算理和算法融合 助推深度學習

丁大秋

［摘要］ 計算教學有利于培養學生思維的靈活性和敏捷性，傳統計算教學存在著重算法、輕算理的現象，大量機械重復的訓練加重了學生課業負擔。在實際教學過程中，通過把算理和算法有機融合，使學生充分經歷探究過程，注重算理多元表征，強化實踐練習以提升學生的思維品質。

［關鍵詞］ 計算教學；算法；算理；多元表征；深度學習

計算是小學數學課程的重點內容。加強計算學習是學生進一步求知的需要，是促進學生思維發展的需要，更是數感形成的重要途徑。日常教學中，往往存在著輕算理、重算法的情況。換言之，學生只是計算的“工具”，缺乏對計算過程、計算原理的深層次理解。筆者認為，把算理理解融合到算法掌握過程之中，有利于加強學科實踐，助推學生開展深度學習。

一、創設生活情境，引發探究熱情

脫離了生活背景知識的支持，計算教學便成了無源之水、無本之木。縱觀我國各版本小學數學教材，均把計算方法、計算原理有效滲透于問題解決過程中，力求體現學生數學學習是“生動的、活潑的、現實的和富有挑戰意義的”。教師在教學時，應注重生活情境創設，力求把枯燥乏味的計算鑲嵌在實際問題解決之中。

例如，在教學“三位數乘兩位數”時，教師創設如下情境：明德小區有高層樓5幢，小高層樓16幢，多層樓16幢；高層每幢住236戶，小高層每幢住128戶，多層每幢住48戶。學生自主提出高層、小高層、多層各能住多少戶的問題，并列出236×5，48×16，128×16三道乘法算式。教師帶領學生借助前兩道算式回顧三位數乘一位數、兩位數乘兩位數的計算方法，解釋計算原理，而后通過128×16展開新知探究。

這個情境把復習和探究新知相結合，凸顯了知識學習的連貫性、一致性特質，復習不著痕跡，新知順勢引出，使得學習具有高度主動性，引發學生的探究欲望。通過復習，學生對三位數乘一位數、兩位數乘兩位數的計算方法和算理有了更清晰的認知，有助于在知識生長點上展開探究活動，形成新的認知結構，促進后續知識的學習。

二、經歷探究過程，促進法理融合

算法和算理是對一類數學問題計算過程的抽象，算法是對現實問題解決方法的模型化概括，算理則是對算法的高度抽象。要讓學生理解算理、掌握算法，離不開學習者個體的主動探究和自主建構。

例如，在教學“兩位數乘一位數”筆算時，教師出示題目：湖面上飛過3隊大雁，每隊12只，一共有多少只？學生列出算式：12×3。在探究算法時，如果教師直接提示：要把12拆成10和2，分別乘3，然后把結果相加，學生將對這一方法缺乏主動認知和深度理解。對此，可以先請學生用小棒擺一擺，再借助小棒圖探究算法。學生經過仔細思考，充分交流得出兩種比較有代表性的方法：①3個10是30，3個2是6，30和6加起來是36；②3×2=6，3×10＝30，30+6=36。借助小棒圖思考，能夠有效降低思維坡度。通過引領學生觀察、比較小棒圖和兩種算法之間的聯系，使學生明白兩種算法在本質上是一致的，都是先分再合，都是對小棒圖的簡約表達。

借助直觀操作和主動探究，學生理解了兩位數乘一位數的口算方法。經歷充分探究的過程，學生對兩位數乘一位數的筆算算理和算法理解得更加深刻。借助已有知識，解決新的計算問題，是計算教學必須經歷的過程，“法”和“理”融合，避免了機械記憶和重復訓練。

三、多元表征算理，助推深度理解

小學階段的豎式計算、遞等式計算是學生必須牢牢掌握的內容，是發展智力、形成技能的重要手段。計算方法、步驟、程序既有其內在規定性，也有其存在合理性。而對這個合理性的感悟、理解，需要學習者的探究、合作、交流，在觀點的不斷碰撞、多元表征中理解與接受。

例如，在教學“除數是整十數的小數除法”筆算時，學生通過觀察“關于媽媽購買水果的總價和數量”的購物小票，提出了每千克蘋果、香蕉、橘子各多少元的問題，由此得出三道除法算式：9.6÷3，12÷5和5.7÷6。教師引導學生通過對9.6÷3這道算式口算和豎式計算的探究，初步理解“整數除法的計算法則在小數除法中同樣適用”“商的小數點要和被除數的小數點對齊”，而后請學生自主嘗試用豎式計算12÷5。學生出現了兩種典型的計算結果：12÷5=2……2和12÷5=2.4。教師及時引導學生比較兩種計算結果的差異，學生們一致認為用“2……2”表示香蕉的單價不符合生活常識，12除以5，商2之后余下的2還可以繼續除，2除以5商是0.4，最后結果應為2.4。對于如此計算的道理，教師放手讓學生思考，并進行小組交流。有學生通過元、角、分的知識給出理由，12元除以5，每份2元，余2元。把余下的2元換成20角，20角除以5，得到4角，2元4角就是2.4元；有學生通過畫圖給出理由，用一個正方形表示1，12個正方形除以5，每份2個，余2個。把余下的2個正方形，每一個都平均分成10份，表示成20個0.1，20個0.1除以5，得到4個0.1，也就是0.4，合起來就是2.4；還有學生借助小數的意義做出解釋，12除以5余下的2，添上0繼續除，就是20個十分之一除以5得4個十分之一，也就是0.4，最后結果是2.4。

數學多元表征是指同一數學學習對象的多種表征形式。上述教學中，學生在進行小數除法計算時遇到“被除數的末尾仍有余數應添0繼續除”的一大難點，如何突破這一難點成為本節課的關鍵和亮點所在。為此，教師引導學生借助言語表征、圖示表征等多種表征形式從不同角度對“添0繼續除”的算理進行說明。在多維度的辨析中，助推學生對算理的深度理解，有效地把算法和算理勾連起來，減緩了學生的認知坡度，有利于學生從具象思維逐步向抽象思維發展。

四、注重實踐練習，促進知識內化

計算教學最后的歸宿是“算”，所以應通過適度的訓練讓學生達到熟練，而“算”的良好載體是問題解決。教師如果不能深刻地認識到這一點，機械地重復訓練只會增加學生的負擔，使學生望而生厭，而把計算融合在問題解決中，則會激發學生的學習熱情，激起學生的成功體驗。

例如，“兩位數乘兩位數”筆算的課堂教學中，教師適時組織學生完成課堂練習題。教師通過當堂講評，引導學生獨立歸納出豎式的寫法及當中每一步驟的含義，再結合學生自己的歸納成果，一步步把課堂練習題的過程和方法抽象到豎式計算的知識體系中，從而讓學生進一步理解算理、熟悉算法。

平時的計算教學，有些老師往往停留在刻板的訓練上，在學生計算兩位數乘兩位數的題目之后，反復地問學生第一層積表示什么意思、第二層積表示什么意思，學生在不斷地被提問和被追問中，不過是重復“教科書上的結論”罷了，知識的內化、素養的提升都不能真正落地。而在上述教學中，教師的提問給了抽象的算理和算法以鮮活的現實意義，一次成功的體驗勝過無數次的空洞說教。因此，計算練習應該讓學生達到“聞一知十”的目的，以真正減輕學生的課業負擔。

［本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度重點課題“深度學習視閾下小學數學模塊化教學的行動研究”（項目編號：B/2021/02/38）階段性研究成果］