初中幾何運(yùn)動(dòng)類題目解題實(shí)踐

王國(guó)鶴

【摘要】幾何運(yùn)動(dòng)類題目是初中數(shù)學(xué)的一種常見(jiàn)題目，在中考數(shù)學(xué)中也常常作為壓軸題出現(xiàn).該類題目有一定的難度，主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和邏輯推理能力.學(xué)生常常缺乏解題思路，甚至經(jīng)過(guò)一些習(xí)題訓(xùn)練后還是無(wú)法找到解題的技巧.基于此，文章對(duì)幾何運(yùn)動(dòng)類題目的解題的方法進(jìn)行歸納和總結(jié)，以期幫助學(xué)生掌握這類題目的解題方法.

【關(guān)鍵詞】幾何；運(yùn)動(dòng)；作圖；技巧；解題實(shí)踐；初中數(shù)學(xué)

一、題干中特殊限定條件的標(biāo)記

幾何運(yùn)動(dòng)類題目的題干一般較長(zhǎng)，問(wèn)題較多，學(xué)生在讀題時(shí)就應(yīng)對(duì)一些特殊的條件做好標(biāo)記，避免重復(fù)讀題或因遺漏一些重要條件導(dǎo)致思考方向不對(duì).

例1 （2019·長(zhǎng)春中考）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，連接PQ，以PN，PQ為鄰邊作？PQMN.設(shè)？PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

分析 1.這道題目中有兩個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是較為常見(jiàn)的線段，而另一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)Q，它的軌跡是一條“射線”.這里射線的條件就需要做好標(biāo)記，否則會(huì)影響后續(xù)的解題.

2.題干中對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始和結(jié)束的限定也要做好標(biāo)記，這樣才能從宏觀上了解運(yùn)動(dòng)什么時(shí)候開始到什么時(shí)候結(jié)束，時(shí)間的取值是否包括運(yùn)動(dòng)軌跡的端點(diǎn)及清楚動(dòng)點(diǎn)結(jié)束的位置在哪兒.

3.對(duì)于第（3）問(wèn)中獨(dú)有的限定的條件：“四邊形”同樣需要做好標(biāo)記，這樣會(huì)時(shí)刻提醒學(xué)生不要多解.

筆者在這里只對(duì)一些特殊的限定條件進(jìn)行標(biāo)記，其他的條件學(xué)生要學(xué)會(huì)根據(jù)自己的情況，酌情標(biāo)記.

二、畫圖的技巧

幾何運(yùn)動(dòng)類題目的第（1）問(wèn)常常容易解決，從第（2）問(wèn)開始就需要學(xué)生畫圖來(lái)分析和解答問(wèn)題，所以學(xué)會(huì)畫圖對(duì)于解決這類問(wèn)題是至關(guān)重要的.

（一）根據(jù)題干中動(dòng)圖的構(gòu)成方式，再結(jié)合主動(dòng)點(diǎn)及每一問(wèn)特殊的限定條件進(jìn)行畫圖

如例1第二問(wèn)：這里的？PQMN為動(dòng)點(diǎn)所形成的動(dòng)圖，它的形成有一定的順序，首先需要找到主動(dòng)點(diǎn)P，Q的位置：過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB，以PN和PQ為臨邊做？PQMN.在畫圖時(shí)一定要遵循這樣的順序，這樣才可以畫出能夠用來(lái)解題的圖.

此題的第二問(wèn)的特殊限定條件為：？PQMN為矩形.若？PQMN為矩形，那么∠PNM必為90°.此時(shí)由∠ANP=90°，得A，N，M三點(diǎn)必然共線，故而可知直線AB和直線MN重合.又因?yàn)镸N∥PQ，所以此時(shí)PQ∥AB.結(jié)合上述，便可以按順序作出第二問(wèn)的答圖（圖2）.

（二）構(gòu)圖時(shí)需考慮線段的長(zhǎng)短比例關(guān)系

在作第二問(wèn)答圖時(shí)，應(yīng)考慮△ABC三邊長(zhǎng)度為3∶4∶5的直角三角形.而P，Q位置確定有一個(gè)重要的條件需要考慮，就是無(wú)論運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的何時(shí)，AP永遠(yuǎn)等于CQ.

根據(jù)上述的方法以及結(jié)合條件的要求，就可以把第三問(wèn)的二種不同情況的圖畫出來(lái)（圖3、圖4）.

對(duì)于第三種重疊方式并不符合第三問(wèn)“重疊部分為四邊形”的要求（圖5）.

（三）畫運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特定圖形時(shí)，可用其他問(wèn)題的圖形進(jìn)行分析，不要過(guò)分追求一步成圖

根據(jù)例1第四問(wèn)的條件，可得過(guò)P點(diǎn)且平行于BC的直線應(yīng)先過(guò)MN的中點(diǎn)，再通過(guò)特殊位置圖（圖2）可以判斷當(dāng)過(guò)P點(diǎn)且平行于BC的直線經(jīng)過(guò)MN中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M必在直線AB的下方.故而根據(jù)圖4，把P點(diǎn)向上、Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向下移動(dòng)一點(diǎn)即可出第四問(wèn)的第一種答圖（圖6）.

根據(jù)圖5繼續(xù)分析可知過(guò)P點(diǎn)且平行于BC的直線下一次將經(jīng)過(guò)QM的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q必在B點(diǎn)的下方.故而可畫出第四問(wèn)的第二種答圖（圖7）.

（四）從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的重要性

1.如果題干當(dāng)中出現(xiàn)了“對(duì)稱點(diǎn)”的條件，我們需考慮從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是個(gè)“圓”.

例2 （2021·長(zhǎng)春中考）如圖8，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB-BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合時(shí)，連接PD.作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，A′A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（2）用含t的代數(shù)式表示線段BP的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)A′在△ABC內(nèi)部時(shí)，求t的取值范圍；

（4）當(dāng)∠AA′D與∠B相等時(shí)，直接寫出t的值.

此題中點(diǎn)A′為點(diǎn)P的從動(dòng)點(diǎn)且是點(diǎn)A關(guān)于PD的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)可知A′D恒等于AD，而點(diǎn)A和點(diǎn)D均為定點(diǎn)，即AD長(zhǎng)度在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中為一個(gè)定值，所以可以得知A′D長(zhǎng)度也為一個(gè)定值.依據(jù)圓的定義，可以得出A′點(diǎn)的軌跡就是以D為圓心AD的長(zhǎng)度為半徑的一個(gè)圓.畫出這道題的第三問(wèn)和第四問(wèn)的圖就比較簡(jiǎn)單了（圖9、圖10、圖11、圖12）.

三、解題的技巧

幾何運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題主要考查學(xué)生綜合知識(shí)的運(yùn)用能力、作圖能力、計(jì)算能力以及邏輯思維能力.上文提到了審題和作圖的一些技巧，接下來(lái)，總結(jié)歸納一些解題時(shí)的技巧.

（一）分析問(wèn)題用相似的知識(shí)，作答時(shí)用三角函數(shù)的知識(shí)

在解幾何運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題時(shí)，可以利用三角形相似來(lái)分析問(wèn)題.用相似三角形的知識(shí)可以快速找到圖中線段之間的關(guān)系，但是用相似三角形作答，答案顯得較復(fù)雜一些，所以可利用三角函數(shù)作答就會(huì)使答案變得簡(jiǎn)單一些.

通過(guò)上面的分析，已經(jīng)知道例1第三問(wèn)有兩種情況，這里只應(yīng)用第二種情況.

（二）輔助線的構(gòu)造

輔助線就像橋梁一樣，是連接圖形與圖形，量與量之間的媒介.構(gòu)造輔助線要依據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，基于作一條線就可以得出很多有用的條件為原則.以例1第四問(wèn)為例.

這里的中點(diǎn)R是這一問(wèn)獨(dú)有的條件，所以中點(diǎn)這一條件必須利用上的.根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，過(guò)R點(diǎn)作RH⊥BN，這樣就會(huì)出現(xiàn)三角形的中位線（圖14）， RH為△NGM的中位線，且△RHK與△ABC相似，從而實(shí)現(xiàn)了一線多得的作用.

（三）方程思想的應(yīng)用

方程的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的一個(gè)歷史性飛躍.有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題很難直接列出算式求解，而方程思想則是用一個(gè)未知數(shù)來(lái)表示問(wèn)題中的一個(gè)量，再通過(guò)量與量之間的關(guān)系建立一個(gè)含有未知數(shù)的等式，進(jìn)而求解.在解決幾何運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生經(jīng)常需要用到方程的思想來(lái)求時(shí)間t的值.在求解問(wèn)題時(shí)的一條核心思想就是，根據(jù)幾何關(guān)系盡可能多地用含t的代數(shù)式去表示一些線段長(zhǎng)度，然后再根據(jù)線段的和、差、倍、分及比例關(guān)系列出含有t的方程，進(jìn)而求解即可.以例1第四問(wèn)的一種情況為例.

結(jié) 語(yǔ)

幾何運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題涉及的范圍較廣，雖然文章提到了一些實(shí)用的技巧，但并不代表掌握了這些技巧就可以輕松應(yīng)對(duì)此類題目.學(xué)生若想在考場(chǎng)上既快速又準(zhǔn)確地做出這類題目，還需要勤加練習(xí)，養(yǎng)成邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、思維敏捷、計(jì)算準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)習(xí)慣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]明志芹.方程思想在初中幾何中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2020（08）：85.

[2]黃軼風(fēng).運(yùn)用“中巧說(shuō)”解決初中幾何圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題-以圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為例[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（04）：20-21，28.

[3]白方.幾何變換思想在初中幾何教學(xué)中滲透與應(yīng)用研究[D].上海：上海師范大學(xué)，2021.