讓思考成為數學運算的助推器

林琴

摘要：高中階段對數學運算的要求更高，注重數學思想與邏輯推理，這就離不開數學思維與方法，以及解題中的思維能力與整體的把握能力.結合實例，從法則應用的合理性，簡便運算的靈活性，公式選擇的有效性以及路徑選取的高效性等層面，借助合理的數學思考來提升數學運算能力.

關鍵詞：高考；思考；數學運算；法則；合理

隨著新高考改革步伐的不斷邁進，高考更加注重對學生各方面能力的考查與區分，突出核心素養的關鍵能力.其中，對學生數學運算能力的要求就提到了一個更高的層面，因而提高高中生數學運算能力是一個亟待解決的數學問題.鑒于此，下面結合實例來具體闡述如何處理數學運算問題，讓思考成為數學運算的助推器.

1 法則應用的合理性

解決問題中的數學運算過程，就是一個數學法則應用的過程.厘清數學問題的實質與內涵，結合相關問題中所涉及到的概念、定義、公式、定理以及性質等本質，通過數學運算法則的應用，建立聯系，直擊要害，達到運算法則應用的合理性.

例1 （2022年高考數學上海卷·11）若|a|=|b|=|c|=λ，且滿足a·b=0，a·c=2，b·c=1，則λ=___________.

分析：根據題設條件，確定平面向量的位置關系并構建相應的平面直角坐標系，合理應用

平面向量中的相關運算法則，利用平面向量的坐標表示與設置，結合平面向量的模、數量積的坐標公式等構建相應的方程組，即可確定參數的值.

解析：由a·b=0，可得a⊥b.

構建平面直角坐標系，設向量a=（λ，0），b=（0，λ），c=（x，y），x，y∈R，則有x2+y2=λ2，其中λ>0.

由a·c=2，b·c=1，得λx=2，λy=1，則x=2λ，y=1λ.將上式代入x2+y2=λ2，得4λ2+1λ2=λ2，則λ=45.

故填答案：45.

點評：在解決平面向量問題時，經常應用定義法、坐標法與幾何法這幾種常見的方法來解決.這里，在解決平面向量問題中，借助平面直角坐標系的構建，利用坐標法的代數運算來分析與處理平面向量中的相關問題，是一種更加合理的數學運算法則的應用.借助坐標法，化“形”為“數”，代數運算處理.

2 簡便運算的靈活性

結合數學問題中涉及到的基本性質、整體思維、重要結論等，合理構建與問題對應的數學模型或數學關系等，簡化運算，全面提升數學運算與數學思維的靈活性，明確運算目標，構建相應的聯系，優化解題過程，提升解題效益.

例2 （2022年高考數學新高考Ⅱ卷·16）已知橢圓x26+y23=1，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且|MA|=|NB|，|MN|=23，則直線l的方程為___________.

分析：根據題設條件，結合直線與x軸，y軸分別交于兩點，利用直線截距式方程的設置，引入對應的參數與方程，結合直線方程的特征，可以快捷簡便地確定直線與坐標軸的對應交點問題，方便問題的進一步分析與求解；進而結合橢圓的中點弦性質，為簡便運算提供更加靈活與便利的條件.

解析：設直線l的方程為xm+yn=1（m＞0，n＞0），則M（m，0），N（0，n）.

取線段AB的中點E，由|MA|=|NB|，可知點E是線段MN的中點，即Em2，n2.

結合橢圓的中點弦性質，有kOEkAB=-b2a2=-12，

而kAB=kMN=-nm，kOE=nm，

則有-nm×nm=-12，即m2=2n2.

又|MN|=23，即m2+n2=12，所以m=22，n=2.

所以直線l的方程為x22+y2=1，即x+2y-22=0.故填答案：x+2y-22=0.

點評：根據題設條件設置合適的直線方程，是簡單快捷處理直線與圓錐曲線位置關系問題中的一個重點，也是靈活運算的基礎.而熟練掌握圓錐曲線中的一些“二級結論”（本題中用到圓錐曲線的中點弦性質），在破解小題時可以更加靈活便捷，優化數學運算，簡化解題過程，提升解題效益，節約寶貴時間.

3 公式選擇的有效性

在數學運算前需合理選擇公式，同時要根據題目意圖進行思考，以目標引領思維，特別涉及到有多種公式可供選擇時（主要是三角函數問題、數列問題等），要洞察已知條件與所求結論之間的有效聯系，合理數學思維與推理，進行有效性的公式選擇，達到“一箭封喉”，真正提升數學運算的準確性.

例3 （2022年高考數學新高考Ⅱ卷·6）角α，β滿足sin （α+β）+cos （α+β）=22cos α+π4sin β，則（? ）.

A.tan（α+β）=1

B.tan（α+β）=-1

C.tan（α-β）=1

D.tan（α-β）=-1

分析：根據題設條件，從眾多的三角恒等變換公式中進行有效性的公式選擇，結合三角函數關系式的結構特征，先利用兩角和與差的三角函數公式加以展開，使得復雜角轉化為簡單角，再綜合變形所得的三角函數關系式，“逆向”利用兩角和與差的三角函數公式進行轉化，最后進行三角函數式的變形與求值.

解析：由sin （α+β）+cos （α+β）=22×cosα+π4sin β，可得

sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin α＼5sin β=22cos αcos π4-sin αsin π4sin β=2cos α＼5sin β-2sin αsin β.

于是sin αcos β-cos αsin β=-cos αcos β-sin αsin β，即sin （α-β）=-cos （α-β）.

所以tan（α-β）=-1.故選擇答案：D.

點評：根據題設條件與結論中相應的三角函數關系式等信息，正確利用兩角和與差的三角函數公式在復雜角與簡單角之間進行“正向”與“逆向”變形處理，有效選取三角函數公式，以最有效、最簡便的方式，構建題設條件與結論之間的聯系，從而實現問題的分析與解決.

4 路徑選取的高效性

數學運算的路徑是多樣性的，合理的積極思考，可以使得運算路徑更加高效、更加直接，進而借助數學運算以及邏輯推理等的綜合應用，提高數學運算的效率.

例4 （2022年高考數學新高考Ⅱ卷·12）（多選題）對任意x，y，x2+y2-xy=1，則（? ）.

A.x+y≤1

B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2

D.x2+y2≥1

分析：根據題設條件，將條件中的二元方程加以配方處理，轉化為兩代數式的平方和為1的形式，引入參數進行三角換元，進而選取高效的數學運算路徑，結合對應的參數將x+y，x2+y2表示為三角函數關系式，進行恒等變形與處理，利用三角函數的圖象與性質來確定對應的取值范圍，進而結合選項來分析與判斷.

解析：由x2+y2-xy=1，配方可得

x-12y2+32y2=1.

令x-12y=cos θ，32y=sin θ，θ∈［0，2π），則x=33sin θ+cos θ，y=233sin θ.

于是x+y=3sin θ+cos θ=2sin （θ+π6）∈［-2，2］，則選項A錯誤，選項B正確；

而x2+y2=33sin θ+cos θ2+233sin θ2=33sin 2θ-13cos 2θ+43=23sin 2θ-π6+43∈23，2，則選項C正確，選項D錯誤.

故選擇答案：BC.

點評：在破解一些涉及代數式或參數的取值范圍或最值，以及不等式成立等相關問題時，經常利用三角換元法，將目標代數式或參數轉化為三角函數的形式，借助三角函數的圖象與性質來處理，是解決此類問題中比較高效的一種數學運算路徑的選取.

在數學教學與學習過程中，完善與提升數學運算能力是一個漸近與螺旋上升的過程.在此過程中，還要不斷強化一些其他方面的能力，如敏銳的觀察力、整體思維能力、化繁為簡的轉化能力以及解題全過程的統籌安排能力等，合理調配，不斷優化，真正讓思考融入到數學運算中去，不斷通過思考優化數學運算，通過數學運算促進思考，形成良性循環.讓數學運算根植于思考的土壤，借助思考的“翅膀”提升數學運算能力，尋找快樂源泉，讓運算過程開出絢麗的思維之花.