“方程與不等式”主題的結構化教學

柏素霞 石樹偉

摘要：初中階段數與代數領域“方程與不等式”主題的教學，從宏觀層面看，要關注共同的研究起源，遵守共同的研究路徑，感悟融通的一般觀念。從微觀層面看，各章（單元）的教學應通過起始課激活研究思路，通過任務驅動或先行組織（類比遷移）展現全章面貌；通過分解課強化“四基”“四能”，充分領會數學建模思想和化簡、消元、降次等化歸轉化思想；通過小結課再次整體建構，更加凸顯內在的思想聯系。

關鍵詞：初中數學；方程；不等式；結構化理解；結構化教學

本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃立項課題“基于蘇科版教材的初中數學學科育人實踐研究”（編號：D/2021/02/613）以及江蘇省初中數學名師工作室“用好課標教材，落實數學育人”專項研修的階段性研究成果。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在課程理念、實施建議中強調：為了適應發展學生核心素養這一重大的課程目標變化，要對作為載體的課程（教學）內容進行結構化整合［1］，“重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系……通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題……”［2］。因此，一線教師落實新課標理念的一個重要任務就是加強對課程內容的結構化理解，在此基礎上做好結構化教學，充分發揮數學學科的育人價值。本文擬對新課標初中階段數與代數領域“方程與不等式”主題中不同層次內容的本質及關聯進行分析，以增強對該主題內容的結構化理解，進而提出結構化教學的建議。

一、宏觀層面的結構化教學

（一）關注共同的研究起源

方程與不等式都是實際問題中含有未知數的數量之間的大小關系的表達，是討論數量關系的一類應用廣泛的數學工具（模型）。數學中最基本的數量關系是大小關系，兩個數量之間的大小關系有三種：大于、等于和小于。方程（組）表達數量之間的相等關系，不等式（組）表達數量之間的不等關系，方程與不等式共同起源于實際問題中數量之間的大小關系。它們都有著悠久的研究歷史，是基本而重要的數學概念。

基于以上分析，建議在首次引入方程或不等式概念時，采用從實際問題入手呈現數量之間大小比較不同情況的方式，如天平兩端物體質量的比較，購買商品不同優惠方式的選擇等。一方面，讓學生感悟方程或不等式來源于實際問題中數量之間相等或不等關系的數學抽象，感悟數學與生活的聯系，發展學生的抽象能力；另一方面，則讓學生感知方程與不等式的聯系，體會方程與不等式都是實際問題中數量之間大小關系的數學表達，感悟方程與不等式內容的整體性。

（二）遵循共同的研究路徑

新課標在課程性質中指出：“數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系；基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律。”［3］這里清晰地闡明了數學學科的研究對象及其來源、研究過程與方法以及研究結果和作用，從宏觀上指明了研究一個數學對象的基本“套路”。方程與不等式除了有共同的研究起源，還有共同的研究路徑：實例—概念—性質—解法—應用。首先由生活到數學，從實例中抽象出方程或不等式模型，形成方程或不等式概念；接著是數學內部的發展，研究等式或不等式的性質，利用等式或不等式的性質解方程或不等式；最后從數學回到生活，應用方程或不等式解決實際問題。

基于以上分析，建議每一類方程或不等式（除了一元一次方程）的章（單元）起始課，遵循著名教育心理學家奧蘇伯爾提出的“為遷移而教”理念，通過先行組織者（回顧本主題已學內容的研究脈絡）類比規劃本章的研究路徑，確定本章研究的脈絡線索和框架結構，讓學生“既見樹木，又見森林”，增強學習的預見性。例如，教學《一元一次不等式》這一章，在前面已經學過有關方程（組）內容的基礎上，學生已經對方程有一定的認識，會用方程表示問題情境中的等量關系，會解一元一次方程和二元一次方程組。所以，可以充分發揮學習心理學中正向遷移的積極作用，引導學生借助已有的認識和經驗，進行類比和遷移，為進一步學習不等式（組）提供一條合理的學習路徑。

（三）感悟融通的一般觀念

著名教育心理學家布魯納非常重視學科結構的教學。為此，他首先強調學習一般觀念。［4］一般觀念也稱大觀念、核心觀念，即遷移力強、適用范圍廣、指導作用大的思想和理念，也可以理解為我們常說的一定領域內知識發生、發展的根本指導思想。一般觀念是有層次的。“方程與不等式”主題具有的相互融通的一般觀念是：用字母表示的未知量可以與已知量一起參與列式和運算，列出并求解方程或不等式。即用字母表示未知量后，未知量可以與已知量一起根據問題中的數量關系參與列式，形成方程或不等式；可以與已知量一起根據等式或不等式的性質參與運算，通過變形求得未知量的值或范圍。過去，用算術方法求未知量，需要由已知量逆向列式表示未知量并計算。因此，用字母表示未知量是一個思想的飛躍，未知量參與列式和運算的過程是一個順向思考的過程，體現了方程或不等式解決問題較算術方法的優越性，其中蘊含著模型觀念和化歸轉化的數學思想方法。

基于以上分析，建議“方程與不等式”各章的教學，特別是起點章——《一元一次方程》和《一元一次不等式》的教學，通過解決實際問題代數方法與算術方法的比較，讓學生體會方程與不等式解決實際問題的優越性——這其實也是新課標將方程內容全部放在初中教學的重要用意之一［5］。每一類方程或不等式每一種解法的教學，都要強化一以貫之的思想聯系：解方程或不等式的過程是化復雜為簡單、化陌生為熟悉的過程，依據等式或不等式的性質，使方程或不等式逐步地變形、化簡為“x＝a”或“x＞a”“x＜a”的形式。每一類方程或不等式的教學，都要讓學生親歷數學建模的全過程，感悟模型觀念和化歸轉化思想。

二、微觀層面的結構化教學

布魯納還指出，學習結構就是學習“事物是怎樣相互關聯的”［6］。其實，宏觀層面的結構化教學更關注具有一致性的知識本質（或者說“通性通法”），而微觀層面的結構化教學更關注邏輯性（有序性）的知識關聯。從宏觀到微觀（從整體到局部），教材對課程內容分章節螺旋上升式的編排是實現結構化教學的具體抓手和重要保障。下面就基于蘇科版初中數學教材的編排，對“方程與不等式”主題的結構化教學進行微觀層面的分析。

（一）“一元一次方程”的教學

一元一次方程是最簡單的代數方程。該內容是教材編排的“方程與不等式”章節鏈條的起點、知識體系的開始，因而是規劃該主題教學的關鍵。在主題教學的起始課中，教師要種下“元”和“次”的種子，后繼就不用在方程概念上耗力太多，可直奔方程的核心，指向數學核心素養與思想方法。

遵循“方程與不等式”主題研究的一般脈絡和線索，《一元一次方程》一章分為《從問題到方程》《解一元一次方程》《用一元一次方程解決問題》三節。具體地，從問題情境出發，引出方程概念，再從一般到特殊，引出一元一次方程概念。方程是特殊的等式，為了給解方程做好知識準備，接著學習等式的性質，然后運用等式的性質解一元一次方程，在此過程中遵循從簡單到復雜循序漸進的規律，按照移項、合并同類項、去括號、去分母的順序逐漸增加方程的復雜程度，關注化歸轉化思想方法的指導。一元一次方程的應用按照加減、倍分等等量關系設置例題和習題，讓學生逐步熟悉由實際問題抽象出方程模型的過程與方法，感悟用一元一次方程解決問題的數學建模基本步驟。

基于以上分析，建議本章起始課的教學，從學生已有知識、經驗出發，讓學生經歷用多種方法解決實際問題的過程，幫助學生突破算術和方程兩種方法之間的認知障礙，引導學生感悟方程是比算術更有力的數學工具。由于本章是“方程與不等式”主題的起始，沒有可供類比的對象，因此，建議由大任務驅動來規劃單元學習路徑。大任務驅動可以成為落實教學內容結構化的重要策略，與傳統的課時學習任務相比，它具有更大的探究空間，能讓學生不斷探尋知識的本質。例如，可將“雞兔同籠”問題設計為一次方程（包括一元一次方程和二元一次方程組）學習的大任務，引導學生嘗試研究其中的等量關系，通過等量關系的符號化引出方程，從中感悟算術方法技巧性太強、方程思路具有優越性，后續自然地引出解方程、用方程解決問題。

在《解一元一次方程》的教學中，需注重上聯和下延，讓學生在結構聯系中學習每一個新知。如對每課時欲求解的“新方程”，都要引導學生分析與上一課求解的“舊方程”的異同，啟發學生通過一定的等式變形，把“新方程”轉化為已經會解的“舊方程”，滲透化歸思想，揭示數學內部的發展規律。

《用一元一次方程解決問題》的教學，應注重讓學生經歷相應的數學建模全過程，從而濃縮重演本章的學習歷程。用一元一次方程解決問題的關鍵是尋找等量關系，應注意讓學生體會實際問題中常見的加減、倍分等類型的相等關系，感受現實世界內在的規律性和反映至數學內部的整體性。

（二）“二元一次方程組”的教學

二元一次方程組與一元一次方程相比，有了“元”的增加。對該內容，教材仍然由實例引出二元一次方程（組）概念；然后，教學解二元一次方程組，其中無論代入消元還是加減消元，都是在化歸轉化思想的指導下將“二元”轉化為“一元”。之后的二元一次方程組的應用其實是一些一元一次方程應用問題在思維上的簡化，即通過添加一個“元”，增加思維寬度，減少思維深度。教材不關注題型的分類，如常見的和差倍分問題、行程問題、配套問題等，而關注建模過程的經歷，特別是數量關系的梳理，著重介紹了用列表和線段圖分析數量關系的方法，且無論哪種方法，都先“領”后“放”，即從方法的具體示范到讓學生自主分析，發展學生的模型觀念和幾何直觀素養。

基于以上分析，建議本章教學秉持“整體立意，前后連貫”的原則，加強與“一元一次方程”內容的聯系。在章起始課中，應貫通兩章內容，引導學生類比一元一次方程的學習規劃本章的學習路徑。后續內容的教學要以一般觀念及其反映的基本思想方法為紐帶，加強兩章之間的縱向聯系，使兩章內容相互溝通，從而加深對主題內容的整體性認識，幫助學生建立功能優良、遷移力強的數學認識結構，體會數學的思維方式。具體地，本章起始課的教學仍可將“雞兔同籠”問題設計為大任務，通過一元方程方法和二元方程組方法的比較，讓學生體會二元方程組方法思維的直接、順暢；“解二元一次方程組”的教學，可通過一元一次方程和二元一次方程組的比較，在化歸轉化思想的指導下，讓學生自主探索發現代入消元法和加減消元法，認識兩種方法之間的聯系；“二元一次方程組的應用”的教學，則可在模型觀念的指導下，引導學生類比一元一次方程的應用，重溫數學建模歷程。

（三）“分式方程”的教學

教材中，“分式方程”部分主要討論分式方程的概念和解法，通過利用分式方程解決實際問題，讓學生了解分式方程具有整式方程不可替代的特殊作用，更適合作為某些類型實際問題的數學模型。分式方程也是相等關系的表達，因此，分式方程模型建構、方程求解的過程與整式方程類似。

基于以上分析，“分式方程”的教學，應充分利用學生已有的方程學習的基礎，加強基本活動經驗和已有一般觀念的運用。教學中，要一以貫之地強調相等關系的重要性，可以借助表格、示意圖多角度引導學生分析相等關系，然后依據相等關系構造方程，使學生逐步領會數學建模思想；還要一以貫之地突出化歸轉化思想在解分式方程中的重要性，化分式方程為整式方程，讓學生體會解法思路是自然的、合理的，提高對新知與舊知之間聯系的認識，提升構建知識體系的能力。

（四）“一元二次方程”的教學

“一元二次方程”是初中階段方程學習的壓軸內容。一元二次方程相較于一元一次方程，在“次”上有了一個躍進，從而能夠刻畫許多一次方程不能反映的數量之間的相等關系，解決更多的實際問題。與已經學過的方程類似，其學習路徑仍為“實例—概念—解法—應用”。一元二次方程的解法仍以化歸轉化思想為指導，通過降次轉化為一元一次方程求解。開平方降次是通法，包括直接開平方法、配方法、公式法，其中體現了從特殊到一般、從具體到抽象的研究思路，進而由一般化的求根公式可得一元二次方程根的判別式、根與系數的關系。而因式分解降次具有一定的特殊性和靈活性。一元二次方程的應用再次體現數學建模的基本歷程，數學模型的建立關鍵在于“二次”的形成。數量之間的相等關系主要有乘法模型（如“單價×銷量＝總額”等）、幾何模型（如直角三角形三邊關系等）、指數模型（如增長率問題等），這些數量關系“形散而神聚”，都指向“二次”。

基于以上分析，建議本章起始課的教學除了類比規劃學習路徑之外，還可將消元、降次進行綜合討論，讓學生對高次方程與多元方程的求解方法形成整體性認識。一元二次方程的前三種解法脈息相通，只是所解方程的復雜程度在逐步增加，教學時應注意讓學生學會把“新方程”轉化為已會的“舊方程”，感悟化歸轉化思想。此外，在解法的探究過程中，要讓學生理解四種解法同根同源、內在聯通，體會其統一之美。在從特殊到一般解一元二次方程的操練過程中，逐步形成對求根公式、根的判別式、韋達定理等知識要點的正確理解。而“一元二次方程的應用”的教學，應適時引導學生總結實際問題中可以建立一元二次方程的數量關系的特征，感悟它們的數學本質及內在聯系；應通過實際問題的解決讓學生明晰數學建模的基本思路。

（五）“一元一次不等式（組）”的教學

“一元一次不等式（組）”一般設置在“一元一次方程”后，從相等到不等符合學生的認知規律。由于不等式解決的是含有不等關系的問題，與之前討論的相等關系既有聯系又有區別，所以，本章教學面臨如何通過比較新舊知識使學生的學習取得新突破的問題。教材由生活實例引出不等式的概念，再從一般到特殊，歸納得出一元一次不等式的概念，這是本章的基本概念。后續學習不等式的基本性質，是為解不等式（組）做準備。接著，學習解一元一次不等式及解集的幾何表示，是為應用做準備。最后，利用一元一次不等式解決實際問題，是本章的重點，也是教學的難點。本章重視數學與生活的聯系，需在列不等式和解不等式的過程中進一步落實建模思想和化歸轉化思想的指導。

基于以上分析，不難發現本章研究線索與《一元一次方程》一章類似，因此類比教學仍是本章教學的不二之選，包括概念、性質、解法、應用的教學都應加強與一元一次方程的類比。本章起始課在教學基本概念后，應類比一元一次方程的學習規劃一元一次不等式的學習路徑。概念及應用的教學，應重視數學與生活的聯系，讓學生經歷利用不等式將實際問題轉化為數學問題的過程，發展抽象能力和模型觀念。解法的教學，不僅要在方法、步驟上加強與一元一次方程的聯系，更要在指導思想（化歸轉化）上加強融通，讓學生感悟方程與不等式內在的統一性。

總之，“方程與不等式”主題各章的教學，應通過起始課激活研究思路，通過任務驅動或先行組織（類比遷移）展現全章面貌；通過分解課強化“四基”“四能”，充分領會數學建模思想和化簡、消元、降次等化歸轉化思想；通過小結課再次整體建構，更加凸顯內在的思想聯系。

參考文獻：

［1］［2］［3］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2022：3，85，1.

［4］［6］布魯納．布魯納教育論著選［M］．邵瑞珍，張渭城，等譯．北京：人民教育出版社，2022：31，23.

［5］史寧中.課程標準修訂與核心素養［J］.教育研究與評論，2022（5）：27.