交錯、貫穿始終，讓學生在主動探究的過程中掌握立體幾何的基礎知識，逐步形成空間觀念，學會研究數學問題的基本方法，啟發學生主動思考，提升數學核心素養。

為了實現知識與思維的同步發展，我們需要結合具體的內容，積極展示知識發生發展的全過程以及蘊含在知識中的思想方法。引導學生探求未知的世界不是簡單地重現歷史，而是要把研究的經歷和經驗留給學生。我們需要教會學生學習，然后真正放手讓學生去探究，把課堂還給學生，把數學研究的機會還給學生。因此，我們需要有研究數學的精神，把研究數學的精神融入數學教學的每一個環節，讓老師的研究精神引領學生的研究精神，為學生的終身發展奠定基礎。

章建躍博士曾指出，教學設計需要體現數學教學的整體性、邏輯性和連貫性，要站在單元整體的視角去進行各個課時的設計。單元整體設計不僅有利于核心素養的落地、課程的校本實施，還有利于學生的健康成長、教師的專業發展。單元整體教學就是先建構單元整體，引領和幫助學生建立有關本單元的知識框架，建立輪廓化印象，然后再深入研究具體的單個知識。學生只有在結構化的知識里才能理解知識之間的關系，才能透過關系發現本質，進而再以這些本質性的認知去解決更多同類或有緊密關聯的問題，實現高效率的知識遷移。在本節課中，筆者不僅關注學生思維的原點，還盡力在新知學習中為學生提供探究的支點，構建主題框架，形成完整知識體系，力圖體現數學學科的整體性和系統性。

正是基于對“章起始課”的興趣和熱愛，筆者于2021年申報了河南省普通高中育人方式改革研究課題《學科育人理念下高中數學章起始課教學的實踐研究》，并于2022年3月5日正式開題。筆者在帶領課題組研究“章起始課”的同時，還鼓勵大家上好“章起始課”。在這個過程中，我們不能僅僅局限于每一章的“章起始課”，還要把目光投向了更遠處和更深處。一章可看作一個單元，幾個章構成一個大單元、大領域，比如概率與統計領域，函數、方程與不等式領域，空間向量與立體幾何領域等，領域內部具有很強的關聯性或同構性。基于這樣的關聯，我們設置了“領域起始課”。“領域起始課”對本領域的其他章起始課有先行組織、把控全局的作用，比如“函數的概念與性質”章節起始課。在“起承轉合”的過渡章，我們用類比或同構的方法架起新舊知識間的橋梁，使學生的思維形成連貫性，以建構起知識網絡體系，在此，我們設置了“中程起始課”，比如“計數原理”一章，“分類加法計數原理和分步乘法計數原理”前聯系“概率”，還可以簡化對古典概率模型的研究，“二項式定理”后聯系“隨機變量及其分布”，能把握“二項分布”的本質。而在身處系統“收口”位置，肩負優化學生認知結構、完美收官的終結章，我們開發了“終端起始課”。比如“一元函數的導數與應用”就可以設置為終端章節起始課，導數是研究函數單調性、極值、曲線的切線以及一些優化問題的重要工具，同時對研究幾何、不等式也起著重要作用，在本章完美收尾。

四、 結論

總之，章節起始課教學要先了解學情，做好新舊知識的銜接，從低起點處切入，避免章節開始就出現令人生畏的現象，內容要“平易近人”，才能激發學生學習和探究的欲望，點燃學生的思維火花。同時，章節起始課教學還要在“高立意”上展現，高屋建瓴式構建知識體系，統領全局，不能局限于局部知識點的教學上，要讓學生對本章內容有一個全面大致的了解，幫助學生構建整章甚至整個領域的知識體系，使其有針對性和目的性地參與課堂，打消他們對后續學習的茫然和焦慮情緒。做好章節起始課的關鍵是把握好章節起始課與新知識的度，了解學生現有的知識結構，指導學生構建知識體系，規劃學習路徑，優化學習方法，助力教與學，提升教師的科研能力和學生的學科素養。

參考文獻：

［1］章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.

［2］何睦，羅建宇.高中數學章節起始課的教學研究與案例設計［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2019.

［3］劉徽.大概念教學：素養導向的單元整體設計［M］.北京：教育科學出版社，2022.

課題項目：文章系2021河南省普通高中育人方式改革研究課題“學科育人理念下高中數學章起始課教學的實踐研究”（立項編號：GZYR2021045）的研究成果。

作者簡介：楊會蘭（1975～），女，漢族，河南新鄉人，新鄉市第一中學，研究方向：數學教育；

王丹陽（1983～），女，漢族，河南新鄉人，新鄉市第一中學，研究方向：數學教育。