單元背景下高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)的研究

王宗艷

［摘? 要］ 雖然數(shù)學(xué)公式蘊(yùn)藏著豐富的教學(xué)資源，但有些教師只注重公式的結(jié)構(gòu)與應(yīng)用，淡化了公式的推導(dǎo)過程，導(dǎo)致學(xué)生思維缺失. 為了打破這一現(xiàn)象，研究者對單元背景下的高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)進(jìn)行了研究，并以“兩角差的余弦公式”的教學(xué)為例，從以下五方面展開分析：創(chuàng)設(shè)情境，引入研究主題；聯(lián)想啟思，探尋解決辦法；問題驅(qū)動(dòng)，嚴(yán)謹(jǐn)論證猜想；實(shí)際應(yīng)用，深化理解程度；總結(jié)反思，實(shí)現(xiàn)內(nèi)化遷移.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)公式；單元整體；公式教學(xué)

數(shù)學(xué)公式反映了數(shù)學(xué)對象屬性間的聯(lián)系，公式教學(xué)的影響不僅體現(xiàn)在學(xué)生“四基”與“四能”的發(fā)展上，還體現(xiàn)在學(xué)生對知識的理解、遷移、探究上以及學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)上. 在實(shí)際公式教學(xué)中，有些教師存在“重應(yīng)用，輕過程”的行為，導(dǎo)致學(xué)生無法真正領(lǐng)悟公式的本質(zhì)，應(yīng)用時(shí)難免漏洞百出. 基于單元背景的公式教學(xué)研究，能讓學(xué)生掌握基本知識結(jié)構(gòu)，了解公式的來龍去脈，感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，為深度學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 本文以“兩角差的余弦公式”的教學(xué)為例，談單元背景下的公式教學(xué)研究.

創(chuàng)設(shè)情境，引入研究主題

希爾伯特認(rèn)為：對數(shù)學(xué)概念、公式或方法的徹底理解是指學(xué)習(xí)者將現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)與更多、更強(qiáng)的知識連接融合的過程. 單元背景下的公式教學(xué)，關(guān)鍵在于讓學(xué)生明確公式的源頭、生長點(diǎn)、通路與網(wǎng)絡(luò)，明晰為什么要研究這個(gè)公式，該公式具備哪些性質(zhì)等. 教師可創(chuàng)設(shè)一些情境作為公式研究的背景，激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生站到一定的高度審視將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

例如本節(jié)課教學(xué)，是在三角函數(shù)已研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，教師可在課前簡略地與學(xué)生一起回顧相關(guān)知識，提出三角恒等變化除了用于推導(dǎo)平方和關(guān)系式和誘導(dǎo)公式外，還可用于推導(dǎo)哪些公式的問題，以啟發(fā)學(xué)生思考，為引入研究主題奠定基礎(chǔ). 同時(shí)，還可創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的情境，為課堂探究提供實(shí)質(zhì)性的幫助.

直接套用公式屬于低階思維層次，而自主編題則將學(xué)生的思維拉伸到高階層次. 值得注意的是編題時(shí)需要學(xué)生明確公式的代換思想與本質(zhì)，這是促進(jìn)學(xué)生思維質(zhì)變的關(guān)鍵. 吸收、存儲(chǔ)、提取與加工信息是人腦的基本功能，數(shù)學(xué)教學(xué)能全面地訓(xùn)練學(xué)生的大腦功能. 學(xué)生在編題過程中的積極性和成效與當(dāng)前所面臨的困難有很大關(guān)系，因此教師須從學(xué)生的情感、思想與最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，準(zhǔn)確把握學(xué)生的實(shí)際狀況，為公式的實(shí)際應(yīng)用與變通做好鋪墊.

總結(jié)反思，實(shí)現(xiàn)內(nèi)化遷移

課堂接近尾聲時(shí)的總結(jié)可完善學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)公式的認(rèn)識，加強(qiáng)單元背景下知識節(jié)點(diǎn)間的連接，讓學(xué)生對公式的內(nèi)涵與涉及的數(shù)學(xué)思想方法形成完整的認(rèn)識. 好的總結(jié)起到知識梳理與畫龍點(diǎn)睛的作用，對促進(jìn)學(xué)生的反思起到了直接影響.

曾子曰：“吾日三省吾身.”反思是一種思維形式，是人腦對某個(gè)目標(biāo)進(jìn)行執(zhí)著、嚴(yán)肅的沉思過程. 公式教學(xué)的總結(jié)反思，須引導(dǎo)學(xué)生將注意力聚焦于公式的研究方法與內(nèi)涵上，通過回顧與分析研究過程提高思維能力. 借助反思活動(dòng)，學(xué)生可自覺將課堂所學(xué)內(nèi)容作為認(rèn)知對象，優(yōu)化學(xué)習(xí)狀態(tài)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)探究過程與結(jié)論的有效連接，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度解決問題.

在此環(huán)節(jié)中，教師設(shè)計(jì)了如下幾個(gè)問題，以促進(jìn)學(xué)生總結(jié)與反思.

問題1 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家掌握了什么公式？這個(gè)公式的研究思路與研究過程是怎樣的？

這個(gè)問題意在引導(dǎo)學(xué)生對兩角差的余弦公式形成的前因后果進(jìn)行回顧，通過對研究思路與研究過程的梳理，讓學(xué)生反思在研究中的心路歷程，為后續(xù)研究其他公式提供方法上的指導(dǎo).

問題2 請大家說說應(yīng)用兩角差的余弦公式的體驗(yàn).

問題3 圓對稱性的代數(shù)形式為誘導(dǎo)公式，但圓存在無數(shù)條對稱軸，如直線y=tanα·x為圓對稱軸的一般形式，據(jù)此是否可推導(dǎo)出更一般的誘導(dǎo)公式？

問題4 三角恒等變換涵蓋了角與名稱的變換，能否將兩角差的余弦公式從這兩個(gè)角度進(jìn)行思考并變換，從而推導(dǎo)出新的公式？

幾個(gè)層次分明的問題，意在引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課所涉及的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思想做一個(gè)反思與總結(jié). 問題3著重引導(dǎo)學(xué)生從形的角度基于單元背景來分析特殊與一般的關(guān)系，問題4的解決顯然是建立知識間聯(lián)系的過程，也是促進(jìn)學(xué)生遷移知識的過程.

新知建構(gòu)在舊知的基礎(chǔ)上，這對知識遷移提出了較高要求. 知識遷移從本質(zhì)上來說屬于一個(gè)心理變化過程，正遷移不僅能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，還能幫助學(xué)生形成可持續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展的能力；而負(fù)遷移則嚴(yán)重阻礙學(xué)生在學(xué)業(yè)上的發(fā)展.

新知學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生常從感官系統(tǒng)出發(fā)通過感知誘發(fā)聯(lián)想，回憶起相關(guān)舊知，待思維處于活躍狀態(tài)時(shí)，則成功將新知與舊知融于一體，建構(gòu)成新的認(rèn)知體系. 因此，在課堂結(jié)束時(shí)，教師應(yīng)注重知識的回顧與梳理，發(fā)揮知識的正遷移功能，避免負(fù)遷移的發(fā)生.

總之，公式教學(xué)不僅是發(fā)展“四基”與“四能”的關(guān)鍵，還擔(dān)負(fù)著育人功能，對學(xué)生的成長具有重要影響. 單元背景下的公式教學(xué)，能讓學(xué)生從宏觀角度認(rèn)識公式的本質(zhì)，能為學(xué)生靈活應(yīng)用公式夯實(shí)基礎(chǔ).