CO2色散干涉儀上相位差校正方法的研究

厲天揚，陳興杰

(上海工程技術大學城市軌道交通學院，上海 201620)

0 引言

電子密度是聚變等離子體的重要參數之一，聚變的反應率與等離子體電子密度的平方成正比，高密度下的等離子體運行更是各個聚變裝置希望達到的目標[1]。目前用于測量等離子體密度的HCN 干涉儀，波長為337μm[2]，在彈丸注入導致等離子體密度急劇上升時，需要進行16～20 次的密度翻轉[3]，這提升了等離子體密度測量錯誤的概率。短波長干涉儀密度翻轉次數少，然而聚變裝置運行過程中產生的機械振動將導致短波長干涉儀測量結果產生極大誤差。

CO2色散干涉儀的波長為10.6μm，具有條紋翻轉次數少，同時能夠抑制機械振動的優點[4]，因此被應用于等離子體密度測量中。CO2 色散干涉儀運行的過程中，無法保證激光束調制的諧波與光學彈性調制器(PEM)產生的方波傳輸的同步性。中國科學技術大學吳彤宇先生針對此問題提出一種相位差校準方法。此方法通過尋找兩路信號的初始相位差，根據兩路信號的初始相位差來對輸入的諧波信號進行相位差補償，來保證參考測量信號的同步性。此方法通過遍歷的方式尋找兩路信號的起始相位差，耗時1s[5]，實時性較差，無法保證CO2 色散干涉儀在運行過程中方波與諧波的傳輸的同步性。

針對上述問題，本文提出了一種基于正交解調的相位差實時校準方法，用于實時校正參考信號與測量信號之間傳輸不同步導致的相位差。并將該相位差校準方法在XC7K325T-2IFFG900 型FPGA 上實現。該相位差校準算法能夠進一步提升等離子體密度的測量結果，校正相位差的速度為原本的3600 倍，相位測量精度可達0.7°。

1 CO2色散干涉儀測量原理

CO2色散干涉原理圖如圖1所示[6]，干涉儀系統包括了激光器，倍頻晶體，光學彈性調制器，等離子體，濾光片，光電探測器以及數據采集與處理系統。

圖1 色散干涉儀原理圖

CO2色散光學部分的工作原理為：

CO2 激光器提供一束初始偏振方向為垂直的激光(頻率為ωm)。該束激光經過光學倍頻晶體(SHG)以后，產生一束偏振方向為水平的倍頻波[7]。倍頻波通過了光學彈性調制器(PEM)與等離子體以后，基波經過第二個光學倍頻晶體(SHG)，產生第二路倍頻波。此時，兩路倍頻波的相位可以表示為：

其中，為激光經過等離子體后帶來的相位變化，，由等離子體線密度積分決定，4π?為干涉儀運行過程中機械振動導致的光路長度變化帶來的相位影響，g sin(ωmt)表示了激光經過光學彈性調制器(PEM)產生的相位變化。ψ1與ψ0分別為兩個倍頻波的初始相位。

兩路倍頻波經過濾光片(filter)以后，在探測器處混頻，可得到基波頻率為ωm的多次諧波I：

可以得出通過混頻的方法，機械振動的影響2πω?l c已經被消除。為了求出多次諧波I中的基波與二次諧波。對多次諧波進行傅里葉展開，提取出頻率為ωm與2ωm的信號的強度，可以表示為以下形式：

其中，J1(g)和J2(g)分別對應了第一類貝塞爾函數。當g=1.3149 時，J1(g)=J2(g)。最終可以得到測量結果為：

CO2色散干涉儀數據處理部分的工作原理為：

探測器端產生的周期性諧波在去除直流分量與噪聲后，經過傅里葉展開后可以表達為[8]：

為了提取諧波中的基頻項強度，將輸入諧波與sin(ωmt)混頻后展開可得：

取一個諧波周期內輸入諧波與sin(ωmt)的互相關結果可得諧波中的基頻項：

同理，通過提取諧波中的倍頻項強度，將輸入諧波與cos(ωmt)混頻并展開后可得：

取一個周期內的互相關結果可得諧波中的倍頻項：

通過互相關函數，可得到一個諧波周期內的基于頻率ωm的基頻項強度與倍頻項強度I1與I2的均值。其中，互相關函數可以用FIR低通濾波器代替，來提升測量結果的時間分辨率。然后根據公式⑹就可以求得離子體密度。

2 相位差校準算法的改進

第1 節的推論基于理想條件下，光學彈性調制器(PEM)產生的方波與光電探測器產生的諧波的傳輸是同步的。然而在CO2 色散干涉儀實際運行的過程中，由于探測器與光學彈性調制器內部的電路延遲，導致了探測器輸出信號與光學彈性調制器輸出信號輸出時間不同步，產生了一個相位差θ。

此時輸入信號可以表達為：

將輸入信號分別與sin(ωmt)以及cos(2ωmt)混頻，并分別求得一個諧波周期內的互相關結果。則求得基頻信號與倍頻信號的幅值分別為：

可見，相位差θ的引入導致了基頻信號的幅值M1與倍頻信號的幅值M2衰減程度不同，此時無法通過求兩路信號的幅值比M12來求得等離子體密度。因此需要求得相位差θ，并基于該相位差構造兩組波形sin(ωmt+θ)與cos(2ωmt+2θ)，用構造的兩組波形進行混頻，從而消除相位差θ對測量結果的影響。

為了避免因兩路信號之間的相位差θ對測量結果的影響，同時提升尋找相位差θ的速度，本文提出了一種基于正交解調的實時相位差校準方法，此方法相比于遍歷尋找相位差的方法，求得相位差的速度提升為原本的3600倍。

基于遍歷方式尋找相位差方法的步驟如下：

⑴構造sin(ωmt+β)與cos(2ωmt+2β)兩組波形。

⑵分別與諧波混頻后低通濾波，求得濾波后的幅值M1與M2。

⑶將β從0°到360°的情況下依次混頻，互相關，通過尋找比較在每個角度β下的幅值最大幅值M1max與M2max。

⑷通過M1max與M2max得出幅值所對應的角度β，便可以得到θ=β。

此方法消耗時間長，在所求相位差的精度為0.1°的情況下，尋找一次相位差需要混頻3600 次，實時性差。針對此問題，本文提出的實時相位差校準算法在尋得正確的相位差的前提下，尋找相位差速度相比于遍歷方式提升了3600 倍，同時算法復雜度低，利于FPGA實現。

實時相位校準步驟如下：

⑴分別產生兩組頻率為ωm的正弦波與余弦波，其表達式分別為sin(ωmt)和cos(ωmt)。

⑵將輸入的存在相位偏移的諧波分別與sin(ωmt)和cos(ωmt)混頻，可得以下公式：

取兩路信號在一個周期內的互相關函數可得：

取兩路信號的幅值比反正切，便可以得到相位差θ：

同理，產生兩組頻率為2ωm的正弦波與余弦波，也可以求得相位差2θ。最后，通過實時相位校正方法便可去除相位差θ的干擾。

3 相位差校正算法的FPGA實現

該相位差校正算法以125M 的時鐘頻率在型號為XC7K325T-FFG900-2I 的FPGA 上運 行，圖2 為相位差校正算法的FPGA設計原理圖。

圖2 相位差校正算法的FPGA原理圖

在圖2 中，干涉儀信號與光學彈性調制器信號經采樣率為20MSPS 的雙通道ADC 采樣后進入FPGA中。首先對輸入信號進行降采樣處理，采樣率變為1MSPS。由于輸入信號的頻率ωm為50kHz，滿足奈奎斯特-香農采樣定理2ωm

濾波后的方波用于提供諧波的參考時間t，波形發生器基于t來生成混頻波形。為了保證方波與諧波的處理同步性，通過長度為100 階的移位寄存器(Shift Registers)向濾波后的方波提供0.1ms的延遲。

諧波經過降采樣處理后，數據流向分為兩路，一路暫存到FIFO 中，另一路用于實現相位差的校正。相位差校正通過將輸入的諧波與sin(ωt+β)以及cos(ωt+β)混頻，求出互相關的結果。通過將兩路互相關結果進行反正切，就可以得到相位差θ。旋轉坐標系算法(CORDIC)基于此相位差θ以及方波提供的參考時間t，生成兩組解調波形sin(ωt+θ)與cos(2ωt+2θ)。將暫存在FIFO 內部的諧波與這兩組解調波形混頻，通過求兩路信號混頻后的互相關結果，最后求互相關結果的反正切值就可得到初始相位。將初始相位通過相位跳轉算法(RPJP)處理后[9]，便可得到處理結果。

測量結果通過直接內存訪問(Direct Memory Access，DMA)模塊傳輸到上位機中，上位機接收到測量結果后將測量結果顯示。測量結果通過DDR3控制器暫存到DDR3 中，放電結束后，DMA 模塊經過AXI互聯矩陣(AXI Interconnect)讀取DDR3 內部的數據，通過PXIe 總線將數據傳輸到上位機的內存中。上位機接收DDR3 中的數據完成后，將測量結果通過以太網上傳到中控系統中。

4 實驗結果

圖3 為電子學的實驗平臺，輸入諧波與方波經ADC 采樣進入FPGA 中，FPGA 將采樣數據進行實時處理，同時將輸入數據與處理結果暫存到DDR3內部，PXIe 機箱通過PXIe 總線獲取FPGA 暫存在DDR3 上的處理結果。

圖3 CO2色散干涉儀電子學實驗平臺

為了驗證該相位差校正算法的效果，通過信號源產生一組已知相位變化的諧波與方波，將FPGA 的測量結果與已知的相位變化對比，從而求得測量精度。諧波與方波的表達式為：

在上述公式中，ρ0=2.6299，ωm=50kHz，sin(2πt)模擬了色散干涉儀運行過程中相位差θ的變化。

本文通過在MATLAB R2020b 的環境下生成后這兩組波形后，將波形存儲到RIGOL 公司生產的型號為DG4162 的信號源內，信號源通過讀取存儲文件并輸出諧波與方波來模擬CO2 色散干涉儀運行過程中產生的信號。

通過PXIe 總線獲取新的相位差校正方法的相位計算結果，并與參考相位變化θ(t)=(π12)t進行對照。實驗結果如圖4所示。

圖4 信號源輸入測量結果

從圖4 實驗結果可得，使用新的相位差校正算法的測量結果與參考相位變化θ(t)=(π12)t基本吻合，測量結果最大誤差為0.7°，同時新的相位差校正算法能夠對干涉儀運行及其相位變化進行實時校正。

其次在激光房內搭建光路，來模擬托卡馬克裝置放電的流程。在等到CO2色散干涉儀的產生了穩定的多次諧波后，通過電動平移臺移動ZnSe 鍥片，來模擬放電過程中等離子體密度的變化[10]，并且按照裝置上光路實際設計距離來實現模擬測試，便可以得到變化的相位信號。圖5為移動ZnSe鍥片測得的實驗結果。

圖5 移動ZnSe鍥片的測量結果

5 總結

本文提出了一種改進后的CO2 色散干涉儀上的相位校正算法，并將改進后的相位校正算法以125MHz 的頻率在型號為XC7K325T-FFG900-2I 的FPGA 上運行。改進后的相位校正方法實現了相位的實時校正，相位校正速度為原本的3600倍。實驗結果表明，改進后的相位校正方法能夠可靠地跟蹤等離子體密度的變化，測量精度可達0.7°。同時該相位校正方法能夠正確測量因CO2 色散干涉儀上ZnSe 鍥片的移動帶來的相位變化。本文提出的CO2 色散干涉儀上的相位校正方法，可以進一步應用于托卡馬克裝置放電過程中等離子體密度的測量。