巧妙“引”足夠“退”徹底“拓”

劉紹香

摘要：高效地運(yùn)用優(yōu)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生思維的開(kāi)發(fā)與數(shù)學(xué)高效課堂的打造不可或缺。人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“找次品”是滲透優(yōu)化思想的典型課例。不妨從巧妙“引”、足夠“退”、徹底“拓”三個(gè)方面，引領(lǐng)學(xué)生在運(yùn)用多樣化解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，總結(jié)優(yōu)化出最佳策略，提升學(xué)生的思維力、創(chuàng)新力與拓展力。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化思想；以退為進(jìn)；遷移拓展；小學(xué)數(shù)學(xué)

人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“找次品”是滲透優(yōu)化思想的典型課例。從多樣到優(yōu)化，從分析到概括，從紛雜知識(shí)體系的厘清到數(shù)學(xué)內(nèi)在機(jī)理的把握，對(duì)于五年級(jí)學(xué)生而言，是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)，有難度，但不乏驚喜。如何引領(lǐng)學(xué)生感受解決問(wèn)題策略的多樣性，積累解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提升聯(lián)系生活應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，考驗(yàn)著教師的設(shè)計(jì)水平。實(shí)踐證明，通過(guò)“引、退、拓”三字訣，能夠達(dá)成上述目標(biāo)。

一、善于“引”，巧“引”激興

成功的課堂首先體現(xiàn)在新課伊始。如果教師一開(kāi)始就以聚焦性、形象性、趣味性的方式緊緊吸引學(xué)生的眼球，使之積累一探究竟的熱情，那么，教學(xué)無(wú)疑成功了一半。一旦課堂的初始階段充滿熱度，并且以搖曳生姿的情境聚焦學(xué)生，成為一種喚醒和解放的力量參與到學(xué)生的思維提升中，那么學(xué)生、課堂、教師的精彩融合就是必然，課堂后續(xù)的走向、發(fā)展及推進(jìn)也必定是充滿生機(jī)與活力的。就“找次品”的教學(xué)而言，是按照教材本身的安排引入新課，還是巧妙選擇，以一種更為形象與聚焦的方式吸引學(xué)生呢？

以下是兩位教師針對(duì)“找次品”一課的開(kāi)頭設(shè)計(jì)：

A教師：電子白板出示以下內(nèi)容：3瓶口香糖。教師設(shè)問(wèn)：“3瓶口香糖外表看似完全相同，但其中的一瓶，因?yàn)楣ぷ魅藛T比較貪吃，吃掉了3粒，變成了次品。動(dòng)腦筋想想，你能用什么方法找出次品？哪種方法是最快最好的？”

B教師：出示動(dòng)態(tài)視頻：1986年1月28日，美國(guó)“挑戰(zhàn)者”號(hào)航天飛機(jī)在天空航行時(shí)爆炸，造成了人類航空史上的重大災(zāi)難———7名宇航員全部罹難，價(jià)值12億美元的飛機(jī)在升空73秒后化作碎片。同學(xué)們，釀成如此重大事故的原因是什么呢？學(xué)生自由猜測(cè)，有的認(rèn)為是動(dòng)力不足，有的認(rèn)為是操作失誤，有的認(rèn)為是天氣原因……在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步巧引：“僅僅升空才73秒啊，與動(dòng)力、天氣等原因有關(guān)嗎？”在多番猜測(cè)之后，教師出示結(jié)論：據(jù)調(diào)查，本次空難中，飛機(jī)助推器中一個(gè)不合格的次品O形環(huán)是罪魁禍?zhǔn)住?duì)此，你的感觸是什么？假如你是工廠質(zhì)檢員，你如何對(duì)待不合格產(chǎn)品？你如何從多個(gè)產(chǎn)品中快速地找出次品從而避免經(jīng)濟(jì)或其它重大損失？

悉心比較，B教師做到了善于“引”，巧妙的“引”。一方面，動(dòng)態(tài)視頻相對(duì)于靜態(tài)文字，尤其是令人揪心的航空事故，更能激活學(xué)生的興趣與熱情。另一方面，情境出示之后，教師不是急于把“次品”的概念引出來(lái)，而是不疾不徐，先讓學(xué)生猜，盡情地猜，待學(xué)生“山窮水盡”時(shí)，教師再出示正確答案，使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“急切、蹙眉、迷茫、醍醐灌頂”的思維爬坡過(guò)程。這樣的引入是有意義、有價(jià)值的———學(xué)生的興趣得以大面積激活，思維能力得以進(jìn)一步的開(kāi)發(fā)。

新課伊始巧“引”的方法很多，引人入勝的故事、緊張刺激的視頻、短小有趣的謎語(yǔ)、優(yōu)美輕快的音樂(lè)等等，皆可以成為巧“引”的佐料。不論什么“佐料”，都應(yīng)該點(diǎn)燃學(xué)生的興趣之燈、思考之燈和探究之燈。這意味著教師的課前備課應(yīng)在“情境化、趣味性與形象化”方面下功夫，以此為課堂的精彩、順暢與高效奠定基礎(chǔ)。

二、善于“退”，以“退”為進(jìn)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚“以退為進(jìn)”的理論，至今對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)仍有啟迪意義，他的“善于‘退，足夠的‘退”不僅僅是一種策略，也是一種理念：由易到難或由難到易，都是相對(duì)于以生為本而言———學(xué)生掌握得快，就“進(jìn)”；學(xué)生迷惑不解，就“退”。“退一步”并非“知難而退”，而是為了兼顧更多的中等生及學(xué)困生；“退一步”，退到問(wèn)題的源頭處，能夠幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)的發(fā)生及發(fā)展脈絡(luò)；“退一步”還意味著教學(xué)路線圖的重構(gòu)，教學(xué)支架或梯度的重新架構(gòu)，便于學(xué)生思維的開(kāi)發(fā)。

“退”的環(huán)節(jié)：

教師出示例題：某巧克力制造廠，由于機(jī)器故障，某個(gè)袋子中少裝了3粒巧克力。工作人員不小心把這一次品混入到合格品中。出廠之際還有機(jī)會(huì)查漏補(bǔ)缺，如果你是質(zhì)檢員，如何從3袋產(chǎn)品中找出次品？如果手頭恰好有天平，你能保證幾次找到次品？

教師引領(lǐng)學(xué)生自由猜次數(shù)，但因?yàn)閷W(xué)生初次接觸此類題型，且毫無(wú)經(jīng)驗(yàn)，幾乎難有猜中的同學(xué)。有的說(shuō)至少3次，有的說(shuō)至少2次……面對(duì)這一現(xiàn)象，教師化難為易：“我們研究‘2找‘1，這下，你可以猜中最少次數(shù)吧？”學(xué)生異口同聲：“1次”。教師請(qǐng)其中一個(gè)同學(xué)解釋為什么一次就能找出次品的理由：“天平兩邊的秤盤中各放一袋巧克力，輕的那一袋肯定是次品，只需一次就夠了，從天平的不平衡中可以看出來(lái)。”在此基礎(chǔ)上，教師引領(lǐng)學(xué)生思考“3”中找“1”：“就像‘2中找‘1那樣，先把兩袋巧克力分別放在天平左右兩邊的秤盤上，如果天平不平衡，那么一眼可以看出次品；如果天平平衡，那么，次品在哪里？”反應(yīng)快的學(xué)生大聲喊：“在手中。”于是學(xué)生都恍然大悟，既然次品在手中，那么，無(wú)須再上秤，已經(jīng)圓滿完成任務(wù)。

以上教學(xué)歷程就是“退”。當(dāng)學(xué)生的思維不夠靈活、不夠開(kāi)闊，呈現(xiàn)出停滯、猶豫、迷茫時(shí)，教師需要“退一步”，重構(gòu)學(xué)生思考的方向、起點(diǎn)與路線圖，重新確定適合于學(xué)生實(shí)情的坡度。先適當(dāng)?shù)亍巴恕保銐虻摹巴恕保缓笤龠m當(dāng)?shù)摹斑M(jìn)”，拾級(jí)而上，符合小學(xué)生的年齡與思維認(rèn)知特點(diǎn)。

“進(jìn)”的環(huán)節(jié)：

教師引入：“通過(guò)剛剛的學(xué)習(xí)，大家掌握了一個(gè)竅門：因?yàn)楹Y選與排除，有的次品不能上秤就能確定，從而用最少次數(shù)解決問(wèn)題，而這就是優(yōu)化思想。依據(jù)這一點(diǎn)，我們來(lái)做一個(gè)競(jìng)猜活動(dòng)，同學(xué)們說(shuō)具體數(shù)字（表示要檢測(cè)物品的個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是次品），我來(lái)快速口算最少幾次能找到次品，開(kāi)始———”于是，學(xué)生“你方唱罷我登場(chǎng)”，紛紛出數(shù)字，但老師毫無(wú)意外地快速回答問(wèn)題。一些學(xué)生不禁既佩服又疑惑：“為什么這么快，老師的竅門是什么？”教師適時(shí)出示以下內(nèi)容表格：

注：上邊數(shù)字表示最少次數(shù)，下邊表示這個(gè)次數(shù)所能檢查的最大數(shù)字范圍。

教師進(jìn)一步追問(wèn)：“測(cè)5次呢？6次呢？其中有什么規(guī)律沒(méi)有？如果有規(guī)律，能否用一個(gè)簡(jiǎn)單的公式表示出來(lái)？”通過(guò)反復(fù)討論，師生共同得出結(jié)論：最少n次可以在3n-1+1———3n個(gè)物品中檢測(cè)出次品。

實(shí)踐證明，“以退為進(jìn)”的策略，不僅僅有利于學(xué)生思維的逐步開(kāi)闊，也有利于數(shù)學(xué)問(wèn)題的逐步解決，有利于數(shù)學(xué)高效課堂的打造。數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該在該“退”時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生足夠的“退”；該“進(jìn)”時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生有分寸的“進(jìn)”。

三、善于“拓”，“拓”中遷移

“找次品”的教學(xué)進(jìn)行到這里，基本方法的探尋已經(jīng)初步完成，教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成也初見(jiàn)成效。緊接著，通過(guò)必要的鞏固與一定的拓展就成為必然。關(guān)鍵在于這種拓展要基于全體學(xué)生，力爭(zhēng)達(dá)到覆蓋全體學(xué)生的目的。以下分層訓(xùn)練題目就很好地體現(xiàn)了上述理念。

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題：爸爸買了12袋方便面，其中11袋是合格品，質(zhì)量相等；另一袋是次品，稍微輕一些。如何運(yùn)用天平最少次數(shù)找到次品？請(qǐng)你設(shè)計(jì)最優(yōu)方案。

能力提升題：20瓶洗發(fā)水中有一個(gè)不合格，相較于合格的而言，其質(zhì)量輕一些。請(qǐng)你使用天平找出來(lái)，并說(shuō)明“最少次數(shù)”的理由及方案。

拓展探究題：100片藥片中有一個(gè)稍微輕一點(diǎn)兒，屬于次品。給你天平做工具，你最少幾次能找出來(lái)？能否由少到多，總結(jié)出一個(gè)普遍性的規(guī)律？

從“12”到“20”再到“100”，不僅僅是題型上的由此及彼，也是提升學(xué)生思維水平過(guò)程中的由此及彼。這樣的拓展中，絕大多數(shù)學(xué)生的能力在遷移，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)在積累，思維過(guò)程在優(yōu)化，并且最終總結(jié)出三字訣并牢牢記在心里：“找次品，方法多；三而均，最合適；無(wú)法均，相差一；請(qǐng)牢記，找得易。”

課末，教師還應(yīng)該秉持如下的思路進(jìn)一步“拓”中遷移：設(shè)計(jì)的拓展性學(xué)習(xí)題目是否有新的生成點(diǎn)與拓展點(diǎn)？是否將遷移點(diǎn)的確定建立在全體學(xué)生都有所提高的基礎(chǔ)上？是否在拓展中獲得了恰到好處的增量與附加值？

設(shè)計(jì)及探究：

1.思考：前面的訓(xùn)練中多次出現(xiàn)了“3”以及3的倍數(shù)，這樣的數(shù)的選擇對(duì)于“找次品”意味著什么？如果一開(kāi)始選擇“2”或者“4”會(huì)怎么樣？請(qǐng)作出推理和解釋。

2.嘗試運(yùn)用前面的經(jīng)驗(yàn)或方法解決從“27、81、243”個(gè)待測(cè)物體中找次品的問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上總結(jié)其中的規(guī)律并談?wù)勗砼c感悟。

3.如果不是“3”的倍數(shù)，其中若干個(gè)待測(cè)物體中找次品有無(wú)規(guī)律？能否將前面的方法與規(guī)律遷移到非“3”或非3倍數(shù)找次品問(wèn)題中？其中的最佳策略是什么？如何運(yùn)用優(yōu)化思想或方法？

總之，“優(yōu)化”二字看似簡(jiǎn)單，但深入進(jìn)去，值得師生展開(kāi)溯源性思考與創(chuàng)新性步伐。優(yōu)化思想運(yùn)用得好不好，在于它是否點(diǎn)燃了學(xué)生的興趣之火，在于是否進(jìn)退有據(jù)，是否是一個(gè)既有一定限制亦能多元探究的拓展空間。當(dāng)學(xué)生的思維過(guò)程被優(yōu)化時(shí)，當(dāng)生活的諸多細(xì)節(jié)被優(yōu)化時(shí)，當(dāng)諸如解決“找次品”等問(wèn)題被優(yōu)化時(shí)，課堂的精彩、學(xué)生的精彩和更大范圍內(nèi)的精彩，一定會(huì)豁然顯現(xiàn)出來(lái)。

見(jiàn)習(xí)編輯/張婷婷