注重數學概念教學,發展數學核心素養

施小山

[摘? 要] 概念是數學的細胞，是落實核心素養的關鍵. 注重概念教學，厘清概念本質，明確核心素養的六大要素對學生的發展具有重要意義. 文章結合幾個實際案例，從以下幾方面展開闡述：發現并提出問題——引入概念;關注數學抽象——建立概念;注重邏輯推理——理解概念;發展理性思維——應用概念;倡導單元教學——掌握概念.

[關鍵詞] 概念;核心素養;邏輯推理

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）的頒布與實施，對培養學生的數學核心素養提出了明確要求，并將數學抽象、數學建模、邏輯推理、直觀想象、數據分析與數學運算六大要素歸納為數學教學的核心目標. 概念是數學的細胞，是發展學生數學核心素養的重要載體，其教學成功與否直接影響著各要素目標的達成. 為此，筆者特別針對高中數學概念教學進行了大量研究，并取得了一定效果.

發現并提出問題——引入概念

概念反映的是同類事物關鍵、共同的屬性，這些屬性一般從大量同類事物的不同例證中逐一發現，而后匯總到一起，抽象成概念. 概念作為單元教學的“前菜”，是課堂教學不可或缺的一部分，尤其是概念導入成敗，對教學成效有著直接影響. 因此，教師在概念導入環節，應基于學生實際認知需求與存在的困惑，站在學生的角度，設計科學、合理的問題，以啟發學生從數學的角度來觀察、分析問題，及時發現并提出問題，這不僅能幫助學生發現一類事物的共同屬性，為概念抽象奠定理論基礎，還能幫助學生形成良好的創新意識，為后續學習更多、更復雜的概念奠定方法基礎.

案例1 “函數概念”的教學導入.

問題 在一定量的水里加鹽，鹽水濃度未飽和前，鹽水濃度和添加的鹽的質量之間是怎樣的關系？若為函數關系，請指出誰是自變量，誰是因變量.

師：審題時，大家要注意題目中提到的“鹽水濃度未飽和前”這個條件，請根據這個條件提出一些新的問題.

生1：（問題1）當鹽水濃度飽和后，鹽水濃度和添加的鹽的質量之間具備函數關系嗎？

生2：（問題2）鹽水濃度在飽和前、后的過程中，鹽水濃度和添加的鹽的質量之間具備函數關系嗎？

師：問題提得很好，該怎么解答呢？

生3：我認為這兩個問題都不具備函數關系. 問題1提到的鹽水濃度已經飽和，那么鹽水濃度就屬于常量，它不會因為鹽的添加而發生變化;問題2提到的是鹽水濃度飽和前、后的過程，這里存在兩個變化過程，應該不是函數關系.

師：這位同學分析得有道理. 但本節課將要顛覆大家的看法，我們今天要研究的正是這兩個問題——鹽水濃度和添加的鹽的質量之間存在的函數關系.

（學生一個個驚訝地望著教師，表現出明顯的探索欲）

設計意圖 學生對函數概念并不陌生，如果按部就班地直接切入課堂主題，會讓一些學生難以提起學習興趣. 而鹽水情境的導入，成功引發了學生的認知沖突，激發了學生的探索欲.

概念教學伊始，教師從學生的心理特征出發，通過激趣、懸念等方式揭示待學概念的必要性與特殊性，能為課堂教學奠定較好的情感基礎，讓學生帶著疑慮、渴望進入課堂. 學生對函數“變量說”定義的理解為：在一個變化過程中，已知變量x與y，若x確定為某個值，則能相應地確定y值，稱y為x的函數.

按照初中階段的理解，在函數關系中，數值發生變化的那個量為變量，而數值恒定不變的量為常量. 但“一個變化過程”究竟是什么呢？初中階段并沒有給予科學、嚴謹的說明，從中能看出初中階段所接觸到的函數概念還具有一定的探索空間. 在本節課中，教師以一個生活情境為引例，讓學生從這個生活情境中自主發現并提出問題，以成功激起學生的認知沖突，引發學生的探究興趣.

關注數學抽象——建立概念

所謂的數學抽象是對數學對象數量關系和空間形式的抽象. 概念形成過程是數學抽象過程，在此過程中，學生通過對一些典型事例的比較、分析、歸納，從而抽象出數學事物的基本結構或一般規律，也就是數學事物共同的本質特征，且能用數學符號、語言或圖形進行表征.

數學概念本身具有客觀性與抽象性，但學生一般難以領悟其中的內涵. 因此，關注數學抽象對概念教學具有重要影響，究竟該如何讓學生在數學抽象的幫助下建立數學概念呢？實踐證明，問題串的應用能為學生數學抽象搭建“腳手架”，幫助學生形成概念，促進學生思維成長.

案例2 “函數單調性概念”的教學.

問題1 分別觀察函數f（x）=x+1的圖象（見圖1）與函數g（x）=x2的圖象（見圖2），說說由左到右它們的變化規律.

問題2 如何從函數值與自變量變化的視角來刻畫圖象變化規律？

問題3 該用什么樣的數學符號來表達：函數f（x）位于R上，函數g（x）位于區間[0，+∞）上，自變量x增大，函數值也增大？

問題4 嘗試用數學語言總結函數單調遞增或單調遞減的概念.

設計意圖 問題串的設計，意在讓學生通過對問題的逐個突破，體驗概念從圖形語言（上升、下降）到自然語言（增大、減小），再到符號語言（單調性）的轉變過程.

學生的思維經歷直觀形象到抽象邏輯的轉化，充分感知數學直觀描述到符號表達的抽象流程，能促進學生形成良好的數學抽象素養.

注重邏輯推理——理解概念

邏輯推理作為核心素養六大要素之一，是促進學生思維成長的主要途徑. 概念教學離不開邏輯推理的協助，一般的概念理解涵蓋探究概念變式與重建概念系統兩部分. 其中，概念變式有式子、圖形與符號變式，以及反面實例與等價說法等，一類事物的共同本質屬性是概念的本質特征，變式訓練則有利于學生從不同的角度分析概念本質;重建概念系統是指新舊認知互相作用，最終建構新的概念結構的過程.

為了在概念教學中發展學生的邏輯推理能力，教師可有針對性地進行概念變式訓練與重建概念系統練習，讓學生通過獨立思考與合作交流等方式，不斷提升自身的認知能力，建構完整的認知體系，為后續靈活應用概念夯實基礎. 實踐證明，“實驗法”是發展學生邏輯推理能力的重要手段，尤其在概念教學中，融入動手操作過程，能讓學生在親身體驗中自主抽象出概念，深化對概念的理解.

案例3 “線面垂直概念”的教學.

高中生本就擁有一定的生活經驗，對線面垂直有著初步感性認識，但要從概念本質上來說什么是線面垂直，卻有一定的困難. 因此，教師可通過遞進活動的設計，以增加學生的直觀感受，并讓學生在邏輯推理中獲得概念的本質.

首先，教師帶領學生一起回顧直線和平面具有怎樣的位置關系，引發學生感知“線面垂直”是一種特殊的線面相交關系，此過程也能反映出在線面垂直的狀態下，線和面非斜角的理論. 至于如何刻畫線面“不斜”的問題，學生眾說紛紜，如90°角、垂直等.

師：線面垂直究竟是誰和誰垂直？你們所說的90°角，角的頂點是什么？邊又是什么？

隨著問題的提出，學生進入了思考狀態，并在教師的引導下，呈現出了以下探究活動.

探究活動1：將書本豎立在課桌桌面上，觀察書脊所在的直線和書頁面與桌面的交線的關系，感知“線與平面上的線垂直關系的‘存在性”.

探究活動2：觀察不同時間，太陽照射下旗桿和地面上影子的關系，感知“線與平面上的線垂直關系的‘無限性”.

探究活動3：將直角三角尺斜立在課桌桌面上，一條直角邊緊貼桌面，另一條直角邊和緊貼于桌面那條直角邊的平行線都垂直，但此條直角邊所在的直線與桌面并非垂直的關系. 由此，讓學生感知“線與平面上的無數條線垂直，但線和面不一定垂直”.

設計意圖 三個操作活動，從不同角度詮釋了“線面垂直”的情況，為嚴謹地推導出線面垂直的概念奠定了基礎.

喬治·波利亞認為：數學是一門系統的演繹學科，實驗是數學創造與歸納的基礎. 他還指出：數學思維并非“純形式”的，不僅有定理、公式等的嚴格證明，還有推廣、歸納與類推等. 上述探究活動，讓學生親歷了知識的“再創造”過程，有效發展了學生的數學核心素養.

發展理性思維——應用概念

理性思維是數學核心素養的靈魂，聚焦數學理性思維與科學精神的教學理念，對學生世界觀的形成以及終身可持續發展具有深遠影響. 概念作為理性思維的基礎，應著眼于“回到概念中去，形成以概念為出發點，進行問題的思考與解決”，這對培養學生的數學學科精神，發展學生的理性思維具有重要影響. 另外，概念的實際應用，是發展學生理性思維的重要過程.

案例4 “導數及其應用”的教學.

問題：與曲線y=x3相切，且過點（1，0）的直線方程是什么？

生4：經分析可知，切點為，

或（0，0），因此切線方程為27x-4y-27=0或y=0（舍）.

師：為什么要舍去y=0？

生4：直線y=0與x軸重合，可以看出直線y=0與曲線y=x3的唯一公共點就是它們的交點（原點），但它們的交點不是切點，因此要舍去.

師：獲取數學結論，不能依靠直覺經驗，而要通過科學嚴謹驗證.

此時，教師打開幾何畫板，先作出函數y=x3的圖象，然后在曲線y=x3上任意取動點P，作出P與原點O的割線PO. 當P沿著曲線接近原點時，割線PO就趨近于x軸. 當P與原點O重合時，割線PO與x軸重合.

生5：從切線定義出發，x軸確實是y=x3于原點處的切線.

師：不錯，那么曲線和其切線有幾個公共點？

生6：兩者為相切的關系，必然只有一個公共點，若出現兩個公共點，就不是相切的關系了.

師：現在請大家繼續看幾何畫板的演示，如圖3所示，曲線y=x3與切線27x-4y-27=0之間除了切點外，是不是還存在一個交點A？

（學生驚詫不已）

設計意圖 在學生獨立思考的基礎上，借助多媒體糾正學生的思維定式，同時也讓學生充分感知數學是一門嚴謹的學科，每一個理論都需要有周密的證明過程，不能憑借直覺與經驗去解題.

通過幾何畫板來驗證y=0也是曲線y=x3的切線，成功地顛覆了學生原有認知，此教學過程讓學生充分認識到用概念來判斷問題的重要性，為學生形成善于思考、勇于質疑、嚴謹求實的科學精神奠定了基礎.

倡導單元教學——掌握概念

單元教學是新課標倡導的教學方式之一，該教學法主張以核心概念作為主題教學的中心，并以此為輻射點展開系列教學.

案例5 以“函數”為主題的單元教學.

函數是中學數學教學中極其重要的核心理念，函數思想貫穿整個高中數學課程. 以“函數”為主題的單元教學，可按照“背景—定義—圖象—性質—應用—基本初等函數”的順序展開.

以上述過程作為研究函數的一種套路進行推廣，可以應用到一個新的數學對象的研究中. 遵循這個規律進行研究，學生能發現與提出新的問題，并在分析和解決問題的過程中形成良好的數學素養.

崔允淳提出：指向學科核心素養培養的大單元設計是落實“立德樹人”理念，深化課程改革的必然要求，亦是發展數學核心素養的主要方式. 單元教學一改教師的示范性，以學生的模仿為主，突出學生在課堂中的主體性.

總之，概念教學是數學教學的核心，是落實與發展核心素養的關鍵. 教師應從思想與行動上注重概念教學，不斷更新自己的教育教學理念，與時俱進，應用先進的教學手段發展學生的“四基與四能”，從真正意義上提升學生的數學核心素養.