巧妙“引”足夠“退”徹底“拓”

劉紹香

摘要：高效地運用優化思想解決數學問題，對于學生思維的開發與數學高效課堂的打造不可或缺。人教版數學五年級下冊數學廣角“找次品”是滲透優化思想的典型課例。不妨從巧妙“引”、足夠“退”、徹底“拓”三個方面，引領學生在運用多樣化解決問題的基礎上，總結優化出最佳策略，提升學生的思維力、創新力與拓展力。

關鍵詞：優化思想；以退為進；遷移拓展；小學數學

人教版數學五年級下冊數學廣角“找次品”是滲透優化思想的典型課例。從多樣到優化，從分析到概括，從紛雜知識體系的厘清到數學內在機理的把握，對于五年級學生而言，是一個不小的挑戰，有難度，但不乏驚喜。如何引領學生感受解決問題策略的多樣性，積累解決數學問題的經驗，提升聯系生活應用數學的能力，考驗著教師的設計水平。實踐證明，通過“引、退、拓”三字訣，能夠達成上述目標。

一、善于“引”，巧“引”激興

成功的課堂首先體現在新課伊始。如果教師一開始就以聚焦性、形象性、趣味性的方式緊緊吸引學生的眼球，使之積累一探究竟的熱情，那么，教學無疑成功了一半。一旦課堂的初始階段充滿熱度，并且以搖曳生姿的情境聚焦學生，成為一種喚醒和解放的力量參與到學生的思維提升中，那么學生、課堂、教師的精彩融合就是必然，課堂后續的走向、發展及推進也必定是充滿生機與活力的。就“找次品”的教學而言，是按照教材本身的安排引入新課，還是巧妙選擇，以一種更為形象與聚焦的方式吸引學生呢？

以下是兩位教師針對“找次品”一課的開頭設計：

A教師：電子白板出示以下內容：3瓶口香糖。教師設問：“3瓶口香糖外表看似完全相同，但其中的一瓶，因為工作人員比較貪吃，吃掉了3粒，變成了次品。動腦筋想想，你能用什么方法找出次品？哪種方法是最快最好的？”

B教師：出示動態視頻：1986年1月28日，美國“挑戰者”號航天飛機在天空航行時爆炸，造成了人類航空史上的重大災難———7名宇航員全部罹難，價值12億美元的飛機在升空73秒后化作碎片。同學們，釀成如此重大事故的原因是什么呢？學生自由猜測，有的認為是動力不足，有的認為是操作失誤，有的認為是天氣原因……在此基礎上，教師進一步巧引：“僅僅升空才73秒啊，與動力、天氣等原因有關嗎？”在多番猜測之后，教師出示結論：據調查，本次空難中，飛機助推器中一個不合格的次品O形環是罪魁禍首。對此，你的感觸是什么？假如你是工廠質檢員，你如何對待不合格產品？你如何從多個產品中快速地找出次品從而避免經濟或其它重大損失？

悉心比較，B教師做到了善于“引”，巧妙的“引”。一方面，動態視頻相對于靜態文字，尤其是令人揪心的航空事故，更能激活學生的興趣與熱情。另一方面，情境出示之后，教師不是急于把“次品”的概念引出來，而是不疾不徐，先讓學生猜，盡情地猜，待學生“山窮水盡”時，教師再出示正確答案，使學生經歷一個“急切、蹙眉、迷茫、醍醐灌頂”的思維爬坡過程。這樣的引入是有意義、有價值的———學生的興趣得以大面積激活，思維能力得以進一步的開發。

新課伊始巧“引”的方法很多，引人入勝的故事、緊張刺激的視頻、短小有趣的謎語、優美輕快的音樂等等，皆可以成為巧“引”的佐料。不論什么“佐料”，都應該點燃學生的興趣之燈、思考之燈和探究之燈。這意味著教師的課前備課應在“情境化、趣味性與形象化”方面下功夫，以此為課堂的精彩、順暢與高效奠定基礎。

二、善于“退”，以“退”為進

著名數學家華羅庚“以退為進”的理論，至今對學生的學習仍有啟迪意義，他的“善于‘退，足夠的‘退”不僅僅是一種策略，也是一種理念：由易到難或由難到易，都是相對于以生為本而言———學生掌握得快，就“進”；學生迷惑不解，就“退”。“退一步”并非“知難而退”，而是為了兼顧更多的中等生及學困生；“退一步”，退到問題的源頭處，能夠幫助學生更好地理解知識的發生及發展脈絡；“退一步”還意味著教學路線圖的重構，教學支架或梯度的重新架構，便于學生思維的開發。

“退”的環節：

教師出示例題：某巧克力制造廠，由于機器故障，某個袋子中少裝了3粒巧克力。工作人員不小心把這一次品混入到合格品中。出廠之際還有機會查漏補缺，如果你是質檢員，如何從3袋產品中找出次品？如果手頭恰好有天平，你能保證幾次找到次品？

教師引領學生自由猜次數，但因為學生初次接觸此類題型，且毫無經驗，幾乎難有猜中的同學。有的說至少3次，有的說至少2次……面對這一現象，教師化難為易：“我們研究‘2找‘1，這下，你可以猜中最少次數吧？”學生異口同聲：“1次”。教師請其中一個同學解釋為什么一次就能找出次品的理由：“天平兩邊的秤盤中各放一袋巧克力，輕的那一袋肯定是次品，只需一次就夠了，從天平的不平衡中可以看出來。”在此基礎上，教師引領學生思考“3”中找“1”：“就像‘2中找‘1那樣，先把兩袋巧克力分別放在天平左右兩邊的秤盤上，如果天平不平衡，那么一眼可以看出次品；如果天平平衡，那么，次品在哪里？”反應快的學生大聲喊：“在手中。”于是學生都恍然大悟，既然次品在手中，那么，無須再上秤，已經圓滿完成任務。

以上教學歷程就是“退”。當學生的思維不夠靈活、不夠開闊，呈現出停滯、猶豫、迷茫時，教師需要“退一步”，重構學生思考的方向、起點與路線圖，重新確定適合于學生實情的坡度。先適當地“退”，足夠的“退”，然后再適當的“進”，拾級而上，符合小學生的年齡與思維認知特點。

“進”的環節：

教師引入：“通過剛剛的學習，大家掌握了一個竅門：因為篩選與排除，有的次品不能上秤就能確定，從而用最少次數解決問題，而這就是優化思想。依據這一點，我們來做一個競猜活動，同學們說具體數字（表示要檢測物品的個數，其中一個是次品），我來快速口算最少幾次能找到次品，開始———”于是，學生“你方唱罷我登場”，紛紛出數字，但老師毫無意外地快速回答問題。一些學生不禁既佩服又疑惑：“為什么這么快，老師的竅門是什么？”教師適時出示以下內容表格：

注：上邊數字表示最少次數，下邊表示這個次數所能檢查的最大數字范圍。

教師進一步追問：“測5次呢？6次呢？其中有什么規律沒有？如果有規律，能否用一個簡單的公式表示出來？”通過反復討論，師生共同得出結論：最少n次可以在3n-1+1———3n個物品中檢測出次品。

實踐證明，“以退為進”的策略，不僅僅有利于學生思維的逐步開闊，也有利于數學問題的逐步解決，有利于數學高效課堂的打造。數學教師，應該在該“退”時，引領學生足夠的“退”；該“進”時，引領學生有分寸的“進”。

三、善于“拓”，“拓”中遷移

“找次品”的教學進行到這里，基本方法的探尋已經初步完成，教學目標的達成也初見成效。緊接著，通過必要的鞏固與一定的拓展就成為必然。關鍵在于這種拓展要基于全體學生，力爭達到覆蓋全體學生的目的。以下分層訓練題目就很好地體現了上述理念。

基礎過關題：爸爸買了12袋方便面，其中11袋是合格品，質量相等；另一袋是次品，稍微輕一些。如何運用天平最少次數找到次品？請你設計最優方案。

能力提升題：20瓶洗發水中有一個不合格，相較于合格的而言，其質量輕一些。請你使用天平找出來，并說明“最少次數”的理由及方案。

拓展探究題：100片藥片中有一個稍微輕一點兒，屬于次品。給你天平做工具，你最少幾次能找出來？能否由少到多，總結出一個普遍性的規律？

從“12”到“20”再到“100”，不僅僅是題型上的由此及彼，也是提升學生思維水平過程中的由此及彼。這樣的拓展中，絕大多數學生的能力在遷移，學習經驗在積累，思維過程在優化，并且最終總結出三字訣并牢牢記在心里：“找次品，方法多；三而均，最合適；無法均，相差一；請牢記，找得易。”

課末，教師還應該秉持如下的思路進一步“拓”中遷移：設計的拓展性學習題目是否有新的生成點與拓展點？是否將遷移點的確定建立在全體學生都有所提高的基礎上？是否在拓展中獲得了恰到好處的增量與附加值？

設計及探究：

1.思考：前面的訓練中多次出現了“3”以及3的倍數，這樣的數的選擇對于“找次品”意味著什么？如果一開始選擇“2”或者“4”會怎么樣？請作出推理和解釋。

2.嘗試運用前面的經驗或方法解決從“27、81、243”個待測物體中找次品的問題，在此基礎上總結其中的規律并談談原理與感悟。

3.如果不是“3”的倍數，其中若干個待測物體中找次品有無規律？能否將前面的方法與規律遷移到非“3”或非3倍數找次品問題中？其中的最佳策略是什么？如何運用優化思想或方法？

總之，“優化”二字看似簡單，但深入進去，值得師生展開溯源性思考與創新性步伐。優化思想運用得好不好，在于它是否點燃了學生的興趣之火，在于是否進退有據，是否是一個既有一定限制亦能多元探究的拓展空間。當學生的思維過程被優化時，當生活的諸多細節被優化時，當諸如解決“找次品”等問題被優化時，課堂的精彩、學生的精彩和更大范圍內的精彩，一定會豁然顯現出來。

見習編輯/張婷婷