一道2023年新高考解析幾何試題的探究

【摘 要】通過對2023年數學新高考Ⅰ卷第22題進行解法探究、拓展探究和源頭探究，聚焦于運用解析幾何中的主干知識和主要方法，對借助幾何圖形進行的代數運算進行了優化，以期達到對高三解析幾何備考復習有一定的啟發.

【關鍵詞】新高考；解法；拓展；源頭；探究；反思

1 試題呈現題目 （2023年新高考Ⅰ卷第22題）在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0，1/2的距離，記動點P的軌跡為W.

（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33.

2 試題評析

本題第（1）問考查求曲線的軌跡方程，考生在新教材的解析幾何章節已經探究過橢圓、雙曲線和拋物線的軌跡方程，因軌跡方程屬于高中數學解析幾何版塊的基本知識，故只需要將求曲線軌跡方程的方法遷移過來就可以順利解答本題.第（2）問是圓錐曲線最值問題，綜合考查了直線與拋物線的位置關系、弦長公式、分段函數和利用導函數研究函數的性質，體現了高考試題注重在知識交匯處命題的特點.從后文解法探究中計算的結果來看，本題打破常規的地方在于第（1）問求出的拋物線方程不是形如x2=2py（p>0）的標準方程.本題考查了數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想和化歸與轉化思想等基本思想方法，考查了考生的運算求解能力、邏輯思維能力和創新能力，考查了考生的思維的靈活性和綜合應用數學知識解決問題的能力.本題很好的落實了《中國高考評價體系》中高考考查的“基礎性、綜合性、應用性和創新性”等“四翼”要求.以下對這道試題進行解法探究、拓展探究和源頭探究.

3 解法探究

6 總結反思

在新課標、新教材和新高考這個“三新”背景下，圓錐曲線是高中數學主干內容，其出現在高考數學解答題位置，第（2）問往往具有很強的綜合性，對考生的綜合思維能力和運算能力有著較高的要求，是考查數學運算、邏輯推理和直觀想象素養的重要載體.是否能夠破解圓錐曲線綜合問題的關鍵在于學生是否具有較強的運算能力，2023年新高考Ⅰ卷第22題第（2）問正因為對運算能力和核心素養有較高的要求，使得許多學生在解答該題時望而生畏.上述從不同的視角出發對真題進行多解探究，探究過程中用到的弦長公式、參數方程、不等式和函數與導數都是高中數學必備知識，用到的數形結合等思想都是高中數學基本方法，通過比較不同解法，可以引導學生優化解題思維和克服思維定勢，優化數學運算路徑，達到運算量簡化的目的.對高考真題進行拓展探究，使學生認識到隱藏在試題背后的題根背景，強化了這類問題的通法，以期達到解一題而破萬題的效果.通過對真題探源，發現該真題改編自競賽陳題，這啟示我們在高中數學教學和學習中，也要引導學生涉獵一些經典競賽數學試題，通過探究賽題為依托，開拓學生的學習視野，培養學生的創新意識，提升學生的關鍵能力和核心素養.

參考文獻

［1］楊洪香.為什么橢圓內接矩形的邊平行于橢圓的長短軸？[J].數學通訊，2005（24）：18.

作者簡介 羅文軍（１９８６ —），男，甘肅秦安人，中學二級教師；首批華中師范大學考試研究院特聘研究員，《中學數學教學參考》 特約編輯，《中學數學》特約編委；主要研究高中數學一題多解和高中數學文化；發表論文 １７０ 余篇，其中1篇論文被中國人民大學報刊復印資料《高中數學教與學》全文轉載．